2022届福建省晋江市永春县高考数学押题试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x-2,(x>10)

1.设/口)=<，则〃5)=()

/W+6)],(x<10)

A.10B.11C.12D.13

2.设命题〃：卜一耳<同+网，贝！）力为

A.\/a,beR,,一。|之同+网B.3a,beR,<|iz|+|Z?|

C.3a,beR,|a-/?|>|a|+|Z?|D.3a,b&R,>|«|+|/?|

3.设复数二满足z-（l+i）=2i+l（i为虚数单位），则复数二的共枕复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布直方图如图所示，其中

支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，则〃的值为（）

0.036

0030

0.024

0.01

・2030405060支出阮)

A.100B.1000C.90D.90

5.已知椭圆£+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为£、尸2,过耳的直线交椭圆于A，B两点,交y轴于点

若片、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为（）

1275

A.-D.

2~2

6.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考

生一次发球成功的概率为〃（0<〃<1）,发球次数为X,若X的数学期望E（X）>1.75,则，的取值范围为（）

c.D.

7.在正方体A3C。—44G2中，E,尸分别为CC1,的中点，则异面直线A尸，。石所成角的余弦值为（）

A1R而「2瓜n1

A.—B・-------C.-------D.—

4455

8.下列与函数y={定义域和单调性都相同的函数是（）

A.y=2%*B.尸抽出C.产抽:D.y=f

9.在区间卜1』上随机取一个实数左，使直线y=A（x+3）与圆f+y2=l相交的概率为（）

11V2y/2

AA♦BR♦Cr・-----Dn♦-----

2424

1271

10.若〃是第二象限角且sin"=一,则tan(6+—)=

134

11.若函数y=2si”（2x+e）（例<gJ的图象经过点[菅,0）,则函数/（X）=sin{2x-（p）+cos（2x-（p）图象的一条

对称轴的方程可以为（）

n374Yin134

A.x-------B.x=-----C.x------D.x=-------

24242424

12.记集合A={（x,y）\x2+y2<16}和集合B={（x,y）\x+y<4,x>0,y>0）表示的平面区域分别是d和％，若在

区域5内任取一点，则该点落在区域的概率为（）

111万一2

A.----B.-C.—D.-------

4万7t2）44

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合4={幻工=2左一1,左wZ},B-{x\x-2k,k^Z],则=.

5432235

14.设（x—2y）’=aox+ayxy+a^xy+a3xy+a^xy^+a5y,则a0+a2+tz4=.

15.（x+l）（x—2）6展开式中Y的系数为.

16.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、

丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知六面体ABOE尸如图所示，平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=\,CD=45,

FM1

AB=AF=AD=2,M是棱尸。上的点，且满足——=-.

MD2

(1)求证：直线B产〃平面MAC；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

18.(12分)已知a>0,b>0,函数/(x)=|2x+a|+|x-4的最小值为;.

(1)求证：a+2b=1；

(2)若2。+人之均。恒成立，求实数♦的最大值.

19.(12分)已知函数/(x)=xlnx+x,g(x)=?.

(1)若不等式/(x)g(x)Wox2对xe[l,4w)恒成立，求"的最小值；

(2)证明：f(x)+l-x>g(x).

⑶设方程/(“一8(力=*的实根为X。.令厂(x)=)/若存在%，X,G(1,-H»),x,<x2,使得

g>x09

证明：XXX

F(X,)=F(X2),F(2)<F(20-1).

20.(12分)已知函数/(x)=x-L-Inx.

(1)若/(x)=x-'-kLr在%=%],%(工产工2)处导数相等，证明：/(X1)+/(%2)>3-21n2；

(2)若对于任意AW(F』),直线y="+/2与曲线y=/(x)都有唯一公共点，求实数匕的取值范围.

22222

21.(12分)在AA5C中，角A,Bf。的对边分别为a,b,c,且5(a+c-fe)=accosC+accosA.

(1)求角5的大小；

(2)若△ABC外接圆的半径为毡，求AA5C面积的最大值.

3

22.（10分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行

一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按4个人一组进行随机分组，把从每组A个人抽来的

血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这女个人的血只需检验一次（这时认为每

个人的血化验,次）；否则，若呈阳性，则需对这Z个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组女个人的血总共需要

.......................k-

化验Z+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为P,且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组攵个人的每个人的血化验次数为X,求X的分布列；

（2）设〃试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比

方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求於10内的函数值，代入即可求出其值.

【详解】

x-2（x>10）

・"⑸=/[/1（1）1

=/（9）=j\f（15）]

=/（13）=1.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题.

