高考数学真题不等式选讲

专题十六

不等式选讲第四十二讲不等式选讲2019年（全I理）选4—：等式选讲（10分已知a，，c为数，且满足abc=1证明：（）

222

；（）

()

)

．（2019全II

理23）选修4-5：等式选（分已知

f(x)x|xx|(（1当a时求不等式

f(x0

的解集；（）

(

时，

f(x0

，求

的取值范围（2019全III

理23）选4-5不等式选（10分）设

，

.（）

(22

的最小值；（）

(

2

y

z)

2

13

成立，证明：

a

.2010-2018年解答题．(2018全国卷)[选不等式选]（10分）已知

f()xax

．(1)当

a

时，求不等式

f()

的解集；(2)若x时等式

f()

成立，求的值范围．．(2018全国卷)[修－：等式选讲]（分设函数

f(x)x|

．(1)当

时，求不等式

f(x)≥0

的解集；1

(2)若

f(x)≤

，求

a

的取值范围．．(2018全国卷)[修—：等式选讲]（分设函数

f(x2x

．(1)画出

fx)

的图像；(2)当

时，

f(x≤

，求

的最小值．．(2018江苏)D[选修4：不等式选讲](小题满分分若

，

，

为实数，且

z

，求

xy2

的最小值．新课标Ⅰ）已知函数

f(x)

2

ax，(x

．(1)当

时，求不等式

f(x)g)

的解集；(2)若不等式

f(xg()

的解集包含[，a的值范围新课标Ⅱ）已知

a

，

b

，

3

，证明：

(a)(

5

5

)

；

．新课标Ⅲ）已知函数f()|

．(1)求不等式

f(x1

的解集；(2)若不等式

f()x

2

的解集非空，求

的取值范围．2

江苏）已知

a

，

，

，

为实数，且

2

，

2

，证明

ac

．年全国I高）已知函数

f(xx

．（I）在图中画出

fx)

的图像；（II）求不等式

f(x)|

的解集．102016年国II已知函数

f

，不等式

f

的解集．（I）求M（II）证明：当，bM时

1

．2016年全国III高）知函数()（Ⅰ）当a=2，求不等式f(x)≤的集；（Ⅱ）设函数()x当x时，(x(≥3

，求取值范围．122015新标1已知函数

f(xxx，a．（Ⅰ）当

时，求不等式

f(x

的解集；（Ⅱ）若

f(x

的图像与

轴围成的三角形面积大于，求

a

的取值范围．132015新标2设

,bc

均为正数，且

a

，证明：（Ⅰ）若

ab

>

，则

cd

；（Ⅱ）

cd是|a|

的充要条件．3

11142014新标1若

，且

11abab

．(Ⅰ)求

3

3

的最小值；（Ⅱ）是否存在a,b，得a

？并说明理由．152014新标2设函数f（Ⅰ）证明：；

f

=

xaa（Ⅱ）若

f

，a的取值范围．162013新标1已知函数f()2|,x)=x.（Ⅰ）当

a

时，求不等式f()

＜g)

的解集；（Ⅱ）设

＞且当

∈[

a，)时f()22

g()

求

的取值范围172013新标2设

,b,c

均为正数，且

，证明：（Ⅰ）

ab

13（Ⅱ）

a2b22ba182012新标）已知函数

f(xx||

．（Ⅰ）当

时，求不等式

f(x

的解集；（Ⅱ）若

f(x)|x4|

的解集包含

1,2]

，求

a

的取值范围．192011课标）设函数

(x,其中．（Ⅰ）当

a

时，求不等式

(x)x

的解集；（Ⅱ）若不等式

(x)

的解集为

x

，求的值．专题十六

不等式选讲第四十二讲不等式选讲答案部分4

221.解（）为

2019年abbbcc，abc，有a22

ab111

.所以

11abc

2

2

2

.（）为ab

为正数且

abc

，故有)

3

b)

3

)

3

3

3

(b)

3

3a+bc)(ac)(2ab)))=24.所以

(a)b)3c)324

.2．解（）a=1时fxx+|

.当时f(xx

；x时，f(x)

.所以，不等式f

的解集为

.（）为f()=0

，所以a.当，x(，(x)=()x+(2)(x)(x所以，的值范围是[

.3．解（）于

[xyz222z2[(zz1)]

2y2

，故由已知得

(y22

43

，当且仅当=

53

1，=–，3

13

时等号成立．所以

(2

z2

的最小值为

43

.（）于

[xyz)]5

x

z)

y1)(z)z2)]32z)，故由已知x2

)3

，当且仅当

x

4a，y，z时号成立．333因此

(2yz2

的最小值为

)3

．由题设知

)3

13

，解得

a

或

．．【解析】当时

年≤f()x即f(),

x≥1.故不等式

f(x)

