201x年春八年级数学下册 第十八章 平行四边形本章总结提升导学 新人教版

第十八章平行四边形本章总结提升

知识框架知识框架整合提升整合提升整理课件本章总结提升知识框架四边形平行四边形性质：（1）对边相等；（2）对角相等；（3）对角线互相平分两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形整理课件本章总结提升平行四边形矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：（1）四角边都相等；（2）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形整理课件本章总结提升平行四边形正方形有一组邻边相等的矩形或有一个角是直角的菱形是正方形性质：（1）四条边都相等；（2）四个角都是直角；（3）两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角判定：先证明一个四边形是菱形，再证明其是矩形或先证明一个四边形是矩形，再证明其是菱形整理课件类型之一平行四边形的性质与判定本章总结提升平行四边形是一类特殊的四边形，它的性质和判定可以用来解决许多问题，如线段(或角)的相等关系的证明，线段(或角)的计算等．并且为证明三角形全等，特殊三角形问题提供了依据．解决平行四边形问题，常用的辅助线如下：(1)连接对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形．(2)过顶点作一边的垂线，将平行四边形分成两个直角三角形和一个矩形．(3)连接对角线的交点与一边中点，构造三角形中位线．整合提升整理课件本章总结提升例1

如图18－T－1，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．图18－T－1整理课件本章总结提升[解析](1)利用“AAS”或者“ASA”证明△AMD≌△CMN，得AD＝CN，然后利用AD＝CN，AD∥CN证明四边形ADCN是平行四边形．(2)利用直角三角形的性质得AN的长，然后利用勾股定理求得AM的长，从而计算出Rt△AMN的面积，而S▱ADCN＝4S△AMN.整理课件本章总结提升整理课件本章总结提升整理课件本章总结提升整理课件本章总结提升【针对训练】1．如图18－T－2，已知ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.图18－T－2整理课件本章总结提升整理课件本章总结提升类型之二特殊平行四边形(如矩形、菱形、正方形)的性质与判定矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质，但又有一些特殊的性质．它们各自的性质可以为证明有关线段相等，角相等，直线平行与垂直等问题提供新的方法和思路．在证明一个四边形是矩形、菱形、正方形时，要选择恰当的方法，灵活解决问题．整理课件本章总结提升例2

如图18－T－3，矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线EF与AB，CD的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)如图18－T－4，当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．图18－T－3

图18－T－4整理课件本章总结提升[解析](1)由矩形对角线互相平分及平行线的内错角相等得到△BOE≌△DOF.(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，可先证四边形AECF是平行四边形再推出它是菱形．整理课件本章总结提升解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，AE∥CF，∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，∴△BOE≌△DOF.(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.又∵△BOE≌△DOF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．整理课件本章总结提升【归纳总结】

特殊平行四边形的判定方法：判定一个四边形是矩形、菱形或正方形时，可以先判定这个四边形是平行四边形，再结合图形，根据条件，灵活选择合适的方法．整理课件本章总结提升【针对训练】2．如图18－T－5，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F.求证：AE＝EF＝DF.图18－T－5[解析]连接CF，证△CDF≌△CEF，得DF＝EF.可证AE＝EF，故AE＝EF＝DF.整理课件本章总结提升证明：如图，连接CF，在正方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝45°.又∵EF⊥AC，∴∠DAC＝∠AFE＝45°，∴AE＝EF.在Rt△CEF和Rt△CDF中，CE＝CD，CF＝CF，∴Rt△CEF≌Rt△CDF(HL)，∴EF＝DF，∴AE＝EF＝DF.整理课件本章总结提升[点评]

本题考查的是正方形的性质，解题中易忽视△AEF是等腰直角三角形．解题的关键是证△AEF是等腰直角三角形，连接CF，证△CDF≌△CEF.整理课件本章总结提升类型之三特殊四边形的折叠问题折叠问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形等图形的性质的综合运用，不论折叠的形式怎样，折痕所在的直线一定为图形的对称轴．在解答此类问题时应注意：(1)在分析图形变换的过程中充分利用轴对称的性质；(2)折叠前后的图形能够完全重合，所以对应边相等、对应角相等；(3)计算时常利用勾股定理来建立方程或由面积求解.整理课件本章总结提升例3

现有一张矩形纸片ABCD，如图18－T－6所示，其中AB＝4cm，BC＝6cm，E是BC的中点．实际操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在四边形AECD内，记为点B′.(1)请用尺规，在图中作出△AEB′(保留作图痕迹)；(2)试求B′，C两点之间的距离．整理课件本章总结提升[解析](1)只要作出点B关于直线AE的对称点B′，连接AB′，EB′即可．(2)由对称的性质和条件，知B′E＝BE＝EC，因而有∠EBB′＝∠EB′B，∠EB′C＝∠ECB′.由三角形内角和定理可得到∠BB′C＝90°，这时△BB′C为直角三角形，在Rt△ABE中利用勾股定理和面积公式求出BF的长，易得Rt△BB′C的直角边BB′的长，再利用勾股定理不难求出B′C的长．整理课件本章总结提升解：(1)如图所示．(2)如图18－T－7，连接BB′，设BB′与AE交于点F.因为点B，B′关于直线AE对称，所以BE＝B′E，所以∠EBB′＝∠EB′B.因为BE＝EC，所以B′E＝EC，所以∠ECB′＝∠EB′C.因为∠EBB′＋∠EB′B＋∠EB′C＋∠ECB′＝180°，所以∠BB′C＝90°.整理课件本章总结提升因为BC＝6cm，E是BC的中点，所以BE＝3cm.整理课件本章总结提升【归纳总结】

几何图形的折叠问题与轴对称的知识紧密相连，解决它有两个“秘诀”：(1)折痕两边折叠部分是全等的(对应边、对应角相等)；(2)折叠的某点与所落位置点所连线段被折痕垂直平分．掌握上述两个“秘诀”便可使折叠问题迎刃而解．整理课件本章总结提升【针对训练】3．如图18－T－7，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的点B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是(

)图18－T－7D整理课件本章总结提升整理课件本章总结提升类型之四特殊四边形中的探究问题有关特殊四边形中的探究问题是涉及特殊四边形的几何动态型问题，考查同学们自主探索、发现问题、总结规律的能力．整理课件本章总结提升例4

如图18－T－8，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．图18－T－8整理课件本章总结提升解：(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2.∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH.又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH.整理课件本章总结提升(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．理由如下：如图，连接BF，CE.∵△BEH≌△CFH，∴BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴BC＝EF，∴四边形BFCE是矩形．整理课件本章总结提升【针对训练】4．(1)如图18－T－9①，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°.求证：AM＝MN.下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，整理课件本章总结提升∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.(下面请你完成余下的证明过程)图18－T－9整理课件本章总结提