2022届甘肃省高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线/：、回x+y+2=0与圆。：/+,2=4交于A,3两点，与/平行的直线4与圆。交于M,N两点,

且z/MB与AOMN的面积相等，给出下列直线4：①百x+y-26=0,②岳+y-2=0,@x-y/3y+2=Q,

@6工+），+2百=0.其中满足条件的所有直线4的编号有（）

A.①②B.①④C.②③D.①②④

2.若jI则二=()

sin(_+-；-)=-

D.

3.设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和）'轴的正半轴交于A8两点，点。与点p关于）,轴对称，。为坐标

原点，若丽=2而，且迎•通=1，则点P的轨迹方程是（）

33

A.—X2+3y2=l（x>0,y>0）B.-x2-3y2=l（x>0,y>0）

33

C.3x2--y2=1（x>0,y>0）D.3x2+~y2=l（x>0,y>0）

4.若i为虚数单位，则复数z=-sinT+icos：,则1在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22

5.已知双曲线C:=—与=13>0/>0）,点P（Xo，%）是直线版一强+4a=0上任意一点，若圆

a~b~

（兀一%）2+（^-%）2=1与双曲线。的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）,

A.（1,2]B.（1,4]C.[2,+00）D.[4,-KO）

x+y<10

6.设实数X、丁满足约束条件<,则z=2x+3y的最小值为（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

7.设i是虚数单位，复数3=（）

1

A.-1+iB.-1-iC.l+iD.1-i

8.已知COS(2019；r+a)=-4^，则Sinf1-2a)=(

）

75c57

A.9-B.9--9-D.-9-

22

9.已知双曲线C：W-5=l（a>0力>0）的右焦点为尸，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于〃

crb-

点，Mb的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）

A.75-1B.V2C.百D.75

10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线。的两条渐近线与圆（x-2>+y2=i都相切，则双曲线。的离心率是

（）

A.2或毡B.2或百C.省或也D.毡或如

3232

11.若双曲线£=1的离心率《=也，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）

4b22

A.2GB.2C.73D.1

12.如图所示，正方体ABC。-48cA的棱AS,AR的中点分别为E，F,则直线Eb与平面惧2。所成角

的正弦值为（）

75„730rV6n275

5665

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为（1,1），（2,2）,函数

/(x)=Asin(5+e)[A〉0,0<口<引水句的图象经过该三角形的三个顶点，则/(X)的解析式为

/(力=------------

6

14.若(2x+l)6=4+%(x+l)+%(x+l)2+—l-a6(x+l),则a0+at+2a2+3a3+4a4+5%+64=.

15.如图，在A4BC中，AB=4,。是AB的中点，E在边AC上，AE=2EC,CD与BE交于点O,若。B=夜OC,

则4ABC面积的最大值为.

16.(3/—2x-1)’的展开式中，的系数是.(用数字填写答案)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=当a+bsinx+(；a-辰)cosx,且/(0)==1.

(1)求/(x)的解析式；

(2)已知g(x)=x2-2x+〃L3(l<m«4),若对任意的王e[0,兀],总存在々e[-2,m],使得/(斗六85)成立,

求加的取值范围.

18.(12分)如图，在三棱锥A-BC。中，AB1.AD,BCA.BD,平面A50_L平面BCZ),点E,尸(E与A,。不重合)

分别在棱AO,8。上，EEFLAD.

求证：(1)E尸〃平面ABC；

(2)AD1.AC.

19.(12分)直线/与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于P,。两点，且OPLOQ,若P,。到x轴距离的乘积为16.

(1)求C的方程;

(2)设点厂为抛物线。的焦点，当“42面积最小时，求直线/的方程.

20.（12分）在四棱锥产一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中点.

P

（1）证明：PZ）//平面AEC；

（2）设尸是线段。C上的动点，当点E到平面必产距离最大时，求三棱锥P-AFE的体积.

21.（12分）数列血｝的前〃项和为S“，且5“=2。”-2.数列色｝满足2=1082%,其前"项和为7；.

（1）求数列｛q｝与色｝的通项公式；

（2）设g=4+亍，求数列｛c.｝的前〃项和C,,,

1n

22.（10分）若函数/。）=6'-"-"一〃式（加€/?）为奇函数，且x=5时有极小值/（/）・

（1）求实数"的值与实数”的取值范围；

2

（2）若/（X。）2-1恒成立，求实数”的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

求出圆心。到直线/的距离为：d=l=；r,得出N4OB=120。，根据条件得出。到直线《的距离"'=1或&时满足

条件，即可得出答案.

