2022年八年级数学下《利用勾股定理求最值》专项练习题-带解析

八年级数学下-专题：17.10利用勾股定理求最值(专项练习)

一、单选题

1.如图,一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发,爬到点B,如果它运动的路径是

最短的，则〃1的长为()

C.26D.4石

B.4

2.如凰在△?(以中，N4=90°,四=6,比=10,既是欧的垂直平分线，夕是直线〃上的任

意一点,则为+阳的最小值是()

C.10D.12

3.如图,正方形1犯9的边长是4‘点E是"'上一个点,且DE=\,一点在〃'上移动,则

必十外的最小值是()

A.4B.4.5C.5.5D.5

4.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点。处有一滴

蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的

最短距离为()cm.

蚂蚁乂

C建蜜

1

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A.15B.20C.18D.30

5.如图,在长方体透明容器(无盖)内的点夕处有一滴糖浆,容器外力点处的蚂蚁想沿容器壁

爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm,宽为3cm,高为4cm,点力距底部1cm,请问蚂蚁需爬行

的最短距离是(容器壁厚度不计)()

C5布cmD.V113cm

6.如图,等边的边长为6,49是外边上的中线,"是/〃上的动点,£是边力C上一点,

若AE=2,则£价6¥的最小值为()

7.如图，矩形/BCD中，/B=4,8c=6,点尸是矩形/5C0内一动点，且，总=5$38,则

尸C+尸。的最小值是()

A.46475

B.

C.2万2V29

D.

8.如图，在心A4BC中，/ACB=R",AC=8cm,8C=3cm.。是8c边上的一个动点,连接

AD,过点C作CE'/O于E,连接BE,在点。变化的过程中,线段BE的最小值是()

D.布

C.2

90。,ZC=90°,ND=60。,AD=3,AB=后,若点以川分别

2

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为边CD,AD上的动点,则的周长最小值为（）

A.2石B.3娓C.6D.3

10.如图，在△/a'中，仍=2,N4比=60°，//纺=45°是8c的中点，直线/经过点

D,AEL1,BFL1,垂足分别为&F,则｛母跖的最大值为（）

A.娓B.2&C.2GD.3^2

11.如图，点4占的坐标分别为“（2，°），8（°，2）,点。为坐标平面内一点，BC=1,点"为线段

AC的中点,连接。加，则的最大值为（）

A.V2+1B.2C.26+1D.2

二、填空题

12.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋6的西8km北7km处,

他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是

km.

3

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小河

牧童以

b..............B小屋

13.如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运

动的路径是最短的，则4C的长为.

14.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺,有葛藤自根缠

绕而上,三周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是

十尺,则该圆柱的高为24尺,底面周长为6尺,有葛藤自点力处缠绕而上,绕三周后其末端恰

好到达B处,则问题中葛藤的最短长度是一尺.

15.(1)已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了4%;,乙往南走了3A?,这时甲、乙两

人相距km.

(2)如图是某地的长方形大理石广场示意图,如果小王从/角走到。角，至少走米.

30米

16

(3)如图:有一个圆柱,底面圆的直径44灯，高BC=12,P为比的中点,蚂蚁从4点爬到P

点的最短距离是____.

4

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c

16.如图，在四边形中，N6G9=50°,N6=/g90°,在%、67?上分别取一点双N,

使的周长最小，则/物/仁____°.

17.如图，在矩形/加9中,45=10,a'=5.若点材、八，分别是线段“；4?上的两个动点，当

BM+网'取最小值时△场尔的周长为一

18.如图,4?J_阳切，/垂足分别为6,6尸为线段用上一点，连结必，柩已知

/Q5,及=12,贝！］/尸的最小值为.

19.如图，在中，/力8=97.5°,0、0两点在〃'边上，阳=2,幽=30,图=布，若

点火”分别在边4?、加'上，

5

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⑴NPBQ=_

(2)当四边形户的周长最小时，(,岬七腑A@2=.

20.如图，△/用中，N/%=90°,/=4,笈=3,射线切与边46交于点以点S尸分别为

AD、故中点，设点£、尸到射线5的距离分别为勿、则®+〃的最大值为.

