高中数学《平面解析几何》

第5讲平面解析几何一总架安．体明平面解析几何是高考中的重点与难点，通常有一道小题与一道解答题．小题考查方程、基本性质时通常是中等难度的题；考查新定义问题创新应用问题则处在小题压轴的位置上．解答题题型多变，处在第19题位置，思路的难度与计算量都较大．本讲例1-例4处选择填空题，以创新应用与综合问题为主；例5例处解答题，主要是过定点问题与非对称形式韦达定理处理这两类问题．本讲例题安排：例例例例例例例

考点直线与圆的问题，注重几何性质圆锥曲线问题，方程与几何性质综合定性分析类问题抛物线与其它内容的综合解答题定问题解答题非称形式韦达定理理．间排本讲难度与题量偏大，建议课时小时．二一、轮三复衔一复时我用五讲内容复习解析几何包括直线与圆的方程与位置关系；圆锥曲线的定义、方程与几何性质；直线与圆锥曲线，包括位置关系判断的小题、点差法与代入法，以及弦长与积的解答题；选择填空题点拨；解析几何解答题中的中垂线问题、坐标运算与角度处理问题、共线题，以及坐标与长度的处理问题．一轮复习我们关注曲线的方程与性质本身的应用，综合性不强．二复的小我们注重性质的创新应用以及与其它知识的综合．如解析几何与不等式等内容的综合、新定义问题、动点存在性问题探索等．解答题我们讲两类：一是直线过定点问题；二非对称形式韦达定理处理．三复我们安排一讲解析几何解答题对策略与计算技巧，不再从题目的问法角度出发，更多地从解读题目中给出的关键条件并进行合理转化，如何设立计算目标并得到正确的计算结果与解析几何相关的创新题我们会放在创新小题一讲中．知识回顾<教师备>本版块复习了直线与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、基本量与何性质；焦点三角形与点差法等一轮复习时重点复习过的知识．建议时间25分，星级表示难度，星星越多，难度较高．小题快练61

25x25⑴（朝一模9）已知双曲线的方程为3

，焦点到渐近线的离________．（海淀高三期末11若物线

1过点，则A此抛物线的焦点的距离为．4⑶（西高三期末）双曲线x的个焦点是．y⑷（东二模7）若是和8的比中项，则圆锥曲线x的心率为______．513【解析】⑴距离为；；或；4⑸已双曲线y

的个顶点到它的一条渐近线的距离为，m．1【解析】；近线方程为顶点0，点到渐近线的距离3

，得m．2椭

x2516

的点FF垂于x的直线交椭圆于一点P么的是_____161634【解析】；F3,0，是可求得P，以．55已双曲线

x的左右焦点分别为F，，点在曲线上，且AF轴ab若

AFAF

53

，则双曲线的离心率等．2c【解析】；AF:F:3::故双曲线的离心率为．x22⑻已椭圆的左右焦点分别为FFP椭圆上一点PFFF60a2b2则椭圆的离心率e＝．【解析】3x⑼已知斜率为的线l与双曲线∶ab交于、D点，且BD中点为aM(13)则C的离心率为．【解析】

；B

,y

、D

,

、

,

xy，由点差法知．abb由中点坐标公式得．而k，，，入有，得．a⑽若个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率．3【解析】；5圆的圆心与点关于直线y对称3x与圆C相交于两点，且|AB，圆的程为．【解析】xy．（浙江文8如图，中心均为原点的曲与椭圆有公共焦点，M是曲线的两顶点．若O将圆轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是______．【解析】；62

2y．（2012顺义二模13已知、B是曲上不同的三点，且A、B两点2b关于原点O对，若直线的率乘积6【解析】；2

，则该双曲线的离心率e．知识纵横<教师备>本版块列出了直线与圆曲线的知识网络体系作学生对自己知识体系的检验．老师可以重点讲讲直线方程不同形式如何选择及每种形式不能表示的直线（易错点直线与圆的位置关系问题的常见处理手法（利用点到弦的距离对应的三角形结合知识回顾回顾总结圆锥曲线的性质与离心率常见求法等．63

点(x点(x，)关于点ab)对关于点ab)称位置关系

倾斜角的变化与斜率的变化重合平行直线

截距注意：截距可正、可负，也可为

相交

垂直点斜式：y＝(－)斜截式：＝＋b直线方程的形式两直线的交点

y－－两点式：＝－yx－xy截距式：＋＝a一般式：Ax＋＋＝0

注意各种形式的转化和运用范围.距离

点到直线的距离：d＝

Ax＋＋|－C，平行线间距离：＋B＋圆

圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系

相交、相切、相离相离、外切、相交、内切、内含曲线与方程椭圆

轨迹方程的求法：直译法、相关点法、参数法、交轨法定义及标准方程圆锥曲线

双曲线抛物线

性质离心率

范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴短轴（虚轴近线（双曲线线（只要求抛物线）点(2a－x，2)───────→中心对称曲线f(，y)