2.D

【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，：卜一耳<同+例，则力为：3a,b^R,|a-Z>|>|a|+|Z?|.

故本题答案为D.

【点睛】

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.

3.D

【解析】

先把z-（l+i）=2i+l变形为z=*l,然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出之，得到其坐标可得答案.

1+z

【详解】

由z.(l+i)=2i+l,得2=智(2z+l)(l-z)3+z_3

解:(l+z)(l-z)~^T~22l

_3［（3］、

所以2=;;-其在复平面内对应的点为彳,一；，在第四象限

22（22J

故选：D

【点睛】

此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

4.A

【解析】

利用频率分布直方图得到支出在［20,40）的同学的频率，再结合支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，即得解

【详解】

由题意，支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人

由频率分布直方图可知，支出在［20,40）的同学的频率为

34

(0.01+0.024)x10=0.34,n==100.

故选：A

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

5.D

【解析】

根据题意，求得AM,8的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为A”中点，耳为期0中点，

故可得=2x,“=0,故可得x,=c；

222

代入椭圆方程可得/二+4v=1,解得了=±b幺，不妨取％=b幺，

ab~aa

（b2}

故可得A点的坐标为c,——,

Ia）

,<b2}（b2\

则M0,—,易知B点坐标一2。,一*^—,

l2a）I2a）

将B点坐标代入椭圆方程得〃=5。2,所以离心率为好，

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A民M点的坐标，属中档题.

6.A

【解析】

根据题意，分别求出尸（x=l）,P（X=2）,P（x=3）,再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可

【详解】

由题可知P（X=l）=p,P（X=2）=（1-p）p,p（x=3）=（l——“）3=（1—“J,则

E（X）=P（X=1）+2P（X=2）+3P（X=3）=〃+2（I—〃）〃+3（l—〃y>1.75

解得p〉g或〃<g,由pe（O,l）可得

答案选A

【点睛】

本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功

7.D

【解析】

连接8E,BD,因为BE//AF,所以N8ED为异面直线A尸与£>£所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,取BD的中点为G,连接EG,在等腰MED中，求出cosN8EG=£C=*，在利用

BE亚

二倍角公式，求出cos/BED,即可得出答案.

【详解】

连接BE,BD,因为BE"AF,所以N3EZ）为异面直线Ab与DE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,则8E=DE=逐，6。=28，

在等腰ABED中，取BD的中点为G,连接EG,

则EG=VT^=&，cosNBEG='~=洋,

BEV5

所以cosABED=cos2NBEG=2cos2NBEG—1，

31

即：cos/BED=2x一一1=-,

55

所以异面直线A/，OE所成角的余弦值为

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

8.C

【解析】

1

分析函数y=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.

【详解】

函数,=上的定义域为（0,+e），在（0,+8）上为减函数.

A选项，）,=2现”的定义域为（0,+力），在（0,+”）上为增函数，不符合.

B选项，y-log,的定义域为R,不符合.

C选项，丁=1082，的定义域为（（）,+8）,在（0,+8）上为减函数，符合.

D选项，y=/的定义域为［0,+8），不符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

9.D

【解析】

利用直线y=A（x+3）与圆f+y2=］相交求出实数人的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【详解】

由于直线丁=%"+3）与圆f+y2=l相交，则‘曾彳＜1,解得—乎＜左＜乎.

.也「

因此，所求概率为°2XT枝.

1-----------

24

故选：D.

【点睛】

本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.

10.B

【解析】

1O--------------------------S1Q

由。是第二象限角且sin。=—知：cos0——v1—sin~0----,tan6=----.

13135

tan(9+tan45°7

所以tan(°+R=

I—tan®tan45°17

11.B

【解析】

由点降,0求得。的值，化简/（X）解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得/（X）的对称轴，由此确定正确选项.

【详解】

71

由题可知2s训2x会可=0,闸苫一

2•e=~6

2元+看)=V2sin、n兀57r

所以/(%)=sin]2x+—+cos2XH-----1——=5/2sin2x+

I6j64~12

Ac5〃7T..—

令---=——卜k兀，kGZ,

122

371k兀])

=

得x---1-------、kGZ

242

人，C37%

令k=3,<x=---

24

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.

12.C

【解析】

据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M落在区域内的概率，只要求A、3所表示区域的面积，然后代入

区域。2的面积

概率公式r=计算即可得答案.

