高中常见分段函数题型归纳

2f[(1)]时间：二二一年七月二2f[(1)]分段函数罕见题型及解法之老阳三干创作时间：二二年七月二十九日分段函数是指自变量在两或两个以上不合的规模内,有不合的对应法例的函,它是个函数非个数的定义域是各段函数定义域的并,其值也是各段函数值域的并集与分段函数有关的类型题求解,在材中只出现了由分段函数作出其图象的题型并作深入说明因此,对分段函数类型的求解很多同学感应困难较,现举例说明其求解办法．1．求分段函数的定义域值域y例1.求函数

f(x)(0,2);3x

的定义域、值

域

o

x-1解析：作图

利用“数形结合”易知

f)

的定义域为

[

,

值域为（-1,2]U｛3｝.例2.求函数

的值域解析因当x≥0时,x2+1≥1当x<0时,-x2<0.所以,原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函数的函数值例1.已知函数

(|xf()1(||2

求.解析：因为

f1)2

,

所以时间：二二一年七月二十九日

22log时间：二二一年七月二十九日22log14f[f1)]f()1)132

.例2.已知函数

,求f{f[f(a)]}(a<0)的值阐发:求此函数值关头是内到外逐一求值即a<0,f(a)=2a,又0<2a<1,

,,以

.注：求分段函数值的关是按照自变量的取值代入相应的函数段．练1.设

x()lnxx

1g(g))则2

__________练2.设

f(x)

(x2),(x

(x

则

f[f(2)]

__________3．求分段函数的最值(x0)fx)x例1.求函数

(

的最大值.解析：当x时

f

max

(x)f(0)

,

当

0

时f

max

(x)f(1)

,

当

时

,

综上有f

max

(x4

.例2.设a为数函f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小时间：二二一年七月二十九日

时间：二二一年七月二十九日值阐：因为原函数可为

所以,只辨别求出其最小值,再两者较小者即.解：当x<a时函f(x)=x2-x+a+1

,所以若

,则函数f(x)在(-∞,a]单调递减从f(x)在(-∞,a]上最小值为f(a)=a2+1.

,则函数f(x)在(-∞,a]上最小值为数[a,+∞)上的最小值为

,且；若,且

；当时函,则函数f(x)在.若,则函数f(x)在[a,+上最小值为f(a)=a2+1.综上,当

时函数f(x)的最小值是是a2+1；

；当

时函f(x)的最小值当

时函f(x)的小值是.注：分段函数最值求解办是先辨别求出各段函数的最值再进行大小比较,从而达到求解的目.4．求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标,函

f(x)和g()

的图象关于直线x对,

现将

g()

的图象沿x轴左平移2个时间：二二一年七月二十九日

时间：二二一年七月二十九日位

再沿y轴上平移1个单,

所得的图象是由两条线段成的折线（如图所示）

则函数

f(x)

的表达式为（）解析：当[时,

1

,

将其图象沿轴右平移2个单位

再沿轴下平移1个位

得解析式为(x2)1x

,

所以

f)(1,0])

,

当x[0,1]时x

,

将其图象沿x轴右平移2个位

再沿轴下平移1个位得析

2(2x

,

所以fx)1(2])2

,

综上可得

f(x)

x((0x2)2

,

故选例2.某蔬菜基地种植西红,由年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿价与上市时间的关系用图1的条线暗示；西红柿的种植成本上市时间的关系用图2的物线段暗示：(I)写出图l暗示市售价与时间的函数关系式P=f(t),写图2暗示的种植成本与上市时的函数关系式Q=g(t)；(II)认定市面上售价减去种植成本为纯益,何时上市的西红柿纯收益最大解析：(I)由l可市售与时间的关系为时间：二二一年七月二十九日

|lnx时间：二二一年七月二十九日|lnx由图2可种成本与间的函数关系为（0≤t≤300）.(II)设t时的收为h(t),题意得h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的大值即可注不雅察图1,知f(t)应是一个关于t的次段函数不雅察图2可g(t)是于的次函,可设为顶点式即g(t)=a(t-150)2+100.5．作分段函数的图像例1.函数x的像大致是（）例2.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的象与直线y=a有且有3个交点求a的值.解：∵f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,所以由图象易知a=4.注：此题可以按照函数图的对称性直接画出函数图,再按照数形结合的办法求出,不写出函数解析式更单例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的象与直线y=a有仅有3个交点,求的值.解∵f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,时间：二二一年七月二十九日

时间：二二一年七月二十九日∴由图象易知a=4.注：此可以按照函数图像的对称性直接画出函数像,按照数形结合的办法求出不写出函数解析式更单.6．求分段函数得反函数例1.求函数