21.如凰在长方形ABCD中，AB=3,BC=2,E是比1中点，点尸是线段上一个动点.

(1)连接DF,则出炉1的最小值为；

⑵以"为斜边向斜上方作等腰Rt△夕&,点厂从点6运动到点A的过程中,的最小值为

22.如图，已知RtA46C中，//⑦=90°,/胡。=30°,延长宽1至。使5=况;连接/〃，若

1

H—

夕为线段如的中点，且4g4,点尸为线段“1上一动点,连接EP,BP,则EP2心的最小值为

则2册/户的最小值为.(注:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边

的一半.)

23.要在街道旁修建一个奶站，向居民区力、8提供牛奶,小聪根据实际情况，以街道旁为x

轴,测得4点的坐标为(0,3),6点的坐标为(6,5),则从4、3两点到奶站距离之和的最小值

是—.

V

“八A

•B

街道旁

-o-\-----------X>

24.如图，已知R汇Z8C中，41C8=90。，/C=2C=4,动点〃满足=1,将线段CM绕

点。顺时针旋转9。°得到线段CN，连接ZN,则NN的最小值为.

6

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25.如图，点A,8在直线MN的同侧,点A到MN的距离ZC=8,点占到的距离50=5,

已知8=4,〃是直线MV上的一个动点，记尸工+依的最小值为a,户“一尸目的最大值为

b.

⑴”________;

⑵a2-b2=.

26.在综合实践课上,小明把边长为2金的正方形纸片沿着对角线/C剪开，如图，所示.然

后固定纸片△/凿把纸片沿的方向平移得到△/'D'C，连"B,D'B,D'C在

平移过程中：(1)四边形HBCD'的形状始终是_;(2)4B+D'占的最小值为.

DDD'

BB

图1图2

27.如图所示，中，N/"=90°,47=13,欧=12,也是/。6的平分线，若八0分别

是力〃和然上的动点,则/JC=的最小值是

28.如图,△/以是边长为12的等边三角形，〃是回的中点,£是直线/〃上的一个动点,连

接比;将线段比'绕点C逆时针旋转60°得到小连接"则在点£的运动过程中，当分'的

长度最小时,位的长度为.

7

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29.如图，在四边形5中，AD=4,DC=2t/C1BC且ZC=8C,点£■是相的中点，连

接应;当应■取最大值时,的长为______.

30.如图，在等腰△48C中，/胡C=30°6c=4,点只Q、〃分别为边6C、AB、AC

上（均不与端点重合）的动点,周长的最小值是

三、解答题

31.如图，牧童在A处放牛，其家在6处,4、6到河岸1的距离分别为AOlkm,6庐3km,且

必=3km.

（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短请在图中画出饮

水的位置（保留作图痕迹），并说明理由.

（2）求出（1）中的最短路程.

32.如图:一个圆柱的底面周长为16cm,高为6cm,%是上底面的直径,一只蚂蚁从点/出发，沿

着圆柱的侧面爬行到点C,求蚂蚁爬行的最短路程（要求画出平面图形）.

33.如图，在△/第中，ZACB=W°,/后30°,切是高.

（1）若49=8,则49的长为;

8

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（2）若也N分别是CA,。上的动点,点《在斜边47上，请在图中画出点M,N,使。班加4M1最

小（不写作法，保留作图痕迹）.

34.已知:如，M犷，仞/16=25,15,给=10,如图1,点夕是线段加上的一个动点，连

接PD、PC.

（1）当加=PC时，求力夕的长；

（2）线段46上是否存在点P,使此升星的值最小,若存在,在线段上标出点P,并求P加PC

的最小值;若不存在,请说明理由.

（3）如图2,点，"在线段46上以2个单位每秒的速度从点8向点1运动，同时点4在线段AD

上从点［以x个单位每秒的速度向点〃运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），

点M、N运动的时间为1秒,是否存在实数上,使邠与△原公全等?若存在,求出x、t的值,若

不存在，请说明理由.

