2022年福建省南平市高考数学第三次质检试卷（附答案详解）

2022年福建省南平市高考数学第三次质检试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.()分)

1.已知复数z=2+W，则复数z的虚部为()

A.B.|C.|D.Y

2.设集合4={x|-lWxW3},集合8={x|x?a},若4UB,则a的取值范围为()

A.a>3B.-1<a<3C.a>-1D.a<-1

3.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的

是()

A.至多一枚硬币正面朝上B.只有一枚硬币正面朝上

C.两枚硬币反面朝上D.两枚硬币正面朝上

4.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为

鳖嚅.如图，在正方体4BC。一41B1G5中，当E分别与

当，G，劣重合时，所形成的四面体E-BCO中鳖孺共有

()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5.在单位圆中，已知角a的终边与单位圆交于点P(14),现将角a的终边按逆时针方

向旋转会记此时角a的终边与单位圆交于点Q,则点Q的坐标为()

A.(一今》B.C.(1,0)D.(0,1)

6.在△ABC中，若tan(A+B)=-&，则tcm2c=()

A.-2V2B.--2C.V2D.2V2

7.若点4(t,et)(t丰0)是抛物线y2=2Px(p>0)上一点，点4到该抛物线焦点的距离

为6,则p=()

A.1B.2C.3D.4

8.对任意的与，x2G(1,3],当Xi<%2时，/一工2-三也光>0恒成立，则实数a的取

值范围是()

A.[3,+8)B.(3,+8)C.[9,+8)D.(9,+oo)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者H常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈

率为20%,中年患者治愈率为30%,青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年

患者，500名中年患者，400名青年患者，则()

A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人

B.该医院青年患者所占的频率为2

C.该医院的平均治愈率为28.7%

D.该医院的平均治愈率为31.3%

10.已知函数f(x)=sinQ)x+9)(3>0,\<p\<今的任意两条对称轴间的最小距离为去

函数g(x)=/(》)+之广(无)的图象关于原点对称，则()

A.函数f(x)在C")单调递减

B.\/x1,x2eR,|/(«!)-g3)lW1+鱼

C.把g(x)的图象向右平移三个单位即可得到f(x)的图象

D.若f(x)在［0,a)上有且仅有一个极值点，则a的取值范围为偌，引

11.已知双曲线C的方程为邕―，=l(a>>0),Fi，F2分别为双曲线C的左、右焦

点，过尸2且与x轴垂直的直线交双曲线C于M,N两点，又|MN|=8a,则()

A.双曲线C的渐近线方程为y=±2%

B.双曲线C的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方

C.双曲线C的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列

D.双曲线C上存在点P,满足|PF/=3|PF?|

12.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点4(冷％),

其中i=1,2,3,…，九,…且%GZ,记an=%n+yn，

如/式1,0)记为由=1，42(L—1)记为g2=

♦(OLI)记为。3=一1，…，以此类推；设数列｛an｝的

前n项和为先.则()

A.。2022=42

B.S2022=-87

C.。8九=2八

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D.S4„z+5n=干

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.计算：log2sin^=.

14.已知P(m,n)为圆C：(x-1产+(y-1产=1上任意一点，则普的最大值为.

15.已知函数/■(无)=e*-a+9ear+/一4x-2有零点，则实数a=.

16.四面体A8CD中，AB1BC,CD1BC,BC=4,且异面直线AB与CD所成的角为60。.

若四面体ABCD的外接球半径为V5,则四面体ABCD的体积的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在①(a+b)(sin4—sinB)=(c—b)sinC；@2b—c—2acosC-0：(3)cos2B+

cos?。+sinBsinC=1+cos24这三个条件中任选—补充在下面的问题中，并

解答问题.

在A4BC中，角4、8、C所对的边分别是a、b、c,.

(1)求角A;

(2)若AC=2,BC=2百，点D在线段AB匕且△4CD与△BCD的面积比为3：5,

求C。的长.

