2023年自学考试线性代数试卷及答案集合

2023年1０月高等教育自学考试全国统一命题考试０4184线性代数(经管类）试卷本试卷共8页,满分１00分，考试时间150分钟。说明:本试卷中,表达矩阵的转置矩阵，表达矩阵的随着矩阵,是单位矩阵,表达方阵的行列式，表达矩阵的秩。单项选择题（本大题共5小题,每小题2分，共1０分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。设3阶行列式＝2，若元素的代数余子公式为(ｉ,j＝1,２,3),则【】B．０C．1D.2设为3阶矩阵,将的第３行乘以得到单位矩阵，则=【】B.C.D.２设向量组的秩为2，则中【】必有一个零向量B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出设3阶矩阵，则下列向量中是的属于特性值的特性向量为【】B.C．Ｄ.二次型的正惯性指数为【】A.０Ｂ.１C.2D.3填空题（本大题共10小题，每小题2分,共2０分)请在每小题的空格中填上对的答案。错误、不填均无分、设,则方程的根是设矩阵,则=设为3阶矩阵，,则行列式=设矩阵，,若矩阵满足,则=设向量,,,则由线性表出的表达式为设向量组线性相关,则数3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为设3阶矩阵满足,则必有一个特性值为设２阶实对称矩阵的特性值分别为和１，则设二次型正定,则实数的取值范围是计算题（本大题共7小题,每小题9分，共63分)计算４阶行列式的值。已知矩阵，求。设矩阵,且矩阵满足,求。设向量,试拟定当取何值时能由线性表出,并写出表达式。求线性方程组的通解(规定用其一个特解和导出组的基础解系表达）。设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。用正交变换将二次型化为标准形,写出标准形和所作的正交变换。四、证明题（本题７分）２3.设向量组线性相关,且其中任意两个向量都线性无关。证明:存在全不为零的常数使得。2０23年1０月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考(课程代码０４18４)单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)Ｄ2.A3．C4.B５．Ｃ填空题(本大题共1０小题,每小题2分，共20分)５＜＜计算题(本大题共7小题，每小题9分,共６3分)解=....．.3分.....．９分解．.....2分.．..．....．７分从而.．．...9分解由,得．...．.2分又由可逆．．...．5分由,可得两边左乘,得到．．.．.．9分19解设,......2分该线性方程组的增广矩阵为．....．6分由于能有线性表出，则必有此时，方程组有唯一解表达式为..．．..9分解方程组的增广矩阵．．.．..2分可知<＜4,方程组有无穷多解......4分由同解方程组求出方程组的一个特解,导出组的一个基础解系为.．....7分从而方程组的通解为为任意常数）......9分解由条件可知矩阵的特性值为．.．.．.２分由，得..．...４分对于，由线性方程组求得一个特性向量为对于,由线性方程组求得两个线性无关的特性向量为令,则......9分解二次型的矩阵..．...2分由故的特性值为...．..４分对于,求解齐次线性方程组,得到基础解系将其单位化，得．．..．．７分令,则为正交矩阵，经正交变换,化二次型为标准形．.．．．.9分证明题(本题7分)证由于向量组线性相关,故存在不全为零的常数，使得...．..2分其中必有。否则,假如,则上式化为其中不全为零,由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾......５分类似地，可证明...．...．７分2023年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类）试卷课程代码:0４18４单项选择题（本大题共5小题，每小题２分，共１0分)设行列式D１＝,Ｄ２=,则D2=【】A．-D1B.D1C.２D１D．3D1若A=，Ｂ=,且2A=Ｂ,则【】Ａ.x=１,y=2B.x=２,y=１C.x=1,y=１D.x=2，y＝23、已知A是3阶可逆矩阵,则下列矩阵中与Ａ等价的是【】A.B．C．D．ﻩ设2阶实对称矩阵A的所有特性值味1,-１,-１，则齐次线性方程组（E+A)ｘ=０的基础解系所含解向量的个数为【】A.0Ｂ.1Ｃ.2D．