35.设两个点46的坐标分别为（I必），（~>2）,则线段48的长度为：

2

AB=y/（xl-x2）+（yl-y2）举例如下:从占两点的坐标是（°，一3）,（I）,则^两点之

间的距离,8=击7）~+［-3-1）］=6.请利用上述知识解决下列问题：

⑴若“（1二），8（x,6）,且<5=5,求*的值；

⑵已知△/蛇点/为（T5）、点6为（-5,2）、点,为（一3，1）,求△31的面积；

（3）求代数式+4+J1-x）+9的最小值，

参考答案

1.C

9

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2022年八年级数学下《利用勾股定理求最值》专项练习题

【分析】

将正方体展开,右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时49最短,根据三角形中位线，

求出回的长，利用勾股定理求出/C的长即可.

【详解】

解:将正方体展开,右边的正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时46最短,

'：AN=MN,CN//BM

，CN=28后2,

在Rt/\ACN^,根据勾股定理得:47=JZM+CN'=h+42=2亚,

故选:C.

【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有:三角形中位线，勾股定理，熟练

求出CN的长是解本题的关键.

2.B

【分析】

如图，由线段垂直平分线的性质可知/M则有为+小处+房然后可知当点力、P、C三点

共线时,以+阳取得最小值，即为4C的长.

【详解】

解:如图,连接闺

•••4是欧的垂直平分线，

：.PB=PC,

：.PA+PB-PA+PC,

；.川+阳的最小值即为序+/T的最小值，

当点4P、,三点共线时，阳+如取得最小值，即为4C的长,

10

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2022年八年级数学下《利用勾股定理求最值》专项练习题

...在RtAABC中,N/=90°,AB=6,BC=10,由勾股定理可得：

AC=dBC2-AB2=8

>

...必+加的最小值为8;

故选B.

【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理,熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定

理是解题的关键.

3.D

【分析】

连接阳交4C于点“，连接DN,N即为所求的点,则缈的长即为用发'的最小值,利用勾

股定理求出跖的长即可.

【详解】

解:如图，

.•.点6与点〃关于直线检对称，

连接应:交4c于点N,连接DN、

:.DN=BN,

"V+£"="¥+EN之BD,

则缈的长即为加斗阳的最小值，

是线段劭的垂直平分线，

又「若办/4T=3,

在RtABCE中,

BR=C吟+BC言,

■:BE>Q,

...法5,

即加斗阳的最小值为5,

故选:D.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识,

将小如的最小值转化为应■的长是解题的关键.

II

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4.A

【分析】

把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作/点关于加•的对称点B,分

别连接BD、BC,过点C作CE1DH干点、£则比、就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,根据勾股定理

即可求得应1的长.

【详解】

把圆柱沿蚂蚊所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作4点关于加的对称点B,分

别连接BD、BC,过点C作CE1DH千点E,如图所示：

则DB=AD=4cm,

由题意及辅助线作法知,"与/V分别为67/与加•的中点,且四边形CMHE为长方形,

：.CE=M^cm,EH=CM=4ctn,

：.DE=DH-EH-\2-^cm,

:.B5DE+附2cm,

在RtNECN,由勾股定理得：BC=ylBE2+CE2=J122+）=15cm,

即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为\5cm,

故选；：A.

【点拨】本题考查了勾股定理,两点间线段最短,关键是把空间问题转化为平面问题解决,这

是数学上一种重要的转化思想.

5.D

【分析】

将点A沿着它所在的棱向上翻折至点H处,分如图（见解析）所示的三种情况讨论,分别利用

化曲为直的思想和勾股定理求解即可得.

【详解】

解:如图，将点A沿着它所在的棱向上翻折至点H处，则新长方体的长、宽、高分别为

5cm,3cm,7cm

12

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•B

将这个新长方体展开为以下三种情况,如图所示:

A；S=J(4+3j+(5+3>=/^j

ycm)

A；B=7(5+4+3)2+32=>/i53=3>/i7cm

&B=J(3+4+3/+52=V125=5>/5cm

，

••>/n3<V125<V153

*»

，蚂蚁需爬行的最短距离是阿cm,

故选:D.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键.

