2022届福建省宁德市重点名校高三第二次调研数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数）=辽号的部分图象大致为（）

l+x

A.-60B.-12C.12D.60

3.半正多面体（se,〃ireg“/wso/M亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学

的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正

多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）

4.双曲线G：'—白=1（。＞°，匕＞。）的一个焦点为E（c，°）（c＞0）,且双曲线G的两条渐近线与圆g：

。-，）2+9=£1均相切，则双曲线弓的渐近线方程为（）

4

A.x±\/3y=0B.>/3x±y=0C.\/5x±y=0D.x±\/5y=0

5.已知角a的终边经过点P(-4m,3m)(mw0),则2siwz+cos。的值是()

2222

A.1或一1B.二或一二C.1或一二D・T或1

6.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和>轴的正半轴交于A8两点，点。与点。关于),轴对称，。为坐标

原点，若丽=2序，且丽・丽=1,则点尸的轨迹方程是()

A.—X2+3^2=l(x>0,y>0)B.—x2-3y2=l(x>0,^>0)

C.3x2~~y2=l(x>0,y>0)D.3x2+—y2=1(x>0,y>0)

7.已知函数/(x+1)是偶函数，当xe(l,4w)时，函数/(%)单调递减，设“=。=/(3),c=/(0),

则a、b、c的大小关系为()

A.b<a<cB.c<b<dC.h<c<aD.a<b<c

8.已知定义在R上的偶函数/(x),当xNO时，/(x)=e*—L|M,设q=/(ln/),0=/(、/5),c=/(lnm),

则()

A.h>a>cB.b>a=cC.a=c>bD.c>a>b

9.等腰直角三角形〃。与等边三角形45。中，NC=9()°,BD=6,现将△ABD沿80折起，则当直线4。与平

面BCD所成角为45°时，直线AC与平面A50所成角的正弦值为()

10.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，

他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如asin法的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项

是基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下

列函数中不能与函数y=0.06sin180000/构成乐音的是(

A.y=0.02sin3600001B.y=0.03sin180000/C.=0.02sin181800/

D.y=0.05sin540000,

11.已知关于X的方程Gsinx+Sin[f-xj="2在区间[0,2%）上有两个根Xj,x2,且上一回之工，则实数加的

取值范围是（）

A.0,；）B.[1,2）C.[0,1）D.[0,1]

12.已知i（l一切）=2+初（i为虚数单位，a,beR）,则必等于（）

I1

A.2B.-2C.-D.——

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在体积为v的圆柱QQ中，以线段OQ上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，

匕，则乜詈的值是.

X22

14.已知产为双曲线C:彳y=1（。＞0,。＞0）的右焦点，过f作C的渐近线的垂线厂D,。为垂足，且

a一瓦

\FD\=^\OF\（。为坐标原点），则C的离心率为.

15.在平面直角坐标系xOy中，己知直线/:y=g与函数/（x）=sin（3＞0）的图象在y轴右侧的公共点从

左到右依次为4，若点4的横坐标为1,则点4的横坐标为.

16.下图是一个算法的流程图，则输出的X的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|4x—1|—|x+2].

(1)解不等式/(力＞2；

⑵记函数y=/(x)+5|x+2|的最小值为3正实数。、匕满足。+68=，，求证：J丝士处22指.

9vab

18.(12分)设数列｛4｝,其前"项和S〃=-3〃2,又｛4｝单调递增的等比数列，仄瓦瓦=512,q+a=4+4.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

b,、2

(II)若%=他_2向一I)，求数列｛c,J的前。项和刀一并求证：

19.(12分)已知数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，数列也｝为等差数列，且4=q=1,仇=%+1,仇=%-7.

(1)求数列也｝与也｝的通项公式；

(2)求数列｛《也｝的前”项和A,,；

⑶设S”为数列｛明的前〃项和，若对于任意〃eN*，有S.+；=J2"，，求实数/的值.

20.(12分)已知｛aj是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45,a2+a6=l.

(I)求｛aj的通项公式；

(II)若数列｛bn｝满足：?+*+…+与=a“+l(〃eN*),求｛bn｝的前n项和.

21.（12分）已知抛物线。：：/=2庶（〃>0）的焦点为尸，点P（2,〃）（〃>0）在抛物线C上，|P尸|=3,直线/过点

F,且与抛物线C交于A，B两点.

