高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

《面量本理正分及标示目分知与能1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等过与法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。情态价观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。《面量本理正分及标示教分平面向量基本定理是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．其教育价值主要体现在有助于学生体会数学与实际生活的联系，感受数学在解决实际问题中的作用，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验、领悟数学的创造性和普遍联系性，有助于学生发展智力，提高运算、推理能力（1应了解的内容共向量的概念，平面向量的基本定理平向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。应理解的内容：向量的概念，两个向量共线的充要条件，平面向量坐标的概念。应握的内容向的几何表示，向量的加法与减法数向量的积，平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及几何意义，向量垂直的条件（2）注意处理好新旧思维矛盾学习向量运算与学习数的运算有类似之处：从学习顺序上看，都是先定义运算，再研究运算性质；从学习内容来看，向量运算具有与数的运算类似的良好性质。当引入向量后，运算对象扩充了，不仅仅是数的运算了，向量运算是建立在新的运算法则上，向量的运算与实数的运算不尽相同，向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范

围内不都适用，它有一套自己的运算法则。但很多学生往往完全照搬数的运算法则，而不注意向量运算法则的特点因此常常出错。在学中要注意新旧知识之间的矛盾冲突时让学生加以辨别、总结，利于正确理解向量的实质。例如向量的加法与向量模的加法的区别，向量的数量积与实数积的区别，在坐标表示中两个向量共线与垂直的充要条件的区别等等。(3)注意数学思想方法的渗透在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法。例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想。由于向量具两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题。总之，本节教材内容具有以下几个方面的特点：1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示由进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广n向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。《面量本理正分及标示学分有因1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运特是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这

为我们学习向量分解提供了认知准备。不因1.学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够能增加向量用基底表示时的难度；2.对于向量加减法及数乘运算停留在几何直观的理解上乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。3.如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵难认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。2.3.1

平向基定2.3.2

平向的交解坐表【学标、知识技：(1)理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；(2)了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等、过程方：(1)通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；(2)通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。、情感度价观(1)培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；(2)与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。【学点平面向量基本定理向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解面量的坐标表.【学点平面向量基本定理的理解运.【学程（）习入

1.向加法与减法有哪几种几何算法则？平行四边形法则、三角形法则2.怎理解向量的数乘运算

？（1）模：

；（2方向

时

与

a

方向相同

时

与

a

方向相反

时

a

.3.平向量共线定理是什么？非零向量a与向量共等价于存在唯一实数λ，使

b

a

.4．在物理中，力是一个向量，的合成就是向量的加法运也可以分解任一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之.这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.（）习知知点：面量本理探1给定平面内意两个向量

，e1

2

，如何求作向量

＋2e1

2

和

－2e1

2

？探2：在列两图中，向量OA,OB,OC

不共线，能否在直线

OAOB

上分别找一点M、N

，使

OMONOC

？探3在上图中，设

OA1

，

OB2

，

，则向量

、

ON

分别与

1

，

2的关系如何？从而向量与e，e的系如何？1ON.a11212探4若上述向量

1

，

2

，

都为定向量，且

1

，

2

不共线，则实数

12

是否存在？是否唯一？探5：据上述分析面内任一向量

a

都可以由这个平面内两个不共线的向量

1

，e

2

表

示出来，从而可形成一个定理.能完整地描述这个定理的内容吗？若

1

，

2

是一面的个共向，对这平内任向

a

，且有对数

，使＋1212

探6：述定理称为面量本理，不共线向量，叫做表示这一平面内所有向12量的一基.那：①作为基底的这两个向量是什么位置关系？②同一平面内可以作基底的向量有多少组？③当基底确定后向量的表示是否唯一？练练下面三种说法:①一平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法()A.①B.②③①③D.①②③解平面内向量的基底是不唯一的在一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基;而零向量可看成与任何向量平故零向量不可作为基底中的向量.综上所述：②③正确选B.知点：面量正分及标示探1不共线的向有不同的方向，对于两个非零向量

a

和

b

，作

OAa

，

OB

，如图.为了反映这两个向量的位关系，为向量a与的夹角你为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？探：果向量

a

与

b

的夹角是

，则称向量

a

与

b

垂直，记作

b

.互垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向交解探3平面直角坐标系中取与

x

轴

轴方向相同的两个单位向量

i、j

作为基底，对于平面内的一个向量

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数

x、

，使得＝＋yj

.我们把有序数，y向量坐作＝，.其中x叫做a在x轴上的坐标，叫做在如何？

轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.么x、y的何意义探4：等向量的坐标必然相等，作向量

OA

，则

(x，y)

，此时点A

的坐标是什么？练练

j

aO

i

如图，已知向量i、j两个互相垂直的单位向量，向量与i以向量i、j为底，如何表示向量a？

的夹角是30°且a，思：果以图中的O为坐标原点向i、j

的方向分别为平面直角坐标系的

x

轴、

轴的正方向，那么向量的标是什么？（）用例例：知向量

e

(如图5),求向量

2作法:(1)如图任取一点O,作OAe,12

.(2)作OACB.故OC是求作的向量思：有其它解法吗？（因为

eee21

所以利用向量减法运算的三角形法则也可得到）例：图，写出向量

a

，

b

，

，

d

的坐标解由图可知

a

=

+

=

xiyj

,

.同理,

ij

c=-2ij

d=2ij本小:

.本例要求用基底i、j表a、、d其关键是把a、b、c、表为基底i的线组.一种方法是把

a

正交分,看

a

在

x

轴

轴上的分向量的大小.把量

a

用

i

、j

表示出来进而得到向量a的标另一种方法是把向量

a

移到坐标原点,则向量

a

终点的坐标就是向量

a

的坐标.同的

方法,可以得到向量

b

、

c

、

d

的坐标例3如图在平行四边形

中，

AB

，

，

E、M

分别是

AD

的中点，点F

在

上，且

BF

，以,b

为基底分别表示向量AM

和EF

C

处方:师引导学生利用平面向量基本定理进行分,让学生自己动手、动.后让学生到黑板上板书步骤,并对书写真且正确的同学提出表扬对不写出完整解题过程的同学给予提示和鼓.解由

、、F

所在位置,有1AMADDC21ADAB2

=

AFAEABBFAE111ABADAD32b

.一多：量EF还其它解吗？本小：用知量示知量本：用向量的加法和减法对有关向量进行分解。方：合图像，从以下角度入手：（1）要用基向量意识，把有关量尽量统一到基向量上来；（2）把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；（3）用基向量表示一个向量时如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。拓延在题中若改为设AMEF以为底分别表示向量和AD解

,,由例题的分析可:

1ADABAM21AB6

，在本变式中由

AM

，

得：11ADAB(2a)13，得1ABab)613（）固习1.已向量

e2

，

2

，其中

e

、

e

不共线，则

a

与

cee

的关系（）A.不线

B共相等D.法确定2.已向量、e不共线实数、12

满足

则y的值等于)A.

3

B.

C.

0

D.

3.已

G

为

ABC

的重心设

,

AC

,试用

a

、

表示向量

AG

.4.

i,j

是两个不共线的向量,已知

3i2j

,

ijCD

j

,若B

三点共线,试求实数

的值.（）课结（）识：平面向量的基本定理；向量的夹角与垂直的定义；平面向量的正交分解；平面向量的坐标表示.（）学想方：待定系数法、归纳与类比、数形结合数学思想、方程的思想（）后业1.必题课本102页3题2.选题课本102页第4题3.课探作：请同学们课下小组合作探究下列命题正确与否：对比今天所做的必做题：e

与

e

是同一平面内的两个不共线向量,若存实数

1

,使

,则0.12试证明下面的问题：e与是同一平面内的两个不共线向量若存在实数

a,,11

,使

，则a2112（）书计

.课题1、平面量基本定理2、向量的夹角3、正交分解4、向量的坐标

多媒体课件展示影区

例题3：（1）（2）

课堂合作究1、2作图专用纸（格点图）作探究两个人一组名同学在面格点图任意画出两个量，一名同学出

3e＋2e和e－1

2BC

BCOA

AO

《面量本理正分及标示评练1.已向量

e2

，

2

，其中

e

、

e

不共线，则

a

与

cee

的关系（）A.不线

B共相等D.法确定2.已向量、e不共线实数、12

满足

则y的值等于)A.

3

B.

C.

D.

3.已G为ABC的重,设a,AC,试用a、表示向量.4.i,j是个不共线的向量已AB3i2j,CBiB三点共线,试求实数的.5.证下列两个结论：

j,CDj

,若（1）e与e是一平面内的两个不共线向量,存在实数0.12

,使得11122

,则（2）

e

与

e

是同一平面内的两个不共线向若存在实数

a,,11

2

,使得ee，则21221122

.《面量本理正分及标示效分1.本节课内容是为了研究向量方而引入的一个新定理——平面向量基本定.教科书首先通过“思考”:让学生思考于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反来对平面内的任意向量是否都可以用形如λe+λe的量表示.2.教师应该多提出问,多学自己动手作图来发现规通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮,要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如条件允许,借多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节的教学主线应以学

生练习为主教给与引导和提示充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学领思想方法的最好载.学生这种经历的实践活动越,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.《面量本理正分及标示观记吴师评贾老师的教学特点如下：1、教学设计好，教学流程清楚，环节紧凑、流畅，由易到难，层次分明，知识梳理清晰，既有对集体备课形成的教学案的使用吸收，又有个人的创新之，注重了基本数学方法的培养与基本数学思想的渗透学生从整体系的角度领悟复习要求从整体上处理教材内容，从系统上把握要求，整个设计把教学过程变成学生对知识的理解应用过程，变成了学生自己探索提升的过程，让学生的能力得到了提高。2、教学定位非常准。上课能与生的有效沟通，虽说上这节讲评课时间紧，内容和知识点多舍得把时间给学生去交流思考思路解决问题过程自板书示范，还让学生板书解题过程老充放手让学生自己动手动口，老师只引导点拨学生主动获取知识在潜移默化中领悟识使生完全成为课堂主人达知识学习与能力培养的统一，说明她善于启发调动学生学习的主动性，有较强的驾驭课堂的能力。建议：本节课是概念定理讲授课否以把横向综合性比较强力要求比较抽象的题目放在下节课，再在本节定理理解上再深入点、多花点时间呢。付师贾老师的课）注重了学生动操作能力的培养，如动手画一画环节让学生画向量的和得结论注及时总结梳理知识注重学生推理能力的培养注重分层指导和分层作业）意学生的板演纠正。刘师

贾老师的课：（1）重学生学习兴趣的培养。）注重好习惯的培养，如做笔记的习惯，回答问题过程严谨叙述的习惯，一题多解的习惯。）抓住难点和疑点仔细剖析。（4堂氛轻松愉快益教师语言风趣幽默现出老师驾驭课堂的能力很强所选例题习题有梯度。但应注意照顾大多数学生，特别是中下游学生，练习题的解答中出现的问题。邵师本节课的教学有以下闪光点：教学设计合理学方法以一中式为载体为探相扣出形结合思想。教师教学基本功扎实，教态自然，板书合理，灵活使用多媒体。当然无赤、人无完人节课依然存在一些不足：1、个问题提的不明确。2、由