6.C

【分析】

连接BE,交于点M,过点£作既L6C交于点F,此时£，/+◎/的值最小,求出缈即可.

【详解】

解:连接外交4〃于点M,过点£作EF1BC交于点、F,

•••△4561是等边三角形,AD是芯边上的中线，

：.B前与C点关于对称，

:.BQCM,

：.EM+CM=EM+B.^f=BE,此时切什以/的值最小，

•.3C=6,46=2,

；.£占4,

在Rt/\EFC中、/即占60。，

:.FC=2,EF=26

13

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在RtABEF中，BF=4,

:.BE=25,

故选：C.

【点拨】本题考查轴对称求最短距离,熟练掌握轴对称求最短距离的方法,灵活运用勾股定

理是解题的关键.

7.B

【分析】

作PMLAD于屈作点〃关于直线灯/的对称点£连接为EC.设A^x.由垂直平分线段

DE,推出PAPE,推出PC+PHC+P巧EC,利用勾股定理求出呢的值即可.

【详解】

解:如图，作PMLAD于M,作点D关于直线放的对称点&连接P&EC.设4沪x.

•.•四边形/宏都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=A,B©AD=6,

]_

•'SGPA沪2S^PCD,

]_]_

/.2X4义产3x2X4X(6-x),

x=2,

；.4聆2,〃沪后沪4,

在Rt/\ECD中，EedCD?+DE?:4下,

・・,/W垂直平分线段〃区

P2PE、

:.pc+pgpap峪EC,

14

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:.PHPBAW

.•.外17r的最小值为4石.

故选:B.

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性

质定理,结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

8.A

【分析】

由N4FC=90°知，点月在以4C为直径的。材的瓯上（不含点心可含点加，从而得跖最短

时，即为连接8V与。"的交点（图中点炉点），龙,长度的最小值班''.

【详解】

如图，

由题意知，/4EC=90。，

・••E在以AC为直径的口”的加上（不含点C、可含点N）,

•・•斯最短时，即为连接励/与口”的交点（图中点E，点），

c,--CM=-AC=^cmI--------------

在RtABCM中，8C=3cw2，则3M=JBC?+C/=5加

,/ME'=MC=4cm

•••BE长度的最小值BE'=BM-ME'=lent,

故选：A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解

题时,注意辅助线的作法.

9.C

【分析】

由轴对称知识作出对称点,连接两对称点，由两点之间线段最短证明"8"最短，多次用勾股

定理求出相关线段的长度,平角的定义及角的和差求出角度的大小,最后计算出A8MN的周

长最小值为6.

【详解】

解:作点8关于0。、AD的对称点分别为点B'和点B",

15

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连接B'B"交DC和AD于点M和点N,,连接“8、NB.

再0c和“。上分别取一动点和N'（不同于点M和N）,

连接M'B,MB,N'B和N3",如图i所示：

•.・BE<M'B'+MN+N'B〃

B'M'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN+BN'>B'B"

又・・•B'B"=B'M+MN+NB”、

MB=MB'>NB=NBw，

NB+NM+BM<BM'+MN+BN'

:=NB+NM+BM时周长最小；

连接DB,过点B'作B'H1DB'于B-D的延长线于点H,

如图示2所示：

♦.•在RtZ\/8£)中AD=3,AB=6

...DB=-JAD2+AB2=打+(G)2=2V3

Z2=30°

n

Z5=30°，DB=DB，

又丁40C=N1+N2=60。，

16

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・•・Zl=30°>

../=30°DB'=DB.

NB'DB"=Z1+Z2+Z5+Z7=120°»

DB'=DB"=DS=2\/3

又・・•NB'Q8"+N6=180。，

...26=60°

:.HD=&，HB'=3，

在用△B7/B"中，由勾股定理得：

B'B"=^HB'2+HB"1=打+(3百9=J27+9=6

：UN=NB+NM+BM=6

故选:C.