3矩阵有一个特性值为【】A.-3B．-2C.１D．2填空题(本大题共１0小题,每小题2分,共２0分)请在每小题的空格中填上对的答案。错填、不填均无分。设A为3阶矩阵,且=3,则=.设A=,则A*=.已知A=，Ｂ=,若矩阵X满足ＡX=B,则X=.若向量组(1，２,1)T,(k-1,4,２)T线性相关，则数k=.若齐次线性方程组有非零解,则数=.设向量(1,－2，2)T，（2,０,-1）T,则内积()=.向量空间V={ｘ=(x1,x2,０）T｜x1,x2｝的维数为.与向量（1，0，１）T和（1，1，0)Ｔ均正交的一个单位向量为．矩阵的两个特性值之积为．若实二次型ｆ（x1，x2,x3）=正定,则数的取值范围是．计算题(本大题共7小题，每小题9分,共63分）计算行列式D=的值.设２阶矩阵A的行列式,求行列式的值.设矩阵A=，Ｂ＝,矩阵X满足X＝ＡX＋B,求Ｘ．求向量组的秩和一个极大线性无关组,并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.运用克拉默法则解线性方程组，其中两两互不相同.已知矩阵与相似,求数的值.用正交变换化二次型为标准型,并写出所作的正交变换.证明题（本题７分）设A,B均为n阶矩阵，且A=B+E,B２=Ｂ,证明A可逆． 答案：单项选择题(本大题共5小题,每小题２分类,共1０分）1.Ｃ2．A３.D4.C5.Ｂ二、填空题（本大题共１0小题,每小题２分,共20分)6.97.9.３１０.－２1１.012．２13．14.－11５.>1计算题(本大题共7小题，每小题9分，共6３分)16.解D==解由于，所以可逆，于是故＝1８.解由，化为，而可逆，且故解由于所以向量组的秩为2，是一个极大线性无关组,并且有注：极大线性无关组不唯一。解方程组的系数行列式D=由于a,b,c两两互不相同，所以，故方程有唯一解。又,，由克拉默法则得到方程组的解解由于矩阵A与B相似,故且,即所以a=1,b=4.解二次型的矩阵由于,所以A的特性值对于特性值,由方程组得到A属于特性值的一个单位特性向量对于特性值由方程组得到A属于特性值的一个单位特性向量．得正交矩阵,作正交变换,二次型化为标准形ﻩ证明题(本题７分）证由于,所以,又,故,化简得于是,故A可逆。202３年１0月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)试卷(课程代码04184)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l5０分钟。考生答题注意事项:1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须相应试卷上的题号使用２B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.５毫米黑色笔迹签字笔作答。4.合理安排答题空间。超过答题区域无效。说明：在本卷中。AＴ表达矩阵A的转置矩阵。A＊表达矩阵A的随着矩阵,E是单位矩阵，︱Ａ︱表达方阵A的行列式，ｒ（A)表达矩阵Ａ的秩。第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的,请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。１.已知2阶行列式Ａ．－２B.-ｌＣ．１D.23．设向量组可由向量组线性表出,则下列结论中对的的是Ａ．若s≤ｔ，则必线性相关B．若s≤t,则必线性相关C．若线性无关，则ｓ≤ｔD．若线性无关，则ｓ≤t4．设有非齐次线性方程组Ax=b,其中Ａ为m×ｎ矩阵,且ｒ（Ａ)＝r1,r(A，b）=r２,则下列结论中对的的是A.若r1＝m，则Ａｘ=Ｏ有非零解B．若ｒ1=n，则Ax=0仅有零解Ｃ．若r2=m，则Ａx=b有无穷多解D．若r2=n,则Aｘ=b有惟一解5.设n阶矩阵A满足︱２E－3A︱=0，则A必有一个特性值=第二部分非选择题二、填空题(本大题共l0小题。每小题２分,共2０分)请在答题卡上作答。6．设行列式中元素aｉj的代数余子式为Aij(i,j=1，２)，则a11A21+a１２+Ａ22=＿＿＿__＿____.7．已知矩阵，则A2+2A+E=______＿_＿__．8.设矩阵,若矩阵Ａ满足ＡP=B，则Ａ=________．９．设向量，，则由向量组线性表出的表达式为=＿_＿______＿__．10．设向量组a1=(1，2,１）T,ａ２=(-1,１,０)Ｔ，a3=（0,2,k）Ｔ线性无关,则数k的取值应满足＿_＿_＿_____