（1）求抛物线C的方程及点P的坐标;

（2）求丽•丽的最大值.

22.（10分）如图，两座建筑物A8,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和

20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角ZCAZ）=60°.

（1）求5c的长度；

（2）在线段8c上取一点尸（点尸与点8,C不重合），从点尸看这两座建筑物的视角分别为N4P8=a,ZDPC=/I,

问点P在何处时，a+4最小？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】

f（—x）=吗-X）=_;+sin.£=_/（］）,故奇函数，四个图像均符合。

1+X1+厂

r4-einy

当XG（0,万）时，sinx>0,-->0,排除C、D

1+x

r-I-cinx

当xe（乃,24）时，sinx<0,->O,排除A。

1+x

故选B。

【点睛】

图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

2.B

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令x的塞指数等于3,求出「的值，即可求得含F项的系数.

【详解】

(x—的展开式通项为(+1=墨.1-1_之)=玛・(_2)"_?一3"

令6-3厂=3,得r=1,可得含1项的系数为C：x(—2)=—12.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

3.D

【解析】

根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中

点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.

【详解】

如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为行，它是由

棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

该几何体的体积为V=2x2x2-8xLLlxlxl="

323

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.

4.A

【解析】

be，化简得到/=

根据题意得到a==f3b2,得到答案.

\Ja2+h2

【详解】

八b»bec

根据题意知：焦点/9,0)到渐近线y=—x的距离为"=/,,=-,

ayla+b~2

故片=3〃，故渐近线为x±6y=().

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

5.B

【解析】

根据三角函数的定义求得sin。,cos。后可得结论.

【详解】

由题意得点P与原点间的距离r=+(3/n)~=5帆.

①当机>()时，r=5m9

.3m3-4m4

••sintz——=—,costz=------=—

5m55m59

「342

・・2sin。+costz—2x------——.

555

②当机<()时，r=-5m,

.3m3-4m4

・・sin。=----=—,cost/=------=—,

-5m5-5m5

「c/3、42

:.2sina+cos。=2x——+一=——.

{5)55

22

综上可得2sina+cosa的值是三或一g.

故选B.

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,

该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.

6.A

【解析】

设A,8坐标，根据向量坐标运算表示出而=2所，从而可利用羽丁表示出。力；由坐标运算表示出诙•丽=1,代

入整理可得所求的轨迹方程.

【详解】

设A（a,O）,B（O,b）,其中以>0,b>0

_\jx=2（Q-x）a=—>0

•.BPk=2PA：.[x,y-b）=2（a-x,-y）,gp<^'.-J2

[y-b=-2y,=3），>o

；P,Q关于轴对称:.Q（-x,y）

.一3

OQ-AB=（-x,y）-{—a,b）-ax+by=1:.—x2+3y2=l（x>0,y>0）

故选：A

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平

面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.

7.A

【解析】

根据/（x+1）图象关于）'轴对称可知/（X）关于x=1对称，从而得到/（X）在（一8,1）上单调递增且/（3）=/（-1）；

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Qf（x+1）为偶函数.♦./（x+1）图象关于），轴对称

・••/（X）图象关于尤=1对称

门«1,+8）时，“X）单调递减时，“X）单调递增

又/⑶=/（—1）且—1<—3<0即。<a<c

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

8.B

【解析】

尤

根据偶函数性质，可判断关系；由时，2+三2x，求得导函数，并构造函数

a，cxNO/5)="-g(x)=e'-X-19

由g'(x)进而判断函数,f(x)在x20时的单调性，即可比较大小.

【详解】

/(幻为定义在R上的偶函数，

所以c、=/In#=/1-ln曰)=/(ln拒)

所以a=c；

公+2x

当xNO时，f(x)=ex-,

贝L=

令g(x)=e"-x-l

贝(Jg'(无)="-1,当xN。时,gr(x)=ex-1>0,

则g(x)=e*—x—l在％20时单调递增，

因为g(O)=e°—0一1=0,所以g(x)=e、—x—120,

即r(x)=，—x—120,

f-4-2x

则以x)="-X/在XN()时单调递增，

而0<ln夜〈夜，所以

/(lnV2)</(V2),

综上可知，/fln^=/(lnV2)</(V2)

k)

即。=cV,

故选:B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

9.A

【解析】

设E为3。中点，连接AE、CE,过A作AOLCE于点。，连接得到4400即为直线A。与平面5C。所成角

的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NCAE即为直线AC与平面48。所成角，进而求得其正弦值，得

到结果.

