2015第八届挑战赛二阶段优秀集

编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好竞赛统一编号（由竞赛送至评委团前编号竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号（填写2015年第八届“认证杯”数学中国（填写题 目 对于不同打结方法绳结松紧和极限强度的研关键词 松紧极限强度曲率半径微元法 要 ATherearemanykindsofmethodstoknot.Themethodtoknotdeterminestherangeofapplications.Inordertodeterminetheultimatestrengthandtightnessoftheknot,weestablishfourmodelstosolve.Modeloneisthesurfacefrictionmodel.Ittakesthestress differentintoaccount,basedontheknotofthemainforqualitativeysis,andthengetstherelationshipbetweeneachelementmethod.Modeltwoisthestrengthofmolecularmodel.Weyzethestrengthfromthemolecularlevel.Thefiberstrengthisthemeasurementofultimatestrength.Andthenweyzethefiberstrengthofthewholemolecule.Modelthreeisthecurvaturebendingfatiguemodel.Wecalculatetheparameterequationofcamprofilethroughnumericalmethodandgettheradiusofcurvatureofcamprofile.ThroughthegeneralrelationshipbetweentransitioncurvatureradiusandfatigueultimatestrengthandinferstherelationshipbetweenthemagnitudeoffatiguestrengthofthedifferentmethodoftheknotModelfouristheimprovedmodelofthesecondquestion.Considertheeffectoftorsionontheultimatestrengthofrope.Throughthestudyoffourmodelysis,weobtainedajudgmentmethodofthedegreeoftightnessofthedifferentknotsandknotultimatestrengthsize:tightnessoftheknot, ultimatestrength,radiusofcurvature,infinitesimalmethod一.背景分 二.问题的描 问题重 问题的分 三.模 绳结稳定性判别方法分析模 符号和定 模型的假 模型的建 结 结果的分 模型优缺 从分子层面分析强度模 符号和定 模型的假 模型的建 结 结果的分 模型优缺 曲率弯曲疲劳模 符号和定 模型的假 模型的建 结 结果分 模型的优缺 模型的改 符号和定 模型的假 模型的建 结 结果的分 四.参考文 一.背景分二.问题的描我们通过四个模型的分析与研究,判断了绳结的牢固程度即是否容易自动三.模ff合f2f1f合 f5r与(F1F3(F2F4r与(F1F3(F2F4T1与T2T3与T4MfMfMF33

Mfr(F1F3)(F2F4)MMFr(F1F3)(F2F4)由分析知，（1）当，即向量(FF

时，

MfMfMfMF度保持不变（2）当12时，由于摩擦力所属力，所以 MfMF21可得F2T1T2(

f合1f合1f3+f合f合2=f合2 f合2T1T2(f4f5f6) 3.1.5的打结方法中，基于第一阶段对于双结的研究，多出一个图六接下来我们对于不同结构的双环绳结进行分析对于3.1.1，图3.1.2，3.1.3所示的结构，

F(e

，可以得到1ln(

⑴1⑴1张力和摩擦力，由（1）知，随着夹角

力f，对于11221,2所指部分作出受力分析OOT1与T2所在的平面和T3与T4所在的平面成一定的夹角，这个夹T1与T2，T3与T4分别合成就得到T合1T合2。在合力T合1和T合2通过对不同打法的成双结进行分析可知，绳结的弯曲程度及图3.1.83.1.103.1.113.1.83.1.103.1.11所示结构的数量越（1（2）变（弹性形变和范性形变（3）Fdr12F1(1d)2 Fdr90%-95%左右，其高低与纤维强度无纤维素绝对重量(mg/cm),则重量高。如亚洲棉,尽管其对单纤维强力有一定作用,但作为提高纤维强度的一项重要指标是不足取的。陆地棉品种内不同成熟状况的纤维比较时,如纤维素相对含量的50%-90%之间,则纤维素含量与纤维强度间有极明显正相关，相0.71-0.98。同时,作为衡量纤维素自身质量(分子量)的主要指标---聚合度对纤维强度的影响也是有限的。一般认为,3000左右,抗14000左右,品种间成熟纤维聚合度差别较小,使其与纤维强度无规律性的相关。有序程度的差异有晶区与非晶区之分,晶区的存在成为纤维素大分子间的物理交联点,可大分子链间相对滑移,改善力学性能。结晶度愈高对提高纤维抗拉伸强度愈有益。但本研究证明,四大栽培棉种间正常成熟纤维的结晶度虽略有差异,但差别较小,除非洲棉较低,43.6%外,46.3%52.9%之间3.2mm0.374、0.316,均无显著相关。表明当晶区达到一定数量后,纤维抗拉伸性能更主要取决于晶区内的大高。本研究表明,不同栽培棉种正常成熟纤维的晶粒尺寸比较接近,在46.51.2

范围内,与纤维强度未表现出较好相关性,mm隔距比强度的相关系数仅为-0.038及-0.229。晶区取向性说明的是晶区纤维素大分子排列的有序程度,一般用三项指标表示。其中螺旋角是指基元纤螺旋排列后与纤维纵轴所呈的夹角;是纤维素大分子链与螺旋结构趋向的夹角;取向分布角则是根据、得到的晶区总取向。理论上