区域R的面积

【详解】

根据题意可得集合A=｛（x,y）|/+16）所表示的区域即为如图所表示:

的圆及内部的平面区域，面积为16%,

集合3=｛（x,y）|x+y-4,,0,x..0,y.0｝表示的平面区域即为图中的RtAAOB,SM°B=gx4x4=8,

Q1

根据几何概率的计算公式可得p==白，

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0

【解析】

利用交集定义直接求解.

【详解】

解：•.•集合A={x|x=2Z-l,ZeZ}={奇数},

3={x|x=2£ZeZ}={偶数},

:.Ar\B=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

14.121

【解析】

在所给的等式中令x=l,丁=1,令％=1,y=-l可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.

【详解】

令x=l,y=i得(1-2)'=4(,+4+%+々3+。4+。5=-1，令x=l，y=-i得

(1+2)5=%+4-4+。4—。5=243,两式相加，得2(4+02+04)=242,所以4+。2+。4=121.

故答案为：121.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，考查学生分析问题的能力，属于基础题，难度较易.

15.48

【解析】

变换(x+l)(x—2)6=x(x—2)6+(x—2)6,根据二项式定理计算得到答案.

【详解】

rr666

(X—2)6的展开式的通项为：Tr+l=C^--(-2),(x+l)(x-2)=%(x-2)+(x-2),

取r=5和r=4,计算得到系数为：C^(-2)5+C^-(-2)4=48.

故答案为：48.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.丙

【解析】

若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙.

考点：反证法在推理中的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)《垂

18

【解析】

(1)连接BO,设8£>cAC=O,连接MO.通过证明MO//防，证得直线BF7/平面MAC.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面MAC和平面的法向量，计算出二面角A-MC-。的正弦值.

【详解】

(1)连接80,设8£>cAC=O,连接MO,

因为AQ〃BC,所以所以空=任=2

OBBC1

DO

*-ERM。2

在AFBD中,因为——=-~OB

MF1

斫以MO"BF,且M。u平面M4C,

故BE〃平面MAC.

(2)因为AB=2,BC=],AD=2,CD=y/5,所以ABLAP,

因为BEUAF,BE1平面ABC。，所以A/L平面ABC。,

所以AF_LAB,AFLAD,

取A3所在直线为x轴，取AD所在直线为)’轴，取A/所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知可得8(2,0,0),C(2,l,0),0(0,2,0),E(2,0,3),F(0,0,2)

._.FM1

所以=(0,-2,2),因为砺=5,

所以西=：丽=(o,4与，

所以点M的坐标为[ogq],

所以正=(2,1,0),而=(0,|,g),设浣=(x,y,z)为平面MAC的法向量,

——八f2x+y=0

,in-AM=0__

则〈—.=>524c，令Ax=l,解得y=-2,Z=1,

m-AC=Q-y+-z=0

[l3-3

所以"?=(1,-2,1),即〃z=(1,-2,1)为平面MAC的一个法向量.

CM=1-2,-;g),CD=(-2,1,0)

同理可求得平面MCD的一个法向量为n=(1,2,2)

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

18.(1)见解析；(2)最大值为9.

【解析】

(1)将函数y=/(x)表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立;

121212

(2)由2。+62/出?可得出『(一+：,并将代数式一+7与。+9相乘，展开后利用基本不等式可求得一十7的最小

ababab

值，进而可得出实数/的最大值.

【详解】

a

—3x—ax<—

2

(1)f(x")=\2x+a\+\x-b\=<x+a+"，——。</x<b,.

2

3x+a-h,x>h

当》<一］时，函数y=/(x)单调递减，则/(%)>/

当一时，函数y=〃x)单调递增，则/卜

当x>b时，函数y=/(x)单调递增，则/(力>/(8).

综上所述，b=所以g+给=1；

(2)因为活恒成立，且a>0,b>0,所以『4支2

恒成立，即

ah

因为2+_L=(2+J?|(a+2b)=5+"+%N5+2j”-«=9,当且仅当a=。=，时等号成立，

bayba)ab\ab3

所以，<9,实数/的最大值为9.

【点睛】

本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中

等题.

19.(1)-(2)证明见解析(3)证明见解析

e

【解析】

(1)由题意可得，Wa,令刈到=出汁1,利用导数得人(“在［1,转)上单调递减，进而可得结论；

(2)不等式转化为lnx+‘>4,令［x)=lnx+L%("=二，利用导数得单调性即可得到答案；

xexe

(3)由题意可得111与=4，进而可将不等式转化为E(xJ<E(2xo-石)，再利用单调性可得%111王〈与卷,

ee

记机(x)=xln尤-芸f,1〈尤<%,再利用导数研究单调性可得加(x)在(1,%)上单调递增，即

m(x)<m(x)^O,即xjn,,即可得到结论.

oJ"：

【详解】

(1)f(x]g(x]>ax2,即(xlnx+x)•土Nox:化简可得风口

exex

令％(同=写°,+因为xzi,所以%1,lnx+121.

