第一讲高等代数选讲之多项式理论

第一讲高等代数选讲之多项式理论第一页，共八十一页，2022年，8月28日知识脉络图解重因式一元多项式概念最大公因式多项式的相等及运算带余除法综合除法余数定理多项式恒等及多项式函数的运算整除性因式分解方程的根不可约多项式因式分解唯一性定理数域多项式函数多元多项式概念多元多项式函数对称多项式对称多项式基本性质复数域上的因式分解实数域上的因式分解有理多项式不可约判定本原多项式求有理根实多项式根的性质代数学基本定理根与系数的关系第二页，共八十一页，2022年，8月28日重点、难点解读这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质。（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、互素的概念与性质。（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。第三页，共八十一页，2022年，8月28日一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。对于多元多项式，则要理解元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。第四页，共八十一页，2022年，8月28日一、数域的判定设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称P为一个数域。1、数域的概念2、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最小的数域。（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；在实数域与复数域之间不存在其他的数域。例1、设P是一个数集，有非零数，且P关于减法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。证因为，所以第五页，共八十一页，2022年，8月28日有即P对加法封闭。若中有一个为零，则若，则从而P对乘法封闭。综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所以P是一个数域。例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域。证设P是任意一个包含R且不同于R的数域，且P还包含至少一个复数。由于P是一个数域，所以但从而对任意实数都有，即P包含了全体复数。故P=C。第六页，共八十一页，2022年，8月28日二、一元多项式的概念1、一元多项式的概念形式表达式称为数域P上文字的一元多项式，其中是非负整数。当时，称多项式的次数为记为2、多项式的相等关系设则第七页，共八十一页，2022年，8月28日3、次数公式（1）（2）4、一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为，称P为的系数域。5、一元多项式环的有关结论多项式的加、减、乘运算对封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。6、注意零多项式和另次多项式的区别。第八页，共八十一页，2022年，8月28日例1、令求的奇次项系数之和。解法1由于两式相乘得由于与无奇次项，从而不可能有奇次项，故其奇次项系数之和等于零。法2因为，所以是偶函数，于是的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。第九页，共八十一页，2022年，8月28日例2、设为一多项式，若则或证若，则证毕。若，由于所以只能是零次多项式。令，又因为所以，此即第十页，共八十一页，2022年，8月28日例3设是非零实系数多项式，是一个正整数，且，则为零次多项式或者。第十一页，共八十一页，2022年，8月28日三、多项式的带余除法及整除1、带余除法定理（带余除法）设则存在唯一的多项式使其中或2、整除的概念设，如果存在多项式使，则称整除。3、整除的充分必要条件如果，则的充分必要条件是用除所得的余式第十二页，共八十一页，2022年，8月28日注多项式的整除性是中元素间的一种关系，不是多项式的运算。整除概念与带余除法有密切的联系，我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将会遗漏零多项式整除零多项式的情形。