高中数学立体几何初步

11立几初[巩层·知识整][提层·题型探]空间几何体的表面积与体积【例1】17世纪本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝”中的常数k称“立圆术”或“玉积率”用求“玉积率”的特方法“会玉术”，其中为径，类似地，对于等边圆轴面是正方形的圆柱叫做等边圆)、正方体也有类似的体积公式＝kD，中，在等边圆柱中，D表底面圆的直径；在正方体中，D表示长假运用此“会玉术”求得的球边圆柱正方体的“玉积率”分别为k，k那么k∶＝()ππA．∶∶14612C∶3∶π44球中，＝π＝π33

ππB．∶∶26436D∶∶2πππ＝D＝，所以＝；66ππ等边圆柱中＝π＝k，所以＝；44正方体中，＝＝，以k＝1-1-

ππ36所以∶∶∶∶1∶∶.]642π记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关.及古代文化背景的题目，首先读懂题意，再按题意与所学的知识联系起来，将问题转化为我们熟悉的问题后再解.[跟进训练1章术》是我国古代内容为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积()A．142π平方尺C．138π平方尺

B．140π平尺D．128π平尺C[可以把该四棱锥补成一个长体，长、宽分别为7尺尺，高为8尺四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为＋5＝138，所以表面积为4π×138π平方．与球有关的切、接问题

＝【例2】求长为的四面体的外接球、内切球及棱切球的半径．[思路探究正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O合，则内切球的半径为点到各面的距离，外接球的半径为点O到各点的距离，棱切球的半径为点各棱的距离．[解]

由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合．如图所示，设正四面体A的为AG为正面体的中心，连接CG并延长交BD于点E连则外接球的半径R＝＝由题意可得＝

3，22313则CGCE＝，＝CE，3336所以AGAC－＝

6a6.所以OG＝－33-2-

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC在Rt△OCG中，＝＋，6即＝－，得R＝3

6.4所以内切球的半径＝OG＝

6a66－＝.3412棱切球的半径为OE＝EG＋OG

＝

aa2a＋＝.12244常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下：[跟进训练32π2．(1)已知正方体的外接球的体是，么正方体的棱长()3234243A2B．C．D333(2)设A，，，是一个半径为4的球的球面上四点，为边三角形且面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为)A．123B．183C．243．543(1)D(2)B

[(1)根据球的体积，求得其半径＝2，再由r＝

3a43可得棱长a为.231(2)设等边△ABC的边长为x则xsin60°＝9，解得＝6.△ABC的接圆半径为2r，则r3，以球心到所在平面的距离＝4－23

＝2，则点到面ABC11的最大距离dd，所三棱锥积的最大值V＝×6＝×9＝33183.]空间中的平行关系【例3】如图所示四形ABCD是平四边形⊥面ABCDMA∥PBPBMA在线段PB上是否存在一点F使平面AFC∥平面PMD？存在，请确定点的置若不存在，请说明理由．-3-

22[思路探究假设存在满足条件的点，由于平面AFC平面，平面AFPM与面、平面PMD分别交于直线，PM则必有AF∥，PB＝2，则点F是的点．[解]当F是的中点时，平面AFC∥平面PMD，明如下：如图，连接和BD交1于点O，连接，那么＝PB．2∵四边形是平行四边形，∴是的中点．∴OF∥又平面PMD，平PMD，∴∥平面PMD又MA

1PB，∴PF．∴四边形是平行四边形．∴∥.又平面PMD，平PMD，∴∥平面PMD．又AFOF，AF平面，OF平AFC．∴平面AFC∥平面空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．3．如图，已知四边形是平行四边形，点P是平面ABCD外点是PC的中点，在DM上取一点G，过和AP作面交平面BDM于，求证AP∥.-4-

[证明]连AC交于O，连接MO，因为四边为平行四边形，所以O为AC的中点，又因为为的点，所以∥，又因为MO平，PA平面，所以PA平面，又因为PA平，平面∩平面＝GH所以PAGH空间中的垂直关系【例4】如图所示三棱柱ABC中面是等腰三角形＝⊥底面ABC．(1)若是BC的点，求证⊥；(2)过侧面BBCC的角线的平面交侧棱于点，若＝，证：截面MBC⊥侧面BBC[解](1)证：因为ABACD是BC的中点，所以ADBC．因为底面ABC⊥侧面BBC底面ABC∩侧面BBCBC，所以AD侧面CC．所以AD.(2)延长B与的长线交于点，连接.-5-

