第三节开集的可测性_第1页
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文档简介

第三节开集的可测性第一页，共十四页，2022年，8月28日注：开集、闭集既是型集也是型集；

有理数集是型集，但不是型集；

无理数集是型集，但不是型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）例区间是可测集，且注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p66第二页，共十四页，2022年，8月28日

2.可测集与开集、闭集的关系即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。第三页，共十四页，2022年，8月28日证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取F=Gc，则F为闭集第四页，共十四页，2022年，8月28日(1).若E可测，则

证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知从而（这里用到mE<+∞）第五页，共十四页，2022年，8月28日对每个Ei应用上述结果(2)当mE=+∞时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：第六页，共十四页，2022年，8月28日例证明：对任意的1/n，第七页，共十四页，2022年，8月28日例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。开集:(0,1)

闭集：开集：闭集：空集第八页，共十四页，2022年，8月28日3.可测集与集和集的关系可测集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可测，则存在型集H,使(1).若E可测，则存在型集O,使第九页，共十四页，2022年，8月28日(1).若E可测，则存在型集O,使(2).若E可测，则存在型集H,使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取H=Oc，则H为型集，且第十页，共十四页，2022年，8月28日(1).若E可测，则存在型集O,使证明：对任意的1/n，

第十一页，共十四页，2022年，8月28日例：例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的型集或型集。设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一零测度集的型集或型集。注：上面的交与并不可交换次序第十二页，共十四页，2022年，8月28日类似可证：证明:由外测度定义知第十三页，共十四页，2022年，8月28日第四节不可测集存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73;1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）存在不是

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