───────→

曲线f(2a－，2b－)对称性问题

轴对称

点(x，)与点(x，)关于直线Ax＋By＝0称特殊对称轴x±y＋C＝0

中点在线上、垂直直接代入法64

33例题精讲考：线圆<教师备>直线与圆的位置关系的判断一般不联立方程，而是通过圆心到直的距离与半径的大小比较得到．这也是直线与圆的问题的主要解决思路，【例1】⑴2011湖文14过点圆

y截的弦长为，则直线l的斜率为．⑵（师大附模拟文7）设、是关于方程mx1的两个不相等的实数根，那么过两点x2x2位置关系是（）112A相切B相离．相交D随

的变化而变化⑶（2012江苏12）在平面直角坐标系xOy中圆的程为

y

x，直线kx上至少存在一点，使得以该为圆心为径的圆与圆C有共点，k的大值是_____．17【解析】⑴1或；7⑵A⑶

43

；目班案【拓2】若曲：xyx与曲线：()有个不同的交点，则实数m取值范围是（）3A

3B0，C．

3，3

D．

33【解析】B；考：锥线义几意<教师备>本考点涉及到圆锥曲线小题中常遇到的一些基本问到圆锥曲线的定义与几何性质等．圆锥曲线的小题侧重于几何性质，大题侧重于代数解法．这里这些小题都可以通过分析几何方面的特征，转化题目的条件，得到结果．x【例2】⑴（2012四文15）椭圆（a定值，且5）的左焦点为，直线x与a椭圆相交于点A、B，△的长的最大值是，则该椭圆的离率是．⑵（昌高三上期末文）一圆形纸片的圆心为点，是圆内异于O点一定点，65

x点A是周上一点纸折叠使点重后展平纸片痕交于点点A运时点P的轨迹是（）xA圆B．椭圆C双曲D．抛物线⑶（海高期末文8点到形C上一个点的距离的最小称为点到形距离．已知点(1,0)，：

y

，么平面内到圆C距离与到点的距离【解析】⑴

之差为点的轨迹是（）A双曲线的一支B．圆．抛物线D．线23⑵B⑶D【选（北文4）将两个顶点在抛物线y个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则（）An

B

C．n

Dn【解析】C；考：性析问<教师备>解析几何问题常常在选择或填空的压轴题中出现一类问题需要学生理解题目中所给的条件，以对题目进行定性分析为主，数形结合，避免直接的定量计算，最多辅助一些简单计算，得到所要的结论．这里以几道12年北京模拟与高考题为例，看看定性分析类问题的一些解题思路与思考方向．【例3】⑴2012浙文）定义：曲线C的点到直线l的离的最小值称为曲线C到线l的离，已知曲线C:yx到线l:的距离等于曲线C:xl:y的离，则实数a．

y

2到直线⑵（海淀二模文14）已知定点M

2

，N

，直线l：kx（为常数若M、N到线l的离相等，则实数k的是；于l上意一点，恒锐角，则实数k的值围是．x（2012西二模文已曲线C的程给出下列三个结论：①曲与坐标轴有公共点；②曲既中心对称图形，又是轴对称图形；③若P，在线C，则PQ的最大值是．其中，所有正确结论的序号____．【解析】⑴

⑵，；

⑶②66

考：物与它识合<教师备>一个问题涉及到两个或两个以上的知识点需要这两块知识进行灵活应用种知识点之间的综合在考试中非常常见，也是二轮复习的重点．尖班案1【铺1】过抛线px(0)的焦点作倾斜角为60线抛物线分别交于，B两（在轴上方

AFBF

．【解析】3；【例4】⑴（辽宁文12知Q为物线

上点Q横坐标分别为4，过，Q别作抛物线的切线，两切线交于点A，点A纵坐标为（）A1B．3．⑵（西城模文8已知点A、(10)及物线y，m的大为（）A3B．．3D．

D．，抛物线上点满⑶（2012年城一模14）如图，已知抛物线yx及两点Ay

，其中．、A分别作轴垂线，交抛物线于B、B两点，直线与轴于点A0y，此时就称A、A确了A．依此类推，可由、A确，．记2,3,．给出下列三个结论：①数数；B②对*；③若4，y，y．3其中，所有正确结论的序号．【解析】⑴⑵⑶①③．考：点题<教备案对直线过定点问题，一般有两种处理方式：一是接设该直线的方程，通过题目的已知条件化简整理出直线方程中两个系数之间的关系，从而得到定点；二是先通过特殊情形得出定点的坐标，之后通过计算该直线上的两点分别与该定点的连线的斜率，通过斜率相同说明这三点共线，即说明这个定点在该直线上．尖班案2x【铺1】（东城示校二模文知圆Ca焦分别为F,F，a67