4、整除的性质（1）任一多项式一定整除它自身，即（2）（3）零次多项式能整除任一多项式；（4）零次多项式只能被零次多项式整除；（5）零多项式只能整除零多项式；（6）如果，则，其中为非零常数，为常数；（7）如果，且，则任意多项式都整除零多项式。第十三页，共八十一页，2022年，8月28日（8）如果，又为任意多项式，则（9）如果，且，则其中为任意常数。（10）多项式有相同的因式与倍式；（11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。5、综合除法设以除所得的商，及余式则比较两端同次幂的系数得第十四页，共八十一页，2022年，8月28日6、判定整除的方法为证明一个多项式整除一个多项式，如果其系数已具体给出时，通常采用带余除法和待定系数法。如果的系数未具体给出时，可采用以下方法：现设出的全部复根，并假设无重根，即其中互异。再证则有从而这是因为两两互素，故因式分解法：直接将因式分解，得出，当然这种情况只有在特殊情况下才能做到。验根法：第十五页，共八十一页，2022年，8月28日例1、将多项式按的方幂展开。解法1应用综合除法，即对于次多项式，用逐次除所得的商，得法2应用泰勒公式，由泰勒公式得从而第十六页，共八十一页，2022年，8月28日例2：设证明：第十七页，共八十一页，2022年，8月28日例2、若，问是否必有？若不成立，举出反例。若成立，请说明理由。解成立。法1因为，所以，即从而，故存在，使得于是，此即法2有个不同的复根，设为则有，于是这表明都是的根，故第十八页，共八十一页，2022年，8月28日例3、证明（是三个任意的正整数）。分析用带余除法及待定系数法不易证明时，可以考虑采用因式定理来证明，即的充分必要条件是证可求得的根为所以，又由知，从而设则有第十九页，共八十一页，2022年，8月28日故由因式定理知且，又因为且互素，从而即注本例证明中，是指在复数域C上，而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问题。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，因此，上述多项式在P上与在C上整除是一致的。四、最大公因式的计算与证明1、最大公因式的概念设，如果满足且，则称为与的一个公因式；又如果与的任一公因式都能整除，则称为与的一个最大公因式。第二十页，共八十一页，2022年，8月28日1、最大公因式的概念设，如果满足且，则称为与的一个公因式；又如果与的任一公因式都能整除，则称为与的一个最大公因式。四、最大公因式的计算与证明第二十一页，共八十一页，2022年，8月28日2、最大公因式的性质（1）中任意两个多项式与一定有最大公因式。两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；最高次项系数为1的最大公因式是唯一确定的。（2）设如果有则与的最大公因式一定是与的最大公因式，而与的最大公因式也一定是与的最大公因式。特别地，有。（这也是用辗转相除法求最大公因式的根据）第二十二页，共八十一页，2022年，8月28日（3）设，如果是与的最大公因式，则必有，使（4）最大公因式不因数域P的扩大而改变。2、求最大公因式的方法（1）辗转相除法；（2）因式分解法如果求得与的典型分解式其中是首项系数为1的不可约多项式，为常数，为非零整数，令，则不唯一第二十三页，共八十一页，2022年，8月28日例1、证明：若，则证令由于所以若由于所以从而故由于的首项系数为1，故第二十四页，共八十一页，2022年，8月28日例2、设不全为0，求证：（为正整数）证法1令，即证因为所以且①于是此即再由式①有从而存在，使得两边乘得由上式知故第二十五页，共八十一页，2022年，8月28日法2令，则且从而故有五、互素多项式的判定与证明1、互素多项式的概念如果的最大公因式为非零常数，或，则称与互素。注①零多项式与任一多项式都不互素。②若多项式互素，并不要求其中任意两个多项式都互素。第二十六页，共八十一页，2022年，8月28日2、互素多项式的性质（1）设，则与互素的充分必要条件是，存在，使（2）如果，且，则（3）如果，且，则（4）如果，则3、判定互素多项式的方法主要利用互素的充分必要条件，即第二十七页，共八十一页，2022年，8月28日例1设与为数域F中两个次数大于零的多项式，证明：若，则使其中，并且满足这样条件的是唯一的。第二十八页，共八十一页，2022年，8月28日例2、设都是中的非零多项式，且这里，又若且。证明：不存在，且使①②证用反证法。若存在使式①成立，则用乘式①两端，得因为，由式②有但，所以，这与矛盾。第二十九页，共八十一页，2022年，8月28日证必要性设，则例3、设与是数域P上两个一元多项式，为给定的正整数。求证：的充分必要条件是其中，两边次方得故充分性设（1）若，则（2）若不全为零，，则令有，且于是第三十页，共八十一页，2022年，8月28日由于所以存在，使得将上式代入得两边消去，得由上式得，但，故这样继续下去有，由于所以，其中为非零常数。故从而也是与的一个最大公因式。则有第三十一页，共八十一页，2022年，8月28日例：对任意非负整数，令证明：第三十二页，共八十一页，2022年，8月28日六、不可约多项式的判定与证明