18.已知数列｛即｝满足即=1,篝=彳.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若｛4｝满足=2an-24,b2n_x=2an-22.设立为数列｛时｝的前n项和，求S?。.

19.南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十

七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通

识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参

训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X近似于服从正态分布N(出11.52),

〃近似为这100人测试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),

①求〃的值；

②利用该正态分布，求P(75.5<X<87).

(2)在(1)的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案；

①测试成绩不低于〃的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于4的可以获赠1次随机

话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额(元)1030

31

概率

44

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为我单位：元

)，试根据样本估计总体的思想，求f的分布列与数学期望.

参考数据与公式：若X〜NO，/),则P(>-b<X=0.6826,P(N-。<

XW〃+。)=0.6826,PQL—2a<X<p,+2a)=0.9544,P(ji—3a<X<[i+

3a)=0.9974.

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20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,Z.PBA=乙PBC.

(1)证明：4。1平面「3。；

(2)若M为棱PD上的点，PM=2MD,且二面角P-AB-C的余弦值为争求直线PC

与平面ACM所成角的正弦值.

21.已知椭圆C：盘+2=l(a>b>0),Fi，F2分别为椭圆C的左、右焦焦距为4.过右焦

点尸2且与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于M，N两点,已知的周长为4遍,

点M关于x轴的对称点为P,直线PN交x轴于点Q.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求四边形M&NQ面积的最大值.

已知函数/'(x)=?+lnx-

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若;<m<A求证：函数g(x)=1■+三e-段有两个零点，x2,且^+g>2e.

4e/lnxmx±x2

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=2+会=2+?=£-9,

则复数z的虚部为-

故选：A.

由复数的运算，结合复数的概念求解即可.

本题考查了复数的运算，重点考查了复数的概念，属基础题.

2.【答案】D

【解析】解：•••集合a={x|-1<x<3},集合B={x\x>a},且A£B,

■■a<-1,

故选：D.

由包含关系建立不等式得解.

本题考查集合的关系，属基础题.

3.【答案】C

【解析】解：事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是：两枚硬币反面朝上.

故选：C.

直接利用对立事件的定义求出结果.

本题考查的知识要点：对立事件的定理，主要考查学生对定义的理解，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：如图，当E与41重合时，由题意得EB=ED=BD,

.•.△EBO是等边三角形，此时四面体E-BCD不是鳖嚅;

当E与反重合时，由题意得AEBC、ABC。是直角三角形,

又EB1面ZBCD,BDu面ZBCD,：•EB1BD,

・•.△EBD是直角三角形，同理△ECD是直角三角形，此时四面体E-BCD是鳖膈:

当E与G重合时，由题意得EB=ED=BD,

•••△EBD是等边三角形，此时四面体E-BCD不是鳖席；

当E与2重合时，由题意得AECD,ABC。为直角三角形,

又EDJ•面4BC0,BDu面4BCD,EDLBD,

.•.△EBD是直角三角形，同理AEBC是直角三角形，此时四面体E-8CD是鳖席.

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综上，当E分别与Bi，C[,名重合时，所形成的四面体E—BCD中鳖孺共有2个.

故选：B.

当E与G重合时，由AEBO为等边三角形即可判断四面体不是鳖席；当E与％。1重

合时，证明四个面均为直角三角形即可.

本题考查四面体E-BCD是否为鳖孺的判断，考查鳖孺定义、线面垂直的判定与性质等

基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.【答案】B

【解析】解：••・在单位圆中，已知角a的终边与单位圆交于点PG，?),

.•.sina=f，cosa，

将角a的终边按逆时针方向旋转会此时角为a+泉

则点Q的横坐标为％=cos(a+-)=cosacos--sinasin-=-xi-—x—=--：

v373322222

点Q的纵坐标y=sin(a+$=sinacos^+cosasin=yx|+|xy=y,

则点Q的坐标为(一!净.

故选：B.

根据三角函数的定义，得到将角a的终边按逆时针方向旋转E对应的角的大小，利用两角

和差的余弦公式进行求解即可.