的解集为

{x}

．(2)当x(0,1)时|axx

成立等价于当(0,1)|ax

成立．若a

，则当(0,1)时ax

；若

，

|ax

的解集为

2，所以

≥1

，故

．综上，a的值范围为(0,2]．．【解析】当

时，

x≤f()≤2,xx2.可得

f(x)0的集为{≤≤3}

．

f(x)≤等于|≥4

．而

|

且当

x2

时等号成立故

f(x)≤

等价于

a≥

．由

a≥

可得

≤

或

，以a的值范围是

(

．6

．【解析】

,21)≤21.f(x)

的图像如图所示．(2)由(1)知，

f()

的图像与

轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率最大值为3故当且仅当3≥时(x≤ax在[立因此a的最小值为5．明由西不等式，得)(1)xy．因为y，以

y

当且仅当

xz24时不等式等号，此时xy，，12233所以的小值为4析）当

a

时，不等式fg(x

等价于x2x0

．①当

x

时，①式化为

x

，无解；当

时，①式化为

x20，而≤1

；7

当x，①式化为xx

，从而

x

．所以f(g)

的解集为

{|x

}

．（2当所以f(g)

．时，()的解集包含[，价于当1,1]

时fx)2

．又f)在[的小值必为f(与(1)之一，所以(2且f(1)2得≤

．所以

的取值范围为[．析）

a565b632ba44)a

2

2

2（2∵

4)a32ab2()

3(a)4

2

(a)

a)4

3

，所以

(a)

3

，此a

．析）

f(x)

，当

时，f

无解；当

时，由f

得，

x1

，解得

28

当

时，由f

解得

．所以f

的解集为（2由f

2

得xx

2

，而

+1+

x-

32

2

5+≤4且当

x

时，

x

2

=

．故m的取值范围为

5-4

．析】证明：柯西不等式可得：

acbdc2

，因为

a

2

2

4,

2

2

16,所以

bd)

2

，因此

ac

析】如图所示：≤f，x．3≥2当x，解得或x，∴≤当

32

1，，解得x或，39

1∴或，333当x≥，4解得或x，≤或x，221综上，或或x3f，集

1110析）时，x，；21当时f2

恒成立；当x

时，

，f

，x．综上可得，M（Ⅱ）

当a

2

2

即

b

，则a

b

，则即a，证毕．析）

a

时，

f(x)x|

解不等式

|，

因此，

f(x

的解集为

{3}（Ⅱ）当R时f()()2x|x|2x|

，当

x

12

时等号成立，所以当R时，f()()价于||

①当

1

时，①等价于

3

，无解当

时，①等价于

3

，解得

所以

的取值范围是

[

12析）当a时不等式

f(x)化为xx

，当

≤

时，不等式化为

，无解；10

当

x

时，不等式化为

3x

，解得

23

；当

x1

时，不等式化为

，解得

≤x

．所以

f(x)

的解集为

{|

23

．（Ⅱ）有题设可得，

f()a,≤≤

，所以函数

f(x

图象与

轴围成

a,的三角形的三个顶点分别为

(

2a3

,0),B(,a

，

ABC

的面积为2(．题得3

(a

，．以的取值范围为13析）∵

(a)

a，(d)

cd

，由题设

，abcdab)

c)

．因此

cd

．（Ⅱ）

a

，则

a)

2

)

2

，即

a)

2abc)

．因为

a，以，（Ⅰ）得

cd

．（ⅱ）若

cd

，则

(ab)2c)

，即

aab

．因为于是

bcd，以cd，a)2a)2abc)2cdc)

．因此

a

，综上

cd是|a|

的充要条件．14析）

ab

11，得，当aab

时取等号．故

a

，当2

时取等号．所以

的最小值为

4

．11

（II）由（I）知，

263．于43

，从而不存在ab，使得

2a

．15析），(x)x

1xx)a

．所以

f(x

≥2.（Ⅱ）

f(3)

1a

3

当时

a

＞3时，

f(3)

=

a

1a

，由

f(3)

＜5得＜

a

521＜．2当＜a≤3时f(3)=6

1a

15，由(3)＜5＜a3．2综上，

a

的取值范围是（

1521，2216析(Ⅰ)

=

时，不等式)

＜()

化为|x|

，设函数=x

1x21，=2x

，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当

时，

＜，

∴原不等式解集是

{|02}

．（Ⅱ）当