的反函数.解：∵f(x)在上单调减函数∴f(x)上反函.∵y=x2+1(x的反函数是(x≥1),y=1-x(x>0)的函数是y=1-x(x<1),∴数f(x)反函数是注：求分段函数的反函数要辨别求出其反函数即可.例2.知

f(x

是定义在R上奇数且当时

f

,

设

f()

得反函数为

g(x)

,

求(x)

的表达式.解析x,

则,所

f(

,

又因为

f)

是定义在R上奇数

所以

f()(x)

,

且

f(0)0

,所fx)

,

因此(0)f()(0)(

,

从而可得

g(x)

(x(x0)30(0))(x3

.例3.已知

f()

－log3(x+1)(x>6)3x－6(x

,若记f(x)为x)

的时间：二二一年七月二十九日

2时间：二二一年七月二十九日2反函数且

af

1(),9

则

fa4)

__________.7．判断分段函数的奇偶例1.判断函数

f()

x((x(x(x0)

的奇偶性.解析当x时,

f((x(fx)

,当时

f(f(0)0

,

当,

,f()2((fx)

因此,

对于任意x都f()(x

,

所以

f(x)

为偶函数.注：分段函数奇偶性必须x值类从比f(-x)与f(x)的关系得f(x)是否奇偶函数结.8．判断分段函数的单调性例1.判断函数

xf(x)0)

的单调性.解一：阐发：由于x∈R,所以于设x1>x2必分红三类：当x1>x2>0时则f(x1)-f(x2)=当0>x1>x2时则x1>0>x2时则

=(x1-x2)(x1+x2)>0；2.；3.当综上所述：x∈R,且x1>x2时,f(x1)-f(x2)>0.

所以函数f(x)是函数

注：分段函数的单调性的论必须对自变量的值分类讨论解：显然

f()

连续.当x时

f'(x

恒成立

所以

f(x)

是单调递增函数

当时

f

()

恒成立f()

也是单调递增函数,

所以

f)

在R上单递函数;或时间：二二一年七月二十九日

画图易知

f(x)

时间：二二一年七月二十九日在R上单调递增函数.例2.写出函数

fx)|2|

的单调减区间

y解析：

(x)f(x)(x(

,

画图知单调减区间

-

x为

(]2

.9．解分段函数的方程例1.设函数

f()

xlogxx(1,81

,

则满足方程

f(x

14

的

的值为_________解析若

21

,

则

2

,得

(

,

所以

（舍去若

x14

,

则

1

,解得

(1,

,

所以即所求例2.设函数

f()

xlogxx(1,81

,

则满足方程

f(x)

14

的

的值为_________解析若

2

1

,

则2,得

(

,

所以舍去若

x14

,

则

1

,解得

(1,

,

所以

即为所求练1：数f(x)=个实根那a满

12|(||

,如方程f(x)=a有只一A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>1时间：二二一年七月二十九日

[2005,2005]时间：二二一年七月二十九日[2005,2005]练2：定义为R的数

f(x)x0.

则关于

的方程f2xbf(x)有7个合实解充要条件是（）A.b且

B.且c

C.b且

D.b且c练3：函数

f(x)

在

(

上满足x)f)ff(3).

,

f(7)f(7)

,且在闭区间上只（Ⅰ）试判断函数

f()

的奇偶性；（Ⅱ方程明你的结论

f()

在闭区间上根的个数并10．解分段函数的不等例1设函数

f(x)

12

(x0)(x0)

,

若fx)

,

则得值规模是（）

y解一：首先画出

f(x)和的大致图像

易知

fx)

时

所对应的

0

1x的取值规模是

(

.

-1

1解二：因为

fx)

,

当

0

时

,

解得

,当

x00

时

x0

12

,

解得

x0

,

综上0的值规模是(

.

故选时间：二二一年七月二十九日

23时间：二二一年七月二十九日23例2设函数

f()

((x(x

,

则使得

f()

的自变量

的取值规模为（）A．C.

((

B.D.

([0,1][2,0][1,10]解析：当

时

fx)(

x

,所x,当f()4x

时xx10

,

所以

1

,

综上所述,0

,

故选A项例3设函数

(xf()(x

,

则使得

f()

的自变量x的取值规模为（）A．C.

((

B.D.

([0,1][2,0][1,10]解析：当x时,

fx)(

x

,所x

,

当x时f()4x

xx10

,

所以

1

,

综上所述,练1已知

,故选A项f()

,则不等式

xf(

的解集是_______练2：f(x)=

2,

则不等式f(x)>2的解为时间：二二一年七月二十九日

时间：二二一年七月二十九日________（1,2（3,