【详解】

解：由已知可得：圆。：/+丁=4的圆心为（0,0）,半径为2,

则圆心。到直线/的距离为：J=l=-r,

2

...ZAOB=nO°,

而//〃I，“MB与AOMN的面积相等,

/.NMON=120。或60°,

即。到直线4的距离d'=1或6时满足条件,

根据点到直线距离可知，①②④满足条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.

2.B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

因为..汴？，由诱导公式得「，所以

sin（二+勺=?cos匚=-_cos2-=2cos:n-l

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

3.A

【解析】

设A8坐标，根据向量坐标运算表示出丽=2而，从而可利用乂丁表示出。力；由坐标运算表示出丽•丽=1,代

入a,b整理可得所求的轨迹方程.

【详解】

设A(a,0),其中a>0,b>0

3x_

____/、/\\x=2(a-xa=—>0

BP=2PA：\x,y-b)=2(a-x,-y),即‘''2

[y-b=-2y

b=3y>0

；P,Q关于)’轴对称:.Q(-x,y)

____3

OQ-AB-[—X,y)•{—a,=ax4-by=1—x2+3y2=l(x>0,y>0)

故选：A

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平

面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.

4.B

【解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为z=-18-Li,求出再利用复数的几何意义即可求解.

22

【详解】

•.z=—sin2+icos生=-走-L

3322

V31.

z=------1--z>

22

则之在复平面内对应的点的坐标为一*，5,位于第二象限.

\/

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的几何意义、共物复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.

5.B

【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx-ay+2a=0与直线bx-ay=0的距离d,根据圆

(x—XoY+(y—y0)2=l与双曲线。的右支没有公共点，可得d"l,解得即可.

【详解】

221

由题意，双曲线C:t—5=1匕〉0力〉0)的一条渐近线方程为丫=—*,即bx-ay=0,

aba

丁P(x0,y0)是直线bx-ay+4a=0上任意一点,

,4a4a

则直线bx—ay+4a=0与直线bx—ay=()的距离d=/,,=一,

+b“c

•.•圆(X—X。『+(y-y0『=1与双曲线C的右支没有公共点，贝!ld21,

即6=£<4,又e>l

ca

故C的取值范围为(1,4],

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C的右支没有公

共点得出d21是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6.D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+”10

做出满足的可行域，如下图阴影部分，

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值，

x=4[x=4

由彳解得<即44,2),

[x~y=21y=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

故选：D.

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

7.D

【解析】

利用复数的除法运算，化简复数上匚=1-i,即可求解，得到答案.

1

【详解】

1+i(l+i)-(-i)

由题意，复数..、=>i,故选D.

1ix(-i)

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,

属于基础题.

8.C

【解析】

n

利用诱导公式得cos(2019万+e)=—cose,sin(――2a)=cos2<z,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【详解】

由cos(2019^+«)=---可得cos(乃+a)=———>cosa=-j-，

sin(——2a)=cos2a=2cos-a-1=2x—-1=——,

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时

注意三角函数的符号.

9.A

【解析】

设则M尸的中点坐标为(寸,缶)，代入双曲线的方程可得a/,c的关系，再转化成关于冬。的齐次方程,

求出£的值，即可得答案.

a

【详解】

22

双曲线C:二-==1(〃>0,。>0)的右顶点为A(«,o),右焦点为F(c,0),

a~b~

M所在直线为x=4,不妨设M(a,力，

a+cb("4⑶2

二腐尸的中点坐标为(二一,彳).代入方程可得12)»

a2h2

...(a+?=J,e?+2e—4=o,e=6—1(负值舍去).

4/4

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意

构造dc的齐次方程.

10.A

【解析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率.

【详解】

设双曲线C的渐近线方程为丫=1«,是圆的切线得：/=!==1,^=±—

c2+l3

得双曲线的一条渐近线的方程为y=也.•.焦点在X、J

,轴上两种情况讨论:

3

①当焦点在X轴上时有：2=立，e=£=^i±l=2G

；

a3a3~

②当焦点在y轴上时有：0=立，e=£=^E：

=2；

b3aV3

...求得双曲线的离心率2或士叵.

3

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想.解题

的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的

值.此题易忽视两解得出错误答案.

11.C

【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.

【详解】

双曲线三一与=1的离心率6=①，

4b22

贝!|。=2,e=£=也，解得c=g,所以焦点坐标为(土5,01

所以b=A/C,2一/=77-4=Vs，

则双曲线渐近线方程为y=±等x,即氐±2y=0,

不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得"=—百，

V3+4

故选：C.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.