【点拨】本题综合考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最

短等相关知识点,解题的关键是掌握轴对称一最短路线问题,难点是构建直角三角形求两点

之间的长度.

10.A

【分析】

把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段,然后再根据垂线段最短来进行计算即

可.

【详解】

解:如图，过点C作CK±］于点K,过点A作AH±BC于点II,

VZABC=60°,AB=2,

；.BH=1,AH=6,

在RtAAHC中，NACB=45°,

...Ac=y/AH2+CH2=:—>+(6>=限

•.•点D为BC中点，

.'.BD=CD,

在ABED与△CKD中，

17

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/BFD=/CKD=9。。

<ZBDF=NCDK

BD=CD

)

.♦.△BFD丝△CKD(AAS),

，BF=CK,

延长AE,过点C作CN1AE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中,AN<AC,

当直线1J_AC时，最大值为灰,

综上所述,AE+BF的最大值为卡.

故选:A.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形

是解答此题的关键.

11.B

【分析】

如图所示,取AB的中点N,连接ON,MN,根据三角形的三边关系可知0MC0N+MN,则当ON与MN

共线时,0M=ON+MN最大,再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答.

【详解】

解:如图所示,取AB的中点N,连接ON,MN,三角形的三边关系可知0MV0N+MN,则当ON与MN

共线时,0M=ON+MN最大，

.•.42,0),5(0,2),

则AABO为等腰直角三角形，

AB=3=2正，N为AB的中点，

-AB=y/2

；.0N=2,

又YM为AC的中点，

AMN为AABC的中位线,BC=1,

-BC=i

则MN=22,

及+L

.•.OM=ON+MN=2,

V2i

.•.0M的最大值为+2

故答案选:B.

18

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【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当

ON与MN共线时,0M=ON+MN最大.

12.17

【分析】

如图（见详解），将小河看成直线MN,由题意先作A关于外，的对称点,连接AB,构建直角三角

形，则46就是最短路线；在灯中，NA'DB=90°,和=8km,4ZMZM'A,利用勾股定理

即可求出AB.

【详解】

如图,做出点A关于小河，眦的对称点连接A-8交W于点P,则A-8就是牧童要完成这件

事情所走的最短路程长度.

在如中，由勾股定理求得小J—+3"（7+4+4）2+8F（km）

则他要完成这件事情所走的最短路程是17km.

【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题,掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键.

19

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13.3##

【分析】

根据题意将正方体展开,根据两点之间线段最短,构造出直角三角形,即可求出的长.

【详解】

因为加"b+时:标^而"="8=?丽=半

Vio

故答案为：亍.

【点拨】本题考查勾股定理的运用和两点之间线段最短以及解答此题的关键是根据两点之

间线段最短将图形展开,然后利用勾股定理解答.

14.30

【分析】

根据题意画出圆柱的侧面展开图，进而利用勾股定理求得葛藤的最短长度

【详解】

解:圆柱的侧面展开图如图所示，在如图所示的直角三角形中，

'：BC=24尺,4/7=6X3=18尺，

.•"6=J242+18?=30(尺).

答:葛藤长为30尺.

故答案为:30.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理求最短距离的方法是解题的关键.

15.55010

【分析】

(1)因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角.两人走的距离分别是两直角边,则根据

20

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勾股定理可求得斜边即两人的距离；

(2)连接4c利用勾股定理求出力。的长即可解决问题；

(3)把圆柱的侧面展开,连接AP,利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从4点爬到尸点的

最短距离.

【详解】

解：⑴如图，

；,0A=4km,08=3km,

.•.小Jo/'+Ol=Bkm.

故答案为:5;

(2)如图连接AC,

A?

、一・、

3咪

■、.

、•、

BSv

四边形力及力是矩形，

.♦.N比90°,

在鹿△/87中，：/庐90°,/斤30米,叱40米，

2222

A(>s/AB+BC=V30+40=50(米).

