切线长定理【新教材 备课精讲精研】 九年级数学下册课件

29.4切线长定理第二十九章直线与圆的位置关系冀教版九下学习目标1.探索过圆外一点作出的圆的两条切线长相等.2.会利用切线长定理解决一些简单的问题.3.知道三角形的内心，会利用尺规找出三角形的内心，能画三角形的内切圆.创设问题情境，引入新课问题1：在平面内点与圆的位置关系有三种,如图，点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外.请分别过点A、B、C做⊙O的切线，你能做几条？OABC过⊙O内一点A，不能作出圆的切线.过⊙O上一点B，可以作1条圆的切线.过⊙O外一点C，可以作出2条圆的切线.创设问题情境，引入新课问题2：已知⊙O及圆外一点P.小亮用以下步骤画出经过点P的⊙O的两条切线.请你说明小亮作法的合理性.OPAB(1)连接OP,以OP为直径作圆，交⊙O于A、B两点.(2)连接PA、PB.PA、PB即⊙O的两条切线.理由：连接OA、OB，由OP是直径可得，∠OAP=∠OBP=90°，则PA、PB是⊙O的切线.创设问题情境，引入新课思考：PA、PB之间会有怎样的数量关系呢？OA=OBRt△PAO≌Rt△PBO(HL)PA=PBOPABOP=OP新课学习P1.切线长的定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．AO①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2.切线长与切线的区别一、切线长的定义新课学习BPOA过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB几何语言:二、切线长定理切线长定理为证明线段相等提供了新方法新课学习想一想：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（你能发现什么结论？与同伴交流一下.）（1）图中有全等三角形△AOP≌△BOP△AOC≌△BOC

△ACP≌△BCP（2）关于PO的结论PO垂直平分AB、PO平分∠APB和∠AOBBPOACED如：新课学习想一想：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（你能发现什么结论？与同伴交流一下.）（3）出现“母子型”的基本图形同角的余角相等：∠OAC=∠APC等BPOACED相似三角形：△AOP∽△COA∽△CAP等巩固小练习BPOA1.已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=

;（2）若∠BPA=60°,则OP=

.56巩固小练习2.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，AB=3，则光盘的直径是_____.AB新课学习问题1：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块最大的圆形用料呢？ABCABC即让圆与三角形的三边都相切新课学习问题2：如何做出与三边都相切的圆？ABC设圆心为O，⊙O与三边分别相切于点D、E、F.ODEF连接OD、OE、OF，则OD=OE=OF且OD⊥AC,OE⊥AB,OF⊥BC因此点O在∠A、∠B、∠C的角平分线上.结论：以三角形的三个角平分线的交点为圆心，以这个交点到三角形边的距离为半径作圆.新课学习问题3：如何用尺规作出与三角形三边都相切的圆？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.⊙O就是所求的圆.新课学习1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.B┐ACO┐┐DEF5.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.

⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形.三、三角形的内切圆总结归纳名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.到三个顶点距离相等；2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．填一填：ABOABCOC巩固小练习（1）Rt△ABC中，∠C=90°,AB=6，则△ABC的外接圆半径=___.ACB（1）3分析：由于∠C=90°，则AB是直径，因此△ABC的外接圆半径等于AB的一半.结论：直角三角形的外接圆半径等于巩固小练习ACB（2）（2）Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3,AC=4,AB=5,则△ABC的内切圆半径=______.1ODEF分析：连接圆心和切点，可证四边形ODCE是正方形，由切线长定理可得AD=AF,CD=CE,BE=BF.设⊙O的半径为x,则AF=4-x,BF=3-x.4-x+3-x=5,解得x=1.结论：直角三角形的外接圆半径等于巩固小练习ACB（3）（3）等边△ABC的边长为6，则△ABC的外接圆半径=______，内切圆半径=____.OD分析:图中的OC为外接圆半径，OD为内切圆半径.利用三角函数可计算出OD、OC的值.结论：等边三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍.典例精析例1(课本12页例1）如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A,B，Q为劣弧AB上异于点A,B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA、PB相交于点C、D.求证：△PCD的周长=2PA.OPABCQD证明：∵PA,PB,CD是⊙O的切线∴PA=PB,CA=CQ,DB=DQ∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA典例精析例1(拓展）（1）若PA=9cm，则△PCD的周长=______.(2)连接OC,OD若∠P=40°，则∠COD=_____.OPABCQD分析：连接圆心和切点，得到∠PAO=∠PBO=90°,利用四边形内角和得出∠AOB=140°，利用切线长定理基本图形中的结论，∠COQ,∠DOQ分别是∠AOQ,∠BOQ的一半，因此∠COD是∠AOB的一半.1870°注意利用基本图形基本结论典例精析例2

△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC－AE=9-x(cm)，BF=BD=AB－AF=13-x(cm).∴（13-x)+(9-x)=14,解得x=4.∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.总结：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.ACBEDFO∵AB,BC,AC是⊙O的切线典例精析例3.如图所示点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.求证：DG是⊙O的切线.证明：连接OD,∵E为△ABC的内心∴AE平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴BD=CD∴OD⊥BC∵BC∥DG∴OD⊥DG∴DG是⊙O的切线.BACOEDG三角形内心的出现，意味着角平分线的出现课堂小测20°4110°

1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,∠APO=

,PB=

.BPOA第1题2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=

.ABCO第2题外心80°课堂小测3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P=50°，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB=

.65°或115°BPOA第3题4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是

.ABCFEDO第4题30课堂小测5.如图，点I是△