12.C

【解析】

以D为原点，DA,DC,DDi分别为X，XZ轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AAiDiD所成角

的正弦值.

【详解】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-AIBIGDI的棱长为2,

则E(2,l,0),*1,0,2),EF=(-1,-1,2),

取平面A41A。的法向量为万=（0,1,0）,

EF万j6

设直线EF与平面AA]DiD所成角为0,则而。=2赤叶|同京|=豆

•••直线E厂与平面的。。所成角的正弦值为—.

6

故选C.

【点睛】

本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2sin伊图

【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为尸点，再由函数性质

进一步求解参数即可

【详解】

等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点AB,C,D,E,F,其中点AB,C,。与己有的两个

顶点横坐标重复，舍去；若为点£则点E与点（2,2）的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于-2,不可能为（L1）,

因此点E也舍去，只有点尸满足题意.此时点（2,2）为最大值点，所以〃x）=2sin（ox+0）,又0＜。＜]贝ij

：=票1,所以点（11），（2,2）之间的图像单调，将（1,1,）,（2,2）代入/（x）的表达式有

71-f71

sin（0+9）=g=切+9=一+2%）ty=i,

6=.

71八,71_.

sin（2G+0）=12co+（p-=——\-2k7i（p-------+2k7T,kf€

216

7T71

由时<]知9=一看，因此/(x)=2sin—X------

36

故答案为：2sin[f

【点睛】

本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题

14.13

【解析】

由导函数的应用得：设/(x)=(2x+l)6,g(x)=g+q(x+l)+%(x+l)2+…+/(》+1)6，

所以f'(x)=12(2x+l)5,g，(x)=q+2%(x+l)+…+6牝(*+1)5,又f(x)=g(x),所以/'(》)=g'(x),即

55

12(2x+1)=a]+2a2(x4-1)4-...4-6a6(x+1),

由二项式定理：令x=0得：a1+2/+3/+4%+5%+64,再由g(0)=/(。)，求出为，从而得到

%+4+2a2+3a3+4/+5%+64的值；

【详解】

解：设/(X)=(2x+l)6,g(x)=《)+4(1+1)+%(X+1)2+…+生。+1)6，

所以f(x)=12(2x+1)5,g'(x)=4+2%(X+1)+...+6a6(X+1)5,

又又%)=g(%)，所以/"(x)=g'(x)，

55

BP12(2x+1)=4+2a2(x+1)4-...4-6ae(x+1),

取x=0得：q+2%+3%+4%+5%+6&=12,

又g(0)=/(0),

所以％=1，

故4+4+2a2+3q+4%+5a5+6«6=1+12=13,

故答案为：13

【点睛】

本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题

15.8拒

【解析】

先根据点共线得到OC=OD,从而得到。的轨迹为阿氏圆，结合三角形ABC和三角形80。的面积关系可求.

【详解】

设的=义函=4与+4而=必匠+4而

2222

3421

B,0,E共线，则在+楙=1,解得％=从而。为C。中点，故OB=&OC=^OD.

在△800中，30=2,OB=gOD，易知。的轨迹为阿氏圆，其半径r=2五，

故SA48c=4s△BOO<2BD-r-80-

故答案为：872.

【点睛】

本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

16.-25

【解析】

根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.

【详解】

由题可知：/项来源可以是：(1)取1个3/，4个一1

(2)取2个一2x,3个一1

x2的系数为：/x3xC：(―I?+Cj(-2)2Cl(—if=-25

故答案为：-25

【点睛】

本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合

的知识，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/(x)=2sin[x.)；⑵(1,3]

【解析】

（1）由/（0）=—1"1，可求出a,b的值，进而可求得f（X）的解析式;

（2）分别求得/（x）和g（x）的值域，再结合两个函数的值域间的关系可求出加的取值范围.

【详解】

/(0)=；a_®

（1）因为1,所以434(4

解得a-\,b———,

2

'也+也、

故/(x)=sinx+—cosx=V3sinx-cosx=2sinx--

52[6

71，所以sinjx-/]e——4»JUOf(x)e[-l,2],

（2）因为30,江所以A片

66」I6；L2J

g（x）=x2-2%+加一3图象的对称轴是x=l.