根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到。角，至少走50米,

故答案为：50;

,•,圆柱底面直径力庐万，高比=12,P为正的中点,

£

圆柱底面圆的半径是兀,m6,

21

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2022年八年级数学下《利用勾股定理求最值》专项练习题

£色

:.A氏2X2X乃•万=8,

在RtAABP中,

仍+8尸2=[0,

蚂蚁从A点爬到〃点的最短距离为10.

故答案为：10.

【点拨】本题考查勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开

图,利用勾股定理求解是解答此题的关键.

16.80

【分析】

作点A关于BC、⑦的对称点小、A2,根据轴对称确定最短路线问题,连接小、A2分别交

BC、DC于点、M、儿利用三角形的内角和定理列式求出N4+N4,再根据轴对称的性质和角

的和差关系即可得乙必V：

【详解】

如图，作点]关于比；5的对称点小、内，连接小、沟分别交比"、DC于点、爪人连接

AM、AN,则此时△力邮的周长最小，

V

Ai

V4BCD=3N,Z5=Z^=90°,

・・,N物43600-90°-90°-50°=130°,

，/4+/力2=180°-130°=50°,

・・,点/关于比；口的对称点为4、A2t

C.NA=NA2iMA=MA\,

：.N42=NNAD,N4=/MAB,

22

第22页共42页

.".ZNA^ZMJJ=ZAi+ZA2=50°,

：./MAN—ABAD-(N/必融■/例与

=130°-50°

=80。，

故答案为：80.

【点拨】本题考查了轴对称的最短路径问题,利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线

段最短问题是解决本题的关键.

17.12

【分析】

如图作点8关于的对称点"，连接8'4交加于点£根据对称性可得

BM+MN=B'M++MN,由两点之间线段最短和垂线段最短可得当B'N14B时，

B'E=—

8"+MN取得最小值，设EC=ZE=x,根据勾股定理求出4，然后由等面积法即可

求出高力的长度,然后利用勾股定理求出"V的长度,进而可求出△用你的周长.

【详解】

解:如图作点B关于/C的对称点夕，连接8,/交ZT于点E,则8阶期V的最小值等于

8'M+MN的最小值，

•••当B，N1AB时，BM+MN取得最小值，

:.作B'NU/B交4c于AT,则即8"+MN的最小值；

•.•四边形4及力是矩形，

・・・4D=90O,DC〃AB,

•ZDCA=ABAC

又：/B'AC=NBAC,

,•,NB'AC=NDCA，

・・.AE=CE

设EC-AE-x,

J在Rt/XAED中，OE?+=/£2,即(10_x)~+5?=J

25

x=一

解得：4,

2515

/.B、E=AB,-AE=\0——=—

44

设△"EC中EC边上的高为人

由对称性可得B'C=BC=5,N4B'C=NABC=90°,

SB'CE

2424，解得：人=3,

23

第23页共42页

BN=从5=8,即方挑/V的最小值是8,

.•.在RtAAB'N'中，/"=yjAB'-B'N'=V102-82=6

,",BN'=AB-AN'=10-6=4,

△BMN的周长=8N'+8/'+M州'=8N'+8W'=4+8=12

故答案为：12

【点拨】本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形

的面积从而求出某条边上的高,利用轴对称得出材点与"点的位置是解题的关键.

18.15

【分析】

延长AB至点、E,使BE=AB,过点〃作加1于F,得到以及绪的长,当点E、P、〃共线时，

仍“物'有最小值,利用勾股定理求比座即可.

【详解】

解：延长4?至点£使BE=AB,过点〃作DFLA8于F,则BF=O4,DF=BC=\2,

A田DP=EP+DP,当点、E、P、。共线时,4代外＞，应有最小值,

在直角三角形DEF中,EF=BE+B户5+4=9,

DE=^EF2+DF2=792+122=15

的最小值为15,

故答案为：15.

24

第24页共42页

【点拨】此题考查最短路径问题,勾股定理,熟记最短路径问题构造直角三角形解决是解题

的关键.