所以K(x)W0,Mx)在[1,”)上单调递减，=J

所以。的最小值为1.

e

V-

(2)要证/(x)+l-x>g(x),BPxlnx+1>—(x>0).

ex

两边同除以X可得lnx+」〉4.

xe

设f(x)=lnx+‘，贝！|f'(x)=L--^=^1.

在(0,1)上，f(x)<0,所以《X)在(o,l)上单调递减.

在(1,内)上，«x)>(),所以f(x)在。,内)上单调递增,所以f(x)上>1)=1.

设〃(x)=，-,因为〃(x)在((),+<»)上是减函数，所以〃(x)<〃(())=1.

所以r(x)>〃(x),即/(x)+l-x>g(x).

(3)证明：方程/(x)-g(x)=x在区间(1,+8)上的实根为凝，即inx0=，，要证

F(%2)<F(2X0-XI),由尸(％1)=尸(X2)可知，即要证尸(%)<产仁/一玉).

当l<x</时，F(x)=xlnx,Ff(x)=l+lnx>0,因而/(x)在(1,王))上单调递增.

当x>x0时，/(力=三，F'(x)=—<()，因而b(x)在(天,欣)上单调递减.

因为玉e(l,Xo),所以2%)一项>/，要证尸(xj〈尸(2x()-xJ.

1

即要证xjnxi<誓:.

记;n(x)=x]nx_220rx,1<x<x0.

因为lnXo=-g,所以Xolnxo=3;,则，〃(/)=/足与-2=0.

m'(x)=l+lnx+1+；-2'=i+gx+-----2"一二.

\)e^-x^2A0-Xe2xQ-x

设〃")=:,〃，⑺=?,当te(O,l)时，nf(t)>0.

时，"(，)<0,故〃(%=}

Ii2r—v

且〃(。>0,故0<〃(r)〈一，因为2x0-X>1,所以一一<8^<o.

因此m(x)>0,即m(x)在(1,%)上单调递增.

所以m(x)<加优)=0，即玉In%<2?二i.

故F(x,)</(2/)得证.

【点睛】

本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.

20.(I)见解析(II)Z?>-ln2

【解析】

(1)由题X>0,/(月=1+4-由f(X)在X=X1,X2(X/X2)处导数相等，得到/'(七)=/'(々)=加，得

11,八

—I-----F1-m=()

,玉石

II1二

--------F1-m=0

x2x2

由韦达定理得一+—=1,由基本不等式得西+&=%-X2>2j/，得x/W>4,由题意得

X]X2

/(%)+/(%)=玉W—ln(%W)—l，令，=玉,工2>4,贝(ln(x%2)—1=，一In，一1,令

g⑺=，—Inr—1(f>4),,利用导数性质能证明g⑺>g(4)=3—21n2.

1,1,

八、4\1,RZSX-----\nx-b&x-----\wc-b

<2)由G得X’令九(1卜X，

XX

利用反证法可证明证明//(%)<1恒成立.

由对任意正(一8,1),刈力=左只有一个解，得〃(X)为(0,+8)上的递增函数，.+1nx+得

??

・

bN------Inx+19令根(x)=------ln¥+1(x>0),由此可求/?的取值范围.

XX

【详解】

⑴/'(x)=i+JT

■11,八

---------\-l-m-()

,...x~x.

令/(3)=/'(%2)=加，得Jj]

----------F1-m=0

11।

由韦达定理得一+—=1

王々

即X]+毛=%.W>2ylx]X29得匹・工2>4

)一(1叫+lnx)

"(%)+/(9)=(%+%21+12

x2

=玉％2-InGw)一1

令[=%・％2>4,lU!j=,令g⑺=/一1皿-1«>4),

则g'“)=l-；>0(f>4),得g(f)>g(4)=3-21n2

(ID由/(力="+6得“x一丁x”

K-

X

1f7

Ax--------lnx-b

令.X)=7...............，

X

则x-0+,e,xf+OO,〃(%)->1

下面先证明〃(x)<l恒成立.

若存在x°e(o,”)，使得〃(%)21,,且当自变量X充分大时，/G)=x—x——<1，

所以存在％e(O,xo),毛G(X(),+QO),使得〃(3)<1,，取k=>1^«{〃(%),〃(%2)}<1,则y=%与y=〃(x)

至少有两个交点，矛盾.

由对任意丘Mx)=左只