因为1</〃W4,—2WXW所以g（x）min=g⑴=加一4,g（X）max=g（-2）=加+5,

1<<4

则（加一44—1,解得1〈加W3,故，〃的取值范围是（1,3].

m+5>2

【点睛】

本题考查了三角函数的恒等变换，考查了二次函数及三角函数值域的求法，考查了学生的计算求解能力,属于中档题.

18.（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先由平面几何知识证明EE〃相，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性

质定理得8CJ■平面Aa）,则3CJ_AD,再由A5_LAD及线面垂直判定定理得AOJ_平面A5C,即可得

ADLAC.

试题解析：证明：（1）在平面内，因为EF1.AD,所以EE||43.

E

又因为ET7a平面ABC,ABu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

(2)因为平面ABZ)_L平面5C。，

平面45£>c平面BCD=BD,

8。匚平面5€7),BC1BD,

所以BCJ_平面ABD.

因为ADu平面ABO,所以BC,AD.

又A8JLA。，BCcAB=B,ABu平面A5C,BCu平面ABC,

所以4O_L平面48C,

又因为ACu平面ABC,

所以AZ)_LAC.

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平

行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

19.(1)/=4x；(2)x=4

【解析】

(1)设出两点的坐标，由距离之积为16,可得K%=T6.利用向量的数量积坐标运算，将O尸_LOQ转化为

。户石•再利用两点均在抛物线上，即可求得〃的值，从而求出抛物线的方程；

(2)设出直线/的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线/恒过定点M(4,0),将APEQ面积用参数f表示,

求出其最值，并得出此时的直线方程.

【详解】

解：(D由题设P(x,,yJ,。(々，%)

因为P,。到x轴的距离的积为16,所以x%=-16,

又因为OP_LOQ,.•.丽.丽=玉々+%%=0,

y；_256

xx16=五»:•p=2

]22P2p4P2

所以抛物线。的方程为)，2=4X.

(2)因为直线/与抛物线两个公共点，所以/的斜率不为0,

所以设：x=(y+加

x=(y+m与

联立24，得—49-4m=0,

即>1+以=今，X%=-16=-4/〃，

:.m=4

即直线/恒过定点M(4,0),

所以=；I月011X—%|=ga6『+64,

当r=0时，AP川Q面积取得最小值12,此时x=4.

【点睛】

本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，

属于综合性较强的题.

20.(1)见解析(2)显

3

【解析】

(D连接。8与AC交于。，连接OE,证明PD//OE即可得证线面平行；

(2)首先证明平面ABC。(只要取8C中点“，可证平面从而得B4_LBC,同理得Q4LCZ)),

因此点B到直线AE的距离即为点8到平面24尸的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积.

【详解】

(1)证明：连接与AC交于。，连接OE,

因为ABCD是菱形，所以。为OB的中点，

又因为E为心的中点，

所以PD//OE,

因为PD(Z平面AEC,OEu平面AEC,

所以P。//平面AEC.

p

(2)解：取8C中点连接AM,PM,

因为四边形ABC。是菱形，NB4O=120°,且PC=PB,

所以,又AMn?M=M,

所以3。，平面"河，又APu平面”M，

所以BC_LQ4.

同理可证：DC1PA,又BCnDC=C，

所以PA_L平面ABC。，

所以平面如产，平面ABCD,

7

又平面姑;八1平面43。。=4/，

所以点8到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，

过B作直线AE的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB=2,

因为£为心的中点，故点E到平面24尸的最大距离为1,

此时，尸为。C的中点，即A/=百，

所以/二;x2x6=g，

所以%-V

u~tAxFrtE,£»E~r/P\XrF=3—x<6x1=3.

【点睛】

本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键.

2

21.(1)%=2",b,,=n；(2)C„=2,,+1-------.

n+\

【解析】

(1)令〃=1可求得为的值，令〃22,由S“=2a“-2得出S,-=2a,i-2,两式相减可推导出数列｛4｝为等比数

列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求得数列｛q｝的通项公式,再利用对数的运算性质可得出数列抄“｝

的通项公式；

(2)运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得7；.

【详解】

(1)当〃=1时，*=24-2,所以4=2；

当心2时，a.=S“-S,i=24—2-(2的-2)，得%=21,即9=2，

an-\

所以，数列｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列，.•.a“=2x2"T=2".

b“-log,2"=ni

(2)由(1)知数列｛2｝是首项为1,公差为1的等差数列，

〃(〃一1)〃(〃+1)

T=nxld——------x1=---------.

"22

%=2"+2=2"+2(，—一—\

2,,22，，+

.­.C„=(2+2+---+2)+2fl--+---+---+-O=_'+2(l5—］=2用.

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