19.45°

【分析】

作点尸关于4B的对称点产，点。关于5c的对称点Q',连接P'Q'交ABJ--M、交BCfN,

此时四边形PQNM的周长最小,过点p作PHLBQ于H,由勾股定理求出BH=丘,

PH=BH=叵，得出“BQ=45。，再求出NP80=150。，过点。，作QK,尸少于.K,在

lrn,--»r--

RtABKQ，中，NKBQ'=30°,8。'=8。=3忘则人"一三，一〒，在R.△PQK中，由勾股定

理得"。"=22+66即可得出结果.

【详解】

解：(1)如图，作点尸关于AB的对称点P'，点2关于BC的对称点Q',连接P'Q'交Z8于"，

交BC于N,此时四边形PQNM的周长最小,过点p作PHLBQ于口

PH2=PB--BH2=PQ2-HQ2

22-BH2=(VfO)2-(3近-BH)2

解得：BH=6,

.♦.PH?=4-2=2>

PH=6

PH=BH=血}

/./PBQ=45。

(2),；ZABP=/ABP，/CBQ=ZCBQf

:.NP'B0=2(43。-NPBQ)+/PBQ=2ZABC-NPBQ=150°

)

过点。'作O'KLP'B于K,

在RtABKQ'中ZOP'=1800-I50°=3008。'=80=3应

KQ，=；BQ，=当BK=^BQ'2-KQ'2=J(3应)?-(乎］=~

，，

„KP'^BP'+BK=2+—KQ'=—

在放0K中，2,2,

P'Q'2=(2+乎尸+(-)2=22+676

(MP+MN+NQ¥=P'Q'2=22+676

【点拨】本题考查轴对称最短问戢、勾股定理、含3。°角的直角三角形的性质、轴对称的

性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,学会添加常用辅助线，由直角三角

25

第25页共42页

形解决问题.

20.2.5

【分析】

连接CE,作EM±CD'FN±CD,分别交切于点〃和点人首先根据中线的性质和三角形

S=-5=3

面积公式得出“82，然后证明出当o。的长度最小时，r+〃的值最大，然后根据

垂线段最短和等面积法求出切的最小值,即可求出勿+〃的最大值.

【详解】

解:连接CE,CF、忤EM'CD,FN,CD,分别交切于点"和点用

♦.•点£是股的中点，点?是劭的中点，

.•.四是41co中4〃边上的中线，O•,是中6〃边上的中线,

S“C£=SdOCE+8.产=「SMCD+7SA8c0=彳5凶8c=TXTXxBC=3

212222,

-QCDDEA/+kcD+FN=3

••.22,

-ICD\（EM+FN）=3-［：CD（m+n）=3

2，即2,

.CZ）C（7H+w）=6

••,

当CD的长度最小时,*n的值最大，

当C。,力8时，CD的长度最小,此时叶〃的值最大，

•.•△力6。中，/4切=90°,AC=4,2?C=3,

:"3=^9+BC2=5,

-xCDxAB=6CD=—

••.2，解得：5,

CD=11

二将5代入C"（"+"）=6得：,“+”=2.5.

故答案为:2.5.

【点拨】此题考查了勾股定理，中线的性质,三角形面积的应用，垂线段最短等知识,解题的

26

第26页共42页

关键是根据题意作出辅助线，正确分析出当时卬+〃的值最大.

372

21.3722##

【分析】

（1）作点£关于血的对称点炉，连接㈤于四交于尸（图中〃），则峪麻最小值是加

的长，进而勾股定理求解即可

（2）以成为斜边向斜上方作等腰Rt△珏'G,过点G分别作AB,CD的垂线,垂直分别为",N,

CD上取。尸=1,连接PB,则PC=2=8C,证明口GFM/GEN即可得G点在线段PB上当

4G±PB时AG取得最小值,进而勾股定理即可求得AG的长

【详解】

解：（1）如图1,

作点£关于的对称点炉，连接加,于"交于“图中〃），则侬加'最小值是我的

长，

在WXCDE中，CD=3,CE'=3,

:.DE=J?。+32=3五,

故答案是：30;