【详解】

设E为8。中点，连接AE、CE,

由题可知AE_LBZ),CEA.BD,所以3O_L平面AEC,

过A作AOJ_CE于点。，连接。。，则A0_L平面8DC,

所以ZADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，

所以sin/AOO=^=旭，可得AO=30，

2AD

在"OE中可得。£=3,

又0C=>BD=3,即点。与点C重合，此时有AC,平面BCD,

2

过。作仃,隹与点凡

又80,平面AEC,所以BDLb,所以CFL平面45Z),

从而角ZCAE即为直线AC与平面ABD所成角，sinZCAE=-=-4==—,

AE3A/33

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平

面角的定义，属于中档题目.

10.C

【解析】

由基本音的谐波的定义可得力=叨(〃eN*),利用f='=£_可得四=〃©(〃eN*),即可判断选项.

T2万

【详解】

由题，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波，

由/=1=?■，可知若/；=相(〃eN*),则必有例=〃@(〃eN*),

T2万

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.

11.c

【解析】

n

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数y=2sin(x+w)，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问

题，画出函数图象，再结合解得他的取值范围.

【详解】

式

由题化简得百$皿1+以)5工=〃2,m=2sin(x+—),

6

7T

作出y=2sin(x+-)的图象，

又由|与一到2%易知()4/篦＜1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.

12.A

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.

【详解】

vz(l-ai)=2+bi,

:.a+i=2+bi,得。=2,b=\.

：.ab=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.

3

【解析】

根据圆柱。的体积为V,以及圆锥的体积公式，计算即得.

【详解】

1111VV1

由题得，v^+^=-sno-oo^-s^oo^-s^o^=-v,得^~~-=-.

]/30U]i3ox>2/30ta]/3yz3

故答案为：—

3

【点睛】

本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.

14.2

【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到4c的等式，从而可求得离心率.

【详解】

h

由题意尸(c,0),一条渐近线方程为y=/x,即区-e=0,

IFZ)|=,'-=b,由IFD|=OFI得力=,

>Jh2+a2212

3r

'.b~——c2—c2—cr,c2=4t/2>.•.e=—=2.

4a

故答案为：2.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于。,仇。的等式.

15.1

【解析】

当X=1时，f(x)=sin((y+5)=:得0+5=2%乃+£,或切+工=2A乃+2(AeZ),依题意可得0+5="，可求得0，

62666666

继而可得答案.

【详解】

17T1

因为点A的横坐标为1,即当X=1时，/«=sin(dy+-)=-,

62

所以69+—=Ikn+—69+—=2k/r+—(/:eZ),

6666

又直线/：y=,与函数/⑶=sin(5+5)(。>0)的图象在)'轴右侧的公共点从左到右依次为4,4…，

26

所以0+7=二，

OO

一27

故①=彳，

所以函数的关系式为/(X)=Sin(§x+B).

3o

当％2=3时，/(1)=sin(4x3+J)=1,

即点A的横坐标为1,(3,1)为二函数的图象的第二个公共点.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题.

16.1

【解析】

利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.

【详解】

第一次：x=4,j=ll,

第―>次：x—5ty—32t

第三次：x=Ly=14,此时14>10xl+3,输出x,故输出x的值为1.

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)］一；(2)见解析.

【解析】

(D分xW—2、—2<x<；、xz］三种情况解不等式/(x)>2,综合可得出原不等式的的解集；

(2)利用绝对值三角不等式可求得函数y=/(x)+5|x+2|的最小值为攵=9,进而可得出。+劭=1,再将代数式

9+,与。+6。相乘，利用基本不等式求得+'的最小值，进而可证得结论成立.

abab

【详解】

(1)当xW—2时，由/(x)>2,得1—4x+x+2>2,即1一3x>(),解得此时xW-2；

133

当—2<x<：时，由得1—4x—x—2>2,即5x+3<0,解得x<—:，此时—2<x<—；

455

当xN；时，由/(x)>2,得4x-l-x-2>2,即3x—5>0,解得x>；,此时x>：.

综上所述，不等式/(x)>2的解集为(一8,一|[u1|,+8)；

(2)y=y(x)+5|x+2|=|4x—l|+4|x+2|=|4x—l|+|4x+8|>|4x—l-(4x+8)|=9,

当且仅当(4x—l)(4x+8)<0时取等号，所以2=9,a+6b=l.