1、不可约多项式的概念如果数域P上次数大于零的多项式不能表示成数域P上两个次数比它低的多项式的乘积，则称是数域P上的不可约多项式。注①零多项式与零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的。②多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关。③互素多项式指的是上的两个多项式之间的一种关系，而不可约多项式是某个多项式本身的一种特性，这是完全不同的两个概念，但在讨论问题时，互素多项式与不可约多项式的性质又是互相利用的，要学会灵活运用。第三十三页，共八十一页，2022年，8月28日

2、不可约多项式的性质（1）如果是数域P上的不可约多项式，则也是P上的不可约多项式，其中是P中的非零数。（2）如果是数域P上的不可约多项式，则对P上的任一多项式，必有或（3）如果是数域P上的不可约多项式，是P上的任意两个多项式，若，则必有或（4）如果不可约多项式整除其中，则至少可以整除这些多项式中的某一个。3、不同数域上的不可约多项式在复数域上，不可约多项式只能是一次式；在实数域上，不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二次式；在有理数域上，存在任意次的不可约多项式。第三十四页，共八十一页，2022年，8月28日（2）爱森斯坦判别法；（1）对于2次和3次有理多项式，如果没有有理根，则在有理数域上不可约，但当次数大于3时，结论不再成立。如没有有理根，但它在有理数域上是可约的。4、有理系数多项式可约性判别设是一个整系数多项式如果存在素数，使则在有理数域上不可约。第三十五页，共八十一页，2022年，8月28日注意：爱森斯坦判别法只是给出了一个有理系数多项式不可约的充分条件，所以，如果找不到满足条件的素数，则不能确定定多项式是否可约。为了扩大爱森斯坦判别法的使用范围，有以下两个结论结论1：令，则整系数多项式在有理数域上有相同的可约性。结论2：令，则整系数多项式在有理数域上有相同的可约性，其中第三十六页，共八十一页，2022年，8月28日例1、证明：有理系数多项式在有理数域上不可约的充分必要条件是，对任意有理数和，多项式在有理数域上不可约。证必要性已知不可约，假设在有理数域上可约，即其中是有理系数多项式，且次数小于的有理系数多项式，次数不变，且有次数，在上式中用代，所得各多项式仍为这说明在有理数域上可约，矛盾。故在有理数域上不可约。第三十七页，共八十一页，2022年，8月28日其中是有理数域上次数小于的多项式，由此可得这与不可约矛盾。故在有理数域上不可约。例2、设，其中是两两不同的整数。证明：在有理数域上不可约。证假设在有理数域上可约，则可以分解为两个次数较低的整系数多项式之积，即充分性已知不可约。假设可约，设第三十八页，共八十一页，2022年，8月28日其中是整系数多项式，且由题设可得此时有或即总有可见多项式有个互异的根。但这与多项式在任一数域中的根的个数不超过多项式的次数相矛盾，所以在有理数域上不可约。第三十九页，共八十一页，2022年，8月28日例3、设是素数，为整数，而且，证明：没有有理根。证令，则其中⑴⑵因为，即，则。且由，得将代入整理得矛盾。故第四十页，共八十一页，2022年，8月28日⑶否则，即，利用，得，矛盾。由艾森斯坦因判别法知在Q上不可约，由于与在Q上有相同的可约性，故在有理数域上不可约。第四十一页，共八十一页，2022年，8月28日例4：设为有理数域上的次多项式，并且在有理数域上不可约，如果的一个根的倒数仍是