因为AM，所以＝.因为C＝＝，所以CN⊥C，所以⊥侧面因为截面MBC，所以截面MBC⊥面空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[跟进训练4．如图，ABCD正方形，点在BC为直径的圆弧(不，重)，为段BC的中点，现将正方形ABCD沿折起，使得平面⊥面BCP.(1)证明：⊥面DCP(2)若BC＝2，当三棱锥D的体积最大时，求E到面的距离．[解](1)证：因为平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，平面∩平面＝BC所以DC⊥平面因为BP平BPC，以BPDC．因为点P在BC为直径的半圆弧上，所以⊥又DCPC，所以⊥面DCP.︵(2)当点P位BC的中点时，的面积最大，三棱锥DBPC的体也最大．因为BC＝2所以PE＝1-6-

11所以△的面积为×1×1，22111所以三棱锥DBEP的体为××2.323因为BP平面，所以BP⊥，DP＝22

－2

＝6，1△的面积为2×6＝3.2设到面BDP距离为d，由于V，BEPBDP113则×3×＝，得＝，333即到面BDP距离为

3.3空间中的角的求解【例5】如，在三棱锥S中，SA＝SB＝＝2，＝23，＝1.(1)画出二面角SC的平角，并求它的度数；(2)求三棱锥S的体积．[解](1)取中点，连接SD，CD因为SASB＝2AC＝BC＝2，所以SDABCD，且SD平SAB平，所以∠是二面角S的面角．在直角三角形SDA中，SD＝

－＝2

－3

＝1在直角三角形CDA中，-7-

ABCeq\o\ac(△,S)33ABCeq\o\ac(△,S)33CD＝－＝2－

3

＝1所以SDCDSC＝1所以△是等边三角形，所以∠＝60°.(2)法一：因为⊥ABCD⊥AB，∩＝，所以AB⊥平面SDC，又平面，所以平面ABC⊥平面SDC且平面ABC平面SDC＝CD在平面内作⊥DC于O，⊥平面，即SO是棱锥SABC的高．在等边△中，＝

32

，所以三棱锥SABC的体111V＝·＝×3×1×332

31＝22法二：因为⊥，AB，∩＝，所以AB平面．在等边△中，＝eq\o\ac(△,S)SDC

33SD＝，44所以三棱锥SABC的体11V＝＋＝·＝×ABCSDCSDCeq\o\ac(△,S)

31×23＝.421．两条异面直线所成的角(1)一般通过平移(在给图形内平移一条直线或平移两条直线或补形补的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化共面直线所成角来计算．(2)平移时经常利用某些特殊点(中)或中位线成例线段来实现补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何如正方体、长方体、平行六面体)．2．直线和平面所成的角当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步骤一找(寻找现成的二面角的平面)二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数)．-8-

[跟进训练5．在我国古代数学名著《九章术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中AB平面BCD，且AB＝＝，则异面直线与所成角的余弦值为)1133A．B．－C．D．－2222A[如图，分别取BCCDAD，的点MN，，，连接，，，，，则MNBDNP，以即为异面直线ACBD所的(其补角．11又由题意得⊥，＝AB，MQ＝22设ABBCCD，PM＝2.11又MNBD＝2，＝AC＝，22所以△为等边三角形，所以∠PNM＝60°1所以异面直线与BD所角为60°其余弦值为.]2[培层·素养升]【例题】如，直四棱柱BCD底面是菱形AA＝4，AB＝2∠BAD＝60°，E，，分是BC，的点．(1)证明：∥面CDE；(2)求点C到平面的离．-9-

[思路探究(1)连接B，，可得四边形MNDE为行四边形，进而得出∥，可证MN∥平面CDE(2)由已知可证⊥面，点C作CHCE于点，则DE⊥，进而可证CH⊥平面DE，计算可得CH的，从而得所求距离．[解](1)证图所示接因为M别为BB的点以∥C，1且ME＝BC．21又因为N为的点，所以＝AD．2由题设知AMN∥

DC，可得BC，故MEND因此四边形MNDE为平四边形，所以又平C，以MN∥平面C.(2)如图所示，过点作E的垂线，垂足为H由已知可得DEBC⊥C所以DE平面CE故DE.而⊥面C，故417CH的长即为点C到平面C的距离知得CE＝4CE＝17＝.17417从而点C到面C的离为.17本题属中档题，难度不大，考查了线面平行的证明及点面距离的计算，充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素.[素养提升练]如图，在四棱锥中底ABCD为矩形，面PAD⊥面ABCD⊥，PAPDE，分为AD，的中点．(1)求证：⊥；-10-

(2)求证：平面⊥面PCD(3)求证：∥面PCD[证明](1