2222

22

．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线xy2相．⑴求圆的方程；⑵若率为l与x轴椭圆顺相交于点,M（A点椭圆右顶点的右侧A．①求证：直线l定点2,；②求斜率k的值范围．c【解析】⑴由意知e，以a2

b．a

b

．又因为b，以a

，b

．x故椭圆的方程为y2

．⑵由意，设直线l的程为ykx（y,由

kx

，消去y得m则，x，k

，因为NFFMFA，且A90所以，F1,，ykx∴，．xxx化简得：2mm，将x，x代入上式得m（满足22即直线l的程为y，直线过定点将入

k

得4

，，从而直线l的率的值范围是

．x【例5】（2012东高三期末文19已椭的右点分别为F，F，点aM一顶点，△F是等腰直角角形．⑴求圆的方程；⑵过M分作直线MA，交椭圆于，B两，设两直线的斜率分别为k，，且21，明：直线AB过点,．2【解析】⑴依意可知，a．y则椭圆方程为．⑵法：依题意易知直线l的率存在，可设的程为y68

2222211yyy则有，，即，2222211xxx化简整理得：kx……①kx由y消整得：4km2则，x，…②1k

把②代入①得：

，化简得，则k所以直线方程为y，即m2x，直线AB过定点,．2法二：依题意可知直线:x，:xkx由y，去y得x，4即x1

，代入直线方程得

kk

，2k同理可得，，12设点,，22

，同理可得

k

，而，而

，1即A,B,N三共线，直线点N,．2考：对形韦定应<教师备对于不能直接利用的韦达定理形式，一般遇到的都是xtx（t形一般处理bc思路是：把tx分别代入韦定理中，得到1，tx，而得到方程：a中a,b,为线与圆锥曲线联立消元之后得到的一元二次方程的对(1ta应系数【例6】（2011东一模文19已知椭圆C的心在坐标原，焦点在x上，离心率为

12

，椭圆上点到焦点距离的最大值为3．⑴求圆的准方程；⑵若点P)直线l与圆C交不同的两点，B，，实数的取69

ak22值范围．ak22y【解析】⑴设求的椭圆方程为：0)，b

由题意：，a2c

O

l

x所求椭圆方程为：．433⑵若点P)的线斜率不存在，则m．2

若过点P(0)直线斜率存在，设为此时直线AB的程为，由)kmx，64k2)(4m212)2因为AB和圆C交不两点，所以k

，所以k①设Axy)，，8kmm则xx3k3k

②由已知AP，my)，PB)，有x③将③代入②得：xx，故有

km

mk

，整理得：mk，所以

9m16

．将它代入①式得4k

m4(mm，理，3解得4

．3所以3m或3．2综上可得，实数的取值范围为

33

．目班案2y3【拓2】（城一模文19）已知椭圆的距3，心率为．2⑴求圆方程；⑵设椭圆顶点的线交椭圆于另一点x轴点E，，DE成比数列，求k的．【解析】⑴由知223，70

c3．a

yDDD解得a，yDDD所以b，x椭圆的方程为．4⑵由⑴得过B点直线为ykx，

yB由得

2

kx，

D

E

所以x，以，11依题意k，，．2因为，，DE成比数列所以BEBD，即b

D

y

D

，即

D

D

，当y时D当y0时yD

DD

y无解，Dy解得yDD

12

，15所以，得k，1所以，当BD，，DE成比数列时，k头脑风暴

254

．（2011安徽）在平面直角坐标系中，如果x与都整数，就称点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命的编号①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都无理数，则直线ykx不过任何整点③直线l经无穷多个整点，当且仅当l经两个不同的整点④直线经无穷多个整点的充分必要条件是：与b都有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【解析】①③；①正确，如x3就经过任何整点；②错误，如y经整点0)；③正确，设lAxBy，当l经两个不同的点(x，)，)时有C，AxC，于是mx)(nym，m即取n，Z时点mxnxmy)直线l上且为整点．故此时l经无穷多个整点．反之一定成立．④错误，直线y经过无穷多个整点的必要条件是与都是有理数，但此条件不充分．如不经过任何整点．⑤正确，如2x恰过一个整点(00)．71

实战演练【演练1】（2012昌高三上期末文13已知D是不等式组

y≥0

所确定的平面区域，则圆

在区域D内弧长为；弧上的点到直线y的离的最大值【解析】

等于_．10；25x【演练2】双曲线（a，b的左、右焦点分别是，过F作斜角为ab1线交双曲线右支于M点若垂直于x，则双曲线的离心率为（）A6

B3

C．2

D．

33【解析】B；【演练3】设物线y的焦点为经点(2的线l与物线相交于A、B两又点为的点，则AFBF．【解析】；【演练4】（2011北文8已点A(0，B若点C在数的面积为2的C的数（）

的图象上则使得△A

B3

C．2

D．1【解析】A【演练5】（2012门沟一模文14过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、两点是标原点．则

；若该抛物线上有两点M、N，足OM，直线必过定点

．【解析】

34

；y1【演练6】（2012朝阳高三期末文19）知椭圆C:a的离心率为，且过点3P为其右焦点．2⑴求圆C的程；⑵设点A(4,0)的线l与圆相交于M、N两点在,N两之间AMF△MFN的积相等，试求直线l的方程．【解析】⑴∵72

c1，∴a，b3．2

．3x3．3设椭圆方程为又点在圆，c3c2∴

1，c解得

y，则椭圆方程为3⑵依意易知直线l的率存在且不为零，可设l的程为ty（由

y3

消去x整，得t

4)

ty