的根，证明：的每一个根的倒数都是的根。第四十二页，共八十一页，2022年，8月28日七、重因式的判定与证明1、重因式的概念设是数域P上的不可约多项式，为非负整数，如果且，则称是的重因式。注意：1）当时，称为的单因式，当称为的重因式。2）重因式是不可约多项式。第四十三页，共八十一页，2022年，8月28日2、重因式的有关结论（1）如果不可约多项式是的重因式，则它是的重因式。（2）如果不可约多项式是的重因式，则它是的因式，但不是的因式。（3）不可约多项式是的重因式的充分必要条件是，是与的公因式，即（4）多项式没有重因式的充分必要条件是与互素。即第四十四页，共八十一页，2022年，8月28日（5）单因式化设则与有完全相同的不可约因式，且没有重因式。第四十五页，共八十一页，2022年，8月28日3、判断多项式有无重因式的方法第一步由求，利用辗转相除法求出第二步如果，则无重因式；如果，则的每一个不可约因式都是的重因式。如果要求出的所有互异不可约因式，先计算则比次数低且较简单的的所有不可约因式即是的所有互异不可约因式。第三步为确定的不可约因式的重数只需累次（次）用带余除法以除及其商式，直至不能整除，便知重数了。第四十六页，共八十一页，2022年，8月28日例1、设复系数非零多项式没有重因式，证明：证因为无重因式，所以任取与的公因式，则且于是即即是与的公因式，从而。故第四十七页，共八十一页，2022年，8月28日例2、设，判断是否有重因式，并求的标准分解式。第四十八页，共八十一页，2022年，8月28日例3、证明：数域P上一个次多项式能被它的导数整除的充分必要条件是其中证充分性因为所以必要性法1利用典型分解式，设的典型分解式为其中是P上首项系数为1的不可约多项式，是的首项系数，是正整数且则此处不能被任何整除。第四十九页，共八十一页，2022年，8月28日因为，所以可见可能的因式为非零常数及但故设，则有即得从而这只有，且，于是设，则有法2待定系数法设则第五十页，共八十一页，2022年，8月28日由及知，存在多项式使比较系数可得，此时其中，于是，即为首项系数为1的次多项式，故第五十一页，共八十一页，2022年，8月28日所以的不可约因式只能是及它的非零常数倍。由于包括了的全部不可约因式，考虑到的次数是，所以具有形式（）第五十二页，共八十一页，2022年，8月28日八、多项式函数与多项式的根1、多项式函数的概念设若由多项式确定P中唯一的数与之对应，则称为P上的一个多项式函数。数域P上的两个多项式相等的充分必要条件是在它们所定义的数域上的多项式函数相等。注在讨论多项式时，无论采用形式观点，还是函数观点是统一的。采用形式观点对统一处理多项式比较方便；采用函数观点对研究多项式的根和方程理论比较直观。第五十三页，共八十一页，2022年，8月28日2、多项式的根设，如果，则称为的一个根。如果是的重因式，则称是的重根。注①多项式的根是用函数观点来定义的。②根据多项式根的定义，数域P上的每一个数都是零多项式的根，而零次多项式没有根。3、多项式函数的性质（1）余数定理设，用一次多项式去除所得的余式是一个常数，并等于函数值注余数定理表明可以采用综合除法确定多项式在时的值或验证是的单根或重根，这比直接将代入计算要方便得多。第五十四页，共八十一页，2022年，8月28日（2）因式定理设的充分必要条件是（3）中次多项式在数域P的根不可能多于个（重根按重数计算）。4、代数基本定理（1）定理每个次数的复系数多项式在复数域中至少有一个根。（4）设，且次数都不超过。如果对于个不同的数有则（2）次复系数多项式在复数域内恰有个复根（重根按重数计算）。第五十五页，共八十一页，2022年，8月28日5、根与系数的关系设是一元次多项式（）的个根，则根与多项式的系数之间有关系……………第五十六页，共八十一页，2022年，8月28日6、实系数多项式的根如果是实系数多项式的一个非实复数根，则它的共轭数也是的根，并且与有同一重数。由此可知，奇数次实系数多项式必有实根。7、有理系数多项式的根设是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中互素，则必有。特别地，如果的首项系数则的有理根都是整数，而且是的因子。注①当有理系数多项式在有理数域上不可约，且时，没有有理根。这里是必须的，如有有理根，但且不可约。第五十七页，共八十一页，2022年，8月28日②“有理系数多项式没有有理根，则在有理数域上不可约。”这一命题当时是成立的，但当时，命题不再成立，如没有有理根，但它在有理数域上可约。8、关于单位根（1）若是方程的解，即满足，则称为一个次单位根。（2）由于与它的微商互素，所以无重根，故对任意自然数，恰有个不同的次单位根（3）利用复数的开方易知，个次单位根为第五十八页，共八十一页，2022年，8月28日例1、当正整数取何值时，有重因式。