最新珠海市2023届第一学期期末高三学生学业质量监测(理数参考答案)

珠海市2023届第一学期期末高三学生学业质量监测数学〔理科〕参考答案一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．复数满足,那么的虚部为()A．B．C．D．2．()A．B．C．D．3．设命题:假设,那么,其逆否命题为()A．假设,那么B．假设,那么C．假设,那么D．假设,那么4．现有1000件产品,甲产品有10件,乙产品有20件,丙产品有970件,现随机不放回抽取3件产品,恰好甲乙丙各一件的概率是()A．B．C．D．〔第5题图〕5．如图是函数的一段图像，那么函数图像上的最高点坐标为()〔第5题图〕A．B．C．D．6．一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，那么此三棱台体积为()A．B．C．D．〔第7题图〕7．如图是一平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)，为延长线上一点，,那么()〔第7题图〕A．B．C．D．8．展开式中，项系数为()A．B．C．D．〔第9题图〕否开始结束输入是〔第9题图〕否开始结束输入是输出A．6B．7C．8D．910．点为双曲线上一点,为的虚轴顶点，，那么的范围是()A．B．C．D．〔第11题图〕〔第11题图〕11．如左上图，是圆锥一局部和四分之一球组成的组合体的三视图，那么此几何体的体积为()A．B．C．D．12．函数，假设存在唯一一个整数使成立，那么的范围是()A．B．C．D．CCADDABBBCCD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．假设函数是偶函数，那么．114．圆的圆心在轴上，圆经过抛物线的焦点且与相切，那么的半径是．或〔第16题图〕15．变量满足，那么的范围是．〔第16题图〕16．如右下列图，四边形中，，，，，，那么线段长度的取值范围是．三、解答题:解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．〔本小题总分值12分〕正项数列的前项和为，满足〔1〕求的通项公式〔2〕设，求数列的前项和.解：(1)由…………①知…………②由②－①得…………………1分即即…………………3分又即是4为首项，3为公差的等差数列……………………5分……………………6分(2)故………………8分………………12分18．〔本小题总分值12分〕2015年7月9日21的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图〔图1〕：〔1〕台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？〔2〕将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为。假设每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.〔图〔图1〕经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元60捐款不超过500元10合计经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计〔图〔图2〕〔图2〕〔图2〕附：临界值表0.100.050.0252.7063.8415.024随机量变解：〔1〕由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，那么表格数据如下经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元602080捐款不超过500元101020合计7030100…………2分经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计〔图〔图2〕经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计〔图〔图2〕经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计〔图〔图2〕因为，所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．……………………4分〔2〕由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.由题意知的取值可能有，………………5分，，……6分，……7分，……8分，……9分从而的分布列为………10，……………11分………………12分19．〔本小题总分值12分〕如图，菱形中，，边长，平面，分别是边中点，与交于,，〔1〕求证：；〔2〕求二面角的正弦值.(1)证明：连接,面,菱形中，，分别是边中点，是等边三角形,故平面菱形中，………………4分(2)解：在平面中，过作的延长线于，在中，过过作于，连接,平面，又,平面,就是二面角的平面角………………8分菱形中，，边长，是正方形，边长为2，,，,，,二面角的正弦值为………………12分20．〔本小题总分值12分〕椭圆：过点，且一个焦点为，直线与椭圆交于两不同点，为坐标原点，〔1〕求椭圆的方程；〔2〕假设的面积为，证明：和均为定值；〔3〕在〔2〕的条件下，设线段的中点为，求的最大值.解：椭圆的另一焦点为，由得：故椭圆C：…………………2分〔2〕证明：当直线轴时，，解得，故当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入椭圆C的方程得：其中即又…………………4分，点O到直线的距离为=…6分化简，得：且符合式==4，进而有…………8分〔3〕解法一：①当直线的斜率不存在时，由〔2〕知因此…………9分②当直线的斜率存在时，由〔2〕知………10分所以所以，当且仅当时，等号成立.综合〔1〕〔2〕得的最大值为……………12分解法二：因为所以即当且仅当时等号成立.因此的最大值为21．〔本小题总分值12分〕函数.〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设方程存在两个不同的实数解、，求证：.解：〔1〕函数的定义域为：…………1分…………3分当时，，的单调递增区间为……4分当时，当时，，的单调递增区间为；……5分当时，，的单调递减区间为；……6分当时，，为的极小值方程存在两个不同的实数解、，因此必能不为单调函数，所以，……7分令，那么的的单调递减区间为,单调递增区间为,最小值∴,令，，∵……8分∴在上单调递增，且，∴当时，∵，∴，……10分∵,∴……11分∵的单调递增区间为，、∴,∴……12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．〔本小题总分值10分〕选修4—1：几何证明选讲如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点.〔1〕求证：点为的中点；〔2〕求的值.解：〔1〕由以为圆心为半径作圆，而为正方形，∴为圆的切线依据切割线定理得……………2分另外圆以为直径，∴是圆的切线，同样依据切割线定理得……2分故……………………5分所以点为的中点〔2〕连结，∵为圆的直径，∴又在中，由射影定理得所以……………10分23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的参数方程为.再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.〔1〕求圆的极坐标方程；〔2〕设圆与直线交于点、，求的值.解：〔1〕消去参数可得圆的直角坐标方程式为………………2分由极坐标与直角坐标互化公式得化简得……………4分〔2〕直线的参数方程……………6分即代入圆方程得：设、对应的参数分别为、，那么，………8分于是=.………10分24．〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲，，且.求的最小值；求的最小值，并求出、相应的取值解：〔1〕