61(61V八\,36ba“.36ba-

所以—I—=—I—(a+6Z?)=6d------1F6N12+2J---------=24，

ab\ab)ab\ab

当且仅当迎=3,即4=,，匕=，时等号成立，所以Q+，224.

ab212ab

所以」9+122娓,即竺J2瓜

bab

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考

查运算求解能力，属于中等题.

n+l

18.(1)区,=一6〃+3,bn=2；(2)详见解析.

【解析】

22

(1)当〃=1时，an=Sx=-3,当时,an=Sn-S„_t=-3n-[-3(n-l)]=-6n+3,

当〃=1时，也满足«„=-6/1+3,/.an=-6n+3,•等比数列{2},；.bxb3=b；,

:.帅也3==512=>与=8,又；4+白=%+优，

Q1

/.-3H—=_15+8q=>g=2或g=—5(舍去)，

2n+1

Ab„=b2q"=2；

2向2”11

(2)由(1)可得：%-(2=一2)(2"”-1)一(2"_1)(2向—1)-2"-1-2"+'-1'

"123«v2-l22-122-123-12"-12n+I-l

=1-不工<1，显然数列｛1｝是递增数列，

2—1

22

'-Tn>T^-,即产<1.)

2

19.(1)a„=2"-',bn=2n-\(2)=(2〃—3>2"+3(3)Z=1

【解析】

（1）假设公差d,公比4,根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得"，夕，然后利用公式法，可得结

果.

（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.

（3）计算出S“，代值计算并化简，可得结果.

【详解】

b+2d=qq-+]

解：（1）依题意:}

4+4d=q/-7

2d=q1d=2

即《解得:

4d=寸-84=2

所以&=2"Ibn=2n-l

(2)a„bn=(2n-\)2"-',

A,=1+3X2+5X2?+…+(2〃-1)X2"T,

24=lx2+3x22+5x23+-..+(2n-l)x2",

上面两式相减，得：

一=1+2(2+22+…+2”T)-(2〃一1)x2”

则一AU+2X型U

-(2»-l)x2n

即-A,,=(3-2〃)x2"-3

所以，A“=(2〃—3>2"+3

(3)a,；=22"-2=4,-1

S“=1+4+42+4'+…+4"，

1-4"4"-1

所以S〃=

1-43

由得，*二1+1=.X22"T,

333

1c2

=-x2=一

33

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.

+2

20.(I)an=2n-l{(II)2"-4

【解析】

(I)设等差数列{,}的公差为4,则依题设d=2.

由4+4=14,可得%=2.

由唾=45,得(7-dX7+d)=45,可得d=2.

所以4=7-"=1.

可得q=2n—1.

(U)设6口=/，则q+Cj+…+7=%+1.

即q+q+---+cn=2n,

可得%=2，且q+q+…+q+cIH1=2(n+D-

所以。4=2,可知c«,=2(〃eN*).

所以4=2i,

所以数列卜)是首项为4,公比为2的等比数列.

所以前"项和&=40-2")=2^-4.

1-2

考点：等差数列通项公式、用数列前〃项和求数列通项公式.

21.(1)八八，P(2,2夜)；(2)1.

【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

(2)设直线/的方程为：x+my-1=0,代入y2=4x,得，y2+4mj-4=0,设4(xi,ji),B(X2»j2)>则以+以=-

2

4/n,Jij2=-4,X}+x2=2+4m,xix2=l,而=(%-2,-272)»pg=(x2-2,y2-2A/2)»由此能求出苏.而

的最大值.

【详解】

(1),••点厂是抛物线必=2px(p>0)的焦点，P(2,jo)是抛物线上一点，\PF\=3,

：.2+-=3,

2

解得:p=2,

・・・抛物线C的方程为y2=4x,

・・,点尸(2,〃)(〃>0)在抛物线C上，

AM2=4X2=8,

由〃>0,得力=20「，尸(2,272).

(2)VF(1,0),,•・设直线/的方程为：x+mj-l=0,

代入y2=4x,整理得，y2+4my-4=0

设A(X1,力),B(X2,J2),

则以，也是产+/町-4=0的两个不同实根，

•>«Ji+j2=-4)n,jij2=-4,

Xi+X2=(1-，町1