、、角愈小,纤维素大分子的合力愈大,强度愈高。三项取向角与零隔距比强度间均有余弦关系k2T1Tk k22T0Tk1cosT2T0Tk

cos ③1其中:T0实际零隔距比强度;Tk零隔距比强度理论最大值1

k距比强度；Tk2将各棉种实测零隔距比强度与取向分布角代人式③可求得Tk值,其中海124千磅/Hebert分析认为,52cN/tex的结果基本接近。说明成熟纤维的取向参数仅是决定纤维强度的原因之一。同时表明,海岛棉与其它栽培棉种取向参数相同时,纤维强度仍然较高。但本研究证明,四大栽培棉种间正常成熟纤维的结晶度虽略有差异,但差别较小,除非洲棉较低,43.6%外,46.3%52.9%之间,与零隔距3.2mm0.374、0.316,均无显著相关。本研究表明,不同栽培棉种正常成熟纤维的晶粒尺寸比较接近,46.51.2

范围内,3.2mm隔距比强度的相关系数仅为0.038及-0.229124千磅/当晶区达到一定数量后,纤维抗拉伸性能更主要取决于晶区内的大分子有h式(3)式(4)式(5)式(6)线曲率半径的图解法,1y式中

对求一、二阶导数,x

dx 、xyy

d2d

,代入ydyd2dxy

求凸轮转角δ处的曲率半径,设h为凸轮转角的增量即步长,将这组凸轮转角代入式(1),得凸轮廓线三对坐标值:

x()

;

、

。再由中心插商5,则x

在

x(h)x(xy(h)y(y

显然由导数的定义,上式右端当h0时趋于左端,所以当h插商作为左端导数的近似值。再由二阶数值微分5

x、在x(h)2x()x(x y(h)2y()y(y

可以证明当h0时右端的极限等于左端,即二者在h很小时非常接近,右端可上述方法计算。因各分段凸轮廓线是该段廓线方程式(1)所表示的曲线上截取的所表示的曲线在该点的曲率半径,即得该段廓线端点的曲率半径。这时h或h位于该分段之外,但仍代入该分段的推杆位移式及式(1)计算,再由式(3)～当凸轮廓线以离散点的形式给出时,即在凸轮廓线转角的若干离散点(j为整数)上给出凸轮廓线的坐标值,这时x、y、xy仍可由式(3)～式(6)计算j

现将式(3)～式(6)右端的数值微分分别用x、y、x、y表示。则由文exxxeexxxeyyy

h2x(3)yyyyh 22613h2x(4)34h2y(4)4

式中

x(3)

、x(4)

y(

分别表示x

。则将x、y、x、y代入式(2)求曲率半径所产的误差可由多元(一阶)()xx 式中x,yxy,x

似值及理论精确值;e

h2(

1

h2(

2

h2(

3

h2(

4 eh2R,

导数的表达式的推导非常烦琐,h13及h45h13h45

再用这两组凸轮廓线转角按第11345,则由式(13)e h2,,,,

eh2R,,,,

式中: 由于当h450时,上两组数值趋于对应相等,根据函数连续性的定义,R11,21,31,41,1所以当h45很小时可认为上式中的两项近似相等,R表示它们,则式(17)、e()h

e() h

将两式相减,并代入式(14),

2R)(k2 2由上式解出h45R,并代入式(20),ej(45)

式中ej

代表绝对误差

可估计误差。大量计算表明,当h45在常用范围时,上述估计式相当准确当凸轮廓线以离散点的形式给出时,曲率半径的绝对误差仍可由式(21)这时,取

,k

er(45)

he

)

her

)

再由式(21)erj(45)

式中erj

代表相对误差er

下面考虑步长hh很小,R的变化也很小,可近似将RR视为不随h,R数(1),由相对误差式(23)即可解出步长h13er

至0.0001之间选取。er(13不宜过小,否则步长过小,如前所述,定5将式(23)、式(24)两式相除并将式(14)代入,k2er

即第二次计算时的相对误差约为第一次的1/k2,由式(26)k,k2。再由式(14)可确定h45。上面2、3节中的各对凸轮轮廓各分段端点仍适用。上面2、3节中的各对凸轮轮廓各分段端点处仍适用率半径的大小对弯曲疲劳强度极限有着极为重要的影响。这是由于绳结的截面位于曲线的过渡区。同时，截面的大小取决于过渡曲线的曲率。此打结方 图 图 图过渡曲率半过渡曲率半 过渡曲率半应力集中系TLIJG物体在受扭时,式:

TET

,式中：—扭变形角(弧度);TcNcm)Lcm)Et剪切弹性模量（cNcm2）IPcm4Rt来反映存在的扭转难易程度。而从微观上看,由于实际中的纤维结构不为实心圆柱体,上加以修改IPtIP。式中,t:纤维扭转断面形状系数;面形状系数可以由有关专著或根据截面形状和尺寸计算得到;IP:究相当的,许多理论只是通过外部表现为对内在机理的一种简化而已。但是正如文献所的那样;在微观上虽然是拉、压、弯、扭都存在的复合力学变形,在纤维的扭转过,如果认为纤维是均匀的圆柱体,各处的扭转刚度是产致均匀的。实际上,纤维的粗细是不匀的,各截面的面积不相等,J相差很大,对圆柱体J

d4。若截面形状不同就更为复杂而纤维的扭转刚度J的,因此,一定的加捻扭转力矩使纱条各处获得的捻回是不同的。纤维截面粗的地方捻度少,截面细的地方捻度多。在某一平衡状态下,由上图可以看出:在纤维的扭转过,在靠近主动扭转端的地方,纤维的捻用过,纤维所受到的扭转并非都是单向的,情况下则是受到多次重纤维在受扭转状态下的破坏形式也有两种:一种是在受力扭矩大变形余各部分与原状态相比则成为倾斜线,外部大分