解，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要条件是与不互素，即与有公共根，于是即从而可得这表明与都是次单位根。令，则由得所以。于是，即是3次单位根，故第五十九页，共八十一页，2022年，8月28日例2、设其中是整数，试求出使有公共有理根的全部，并求出相应的有理根。解令由于与具有相同的根，从而可求与的公共有理根可能的有理根为：可能的有理根为：因此，它们可能的公共有理根的范围是第六十页，共八十一页，2022年，8月28日（1）当时，得解得由于不是整数，所以1不是与的公共有理根。（2）当时，得解得由于不是整数，所以-1也不是与的公共有理根。第六十一页，共八十一页，2022年，8月28日（3）当时，得解得由于不是整数，所以也不是与的公共有理根。（4）当时，得解得故仅有是与的公共有理根。此时，第六十二页，共八十一页，2022年，8月28日例2、试求7次多项式，使能被整除，而能被整除。第六十三页，共八十一页，2022年，8月28日例3、试求以为根的有理系数的不可约多项式。解设，且以为根，则也一定是的根，这时令下证在上不可约。由于如果有有理根，必为，但都不是的根。这就是说不可能分解为一个一次式与三次式之积。其次，如果在上分解为两个二次式之积，则必可在上分解为两个二次式之积，即其中，比较两边系数得第六十四页，共八十一页，2022年，8月28日②①③④由式④知或。当时，由式①得，再由式②得即，但是整数，矛盾。当时，得，所以也不可能。因此不可能分解为两个二次式之积。综上所述，在不可约，即为所求。第六十五页，共八十一页，2022年，8月28日例4、设R是实数域，并且证明：与有相同的根。证因为，故设于是，这表明的根一定是都是的根。反之，任取的一个根，即，则有若不是的根，则由上式有此即这与矛盾。故也是的根，综上两步即证结论。第六十六页，共八十一页，2022年，8月28日九、重要数域上多项式的因式分解1、复数域上多项式的因式分解（1）复系数次多项式在复数域上都可以唯一分解成一次因式的乘积。换句话说，复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的。（2）复数域上次多项式具有典型分解式其中是的首项系数，是不同的复数，是正整数且2、实数域上多项式的因式分解（1）实系数次多项式在实数域上都可以唯一分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。换句话说，实系数多项式在实数域上不可约的充分必要条件是或且第六十七页，共八十一页，2022年，8月28日（2）实数域上次多项式具有典型分解式其中是的首项系数，是不同的实数，是互异的实数对，且满足都是正整数，且满足3、有理数域上多项式的因式分解（1）如果一个非零的整系数多项式的各项系数互素，则称是一个本原多项式。（2）设是任一有理系数多项式，则存在有理数及本原多项式使且这种表法除了相差一个正负号是唯一的。第六十八页，共八十一页，2022年，8月28日（3）高斯引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式。（4）如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。（5）设是整系数多项式，为本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，则一定是整系数多项式。（6）在有理数域上存在任意次数的不可约多项式。例1、设是整系数多项式，若为奇数且中至少有一个是奇数或和都不能被3除尽，则多项式无有理根。证若有有理根，其中与互素，则第六十九页，共八十一页，2022年，8月28日因为s与t互素，是本原多项式。因此是整系数多项式。设是任意整数，则是整数，取则有都是整数。又因为与都是奇数，从而s与t也都为奇数。这样都是偶数。从而和是偶数，与假设矛盾。若都不能被3除尽，则也不能被3除尽。于是至少有一个能被3除尽。由前面的证明知和至少有一个能被3除尽，这也与假设矛盾。因此，在两种情况下，都没有有理根。第七十页，共八十一页，2022年，8月28日例2、设是一个整系数多项式。证明如果存在一个偶数及一个奇数，使与都是奇数，则没有整数根。证设，其中是整数，由于是偶数，而是奇数，从而为奇数。这样，对任意偶数，都有是奇。又为奇数，也是奇。对任意奇数，有是偶数，因此是偶数。又为奇数，从而必为奇数。这样，对任意整数都是奇数，从而即没有整数根。第七十一页，共八十一页，2022年，8月28日1、多元多项式设是一个数域，是个文字，式子称为一个单项式，一些单项式的和称为元多项式注意：（1）