⑵如图，以〃为斜边向斜上方作等腰Rt过点G分别作AB,CD的垂线,垂直分别为

M,N,8上取。尸=1,连接P8,则尸C=2=8C

•••ZC=90°

・.△PCS是等腰直角三角形

...NPBC=45°

27

第27页共42页

•・.ZC5^=90°

NPB4=45。

・・・ZABC=90°,4cBp=/ABP=45°

.•.P8是乙48c的角平分线

・「□GFE是等腰直角三角

:.GF=GE/尸GE=90。

GN±NB,GM1MB,NB1MB

GM±GN

NMGN=90。

：.ZFGM+ZMGE=NMGE+AEGN

NFGM=NEGN

乂ZGMF=NGNE=90。

.■DGFM^GEN

GM=GN

，G点在线段尸B上

.•.当时/G取得最小值

•••NPBA=45°

.•□/8G是等腰直角三角形

AG=GB

■：AG2+GB2=AB2

AG=-AB=-y/2

：.22

故答案是：2.

【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的添加辅助线

是解题的关键.

22,5*4万

【分析】

先证明△4BD是等边三角形,根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转

-AP

化2，进而勾股定理求解即可

【详解】

解:过点E作斯，力8于点尸，交AC于点。，过点P作PG1AB于点G,

ZACB=90°,ZBAC=30°,

28

第28页共42页

/.PG=-AP

2

1

H—

/.EP2仍=EP+PG>EG

当瓦RG：点共线时，点尸和点。重合，G,F重合,如图,

1

H—

・•・EP2//尸的最小值为物的长，

•・・/月6»=90。,ZBAC=30°,

/B=60°

・.・EF±AB

；"FEB=30。

:.FB=-BE

2

•••CD=B&ACLBC

AD=AB

又;ZB=60°

是等边三角形

・•.BD=AD=4

•・•£为线段口的中点，

EC=-CD=-BD=\

24

：.EB=3

在Rt/\EFB中

r-i-y=%

EF=dEB2-FB22

1=%

:.EP+的最小值2

如图，

PN=-AP

过点8作于M,过点P作PN_LR8于N,则2

BP+PN=BP+-AP>BN

则2

„BP+-AP

当D三点共线时，2取得最小值，即28P+/P取得最小值

BP+>AP

即此时重合，2=BM

•刃48。是等边三角形，BM1.AD

NABD=60°

29

第29页共42页

NDBM=、ZABD=30。

2

DM=-BD=2

在A/08DM中，80=4.2

BM=273

BP+-APcr-

即2最小值为2J3

.•.28P+/尸的最小值为46

2出AA

故答案为：2;4J3

【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,线段和的最小值,转化

-AP

2是解题的关键.

23.10

【分析】

作/点关于x轴的对称点/,连接6与x轴交于点P,连接AP,则/6即为所求.

【详解】

解:作力点关于%轴的对称点,连接4'6与x轴交于点P,连接AP,

,JAP^AP,

：.AP^BP=AP^BP=AB,此时〃点到/、8的距离最小，

V71(0,3),

：.A'(0,-3),

•；6(6,5),

5-(-3)=8,6-0=6

.•.44正+62=10)

.•，点到力、6的距离最小值为10,

故答案为：10.

【点拨】本题考查轴对称求最短距离,熟练掌握轴对称求最短距离的方法,会根据两点坐标

求两点间距离是解题的关键.

24.40-1##

30

第30页共42页

【分析】

证明△蜀金△即可得BN==1,再根据三角形三边关系得出当点“落在线段46上时,

4N最小，求出最小值即可.

【详解】

解：•.•线段CN绕点，顺时针旋转90°得到线段CN,

:.MC=NC,NMCN=90。,

“CB=90〉C=8C=4,

...ZACM=NBCN,AB=Uc'BC?=4五

.•.△4S△%

:.BN=4M=1,

•/ANNAB-BN=4应-1

・•・"N的最小值为4夜-1；

故答案为：4及-1.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,解题关键是证明三角形全等,得出

BN=AM=\t根据三角形三边关系取得最小值.

25.J185160

【分析】

作点A关于直线版V的对称点A,,连接交直线