本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义结合两角和差的余弦公式是解决

本题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：因为4+B+C=TT,且tan(4+B)=—企，

所以tanC=V2>

所以tan2c=2tanC,=—=-2V2.

l-tan2C1-2

故选：A.

先结合三角形的内角和定理与诱导公式可得tanC=&，再由二倍角公式，得解.

本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查运

算求解能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：因为/(,加£)«H0)是抛物线y?=2px(j)>0)上一点，所以2/=2Pt即

t=p,

设抛物线的焦点为凡由抛物线的焦半径公式可得：+9=£+：=6,

解得：p=4.

故选：D.

首先根据点在曲线上得到t=p,再根据抛物线的焦半径公式得到AF=t+：=6,联立

两个方程即可求出答案.

本题考查了抛物线的焦半径公式，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：对任意的&6(1,3］,当与<%2时，一*2->0恒成立，

-

:.一三/九％1>%2tnx2,

令f(x)=x-^lnx,由题意得f(x)在(1,3］上单调递减，

•••/=1-^<0,a>3x在(1,3］上恒成立，

••a>9.

・•・实数a的取值范围是［9,+8).

故选：C.

化简不等式后构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解.

本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中

档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：对于4,由分层抽样可得，老年患者应抽取于…=12人,故A

正确;

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对于B,青年患者所占的频率与就诉=看故B正确;

600x20%+500x30%+400x40%

对于CD,平均治愈率为28.7%,故C正确，£>错误.

600+500+400

故选：ABC.

由分层抽样即可判断4直接计算频率即可判断B；直接计算平均冶愈率即可判断CD.

本题考查命题真假的判断，考查分层抽样、频率、平均数等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：由函数/(久)=sin(3X+@)(3>0,|如<今的任意两条对称轴间的最小距

离为今

则工=工，即名=7T,即回=2,

223

又。(％)=f(x)+=sin(2x+a)+cos(2x+w)=V2sin(2x+9+力，

又函数g(%)的图象关于原点对称，则

又⑷I4,

则0=一%

即f(%)=sin(2%—W),g(%)=y/2sin2xy

对于选项A,由2/czr+2W2%—g工2/czr+警，解得/CTT+当W%工+?,kGZ,即

24288

函数的减区间为出兀+詈,+第，k&Z,G㈤不包含于%兀+詈,而+福，kez,

即选项A错误；

对于选项B,l/CXi)-5(X2)|<f(X)max+5Wmax=1+V2,即选项2正确；

对于选项C,把g(x)的图象向右平移三个单位所得图象的解析式为h(x)=V2sin(2x-=),

即选项C错误；

对于选项。，令2X-"/OT+，则x=^+萼，kEZ,又/(乃在［0,a)上有且仅有一

4乙28

任VQ

m",即a的取值范围为(警,与，即选项。正确，

(—>a88

故选：BD.

由三角函数图象的变换，结合三角函数解析式的求法逐一判断即可得解.

本题考查了三角函数图象的变换，重点考查了三角函数解析式的求法，属中档题.

11.【答案】AB

【解析】解：双曲线C的方程为捺一,=19>0/>0),令x=c,得'=±?，

\MN\=^=8a,即b=2a,可得双曲线C的渐近线方程为y=±2x,故A正确；

双曲线C的渐近线方程为丫=±2x,由对称性，不妨取右顶点(a,0),右焦点(c,0),

则顶点到两条渐近线的距离乘积为嵋•螳=华|,

Vl+4V1+45'

焦点到两渐近线距离的平方为(管)2=(，

vb=2a,c2=a2+b2=5a2,可得手=告*5,故B正确；

(2b)2=(4a)2=16a2,2a-2c=4V5a2>显然(2b)2h2a,2c,故C错误：

若|PFi|=3|PFzl，由双曲线的定义，得|PFi|-|PFz|=2|PF2|=2a,

解得IPF2I=a<(遍一l)a=c—a，故不存在点P,满足仍居|=3|PF?|,故。错误.

故选：AB.

由已知结合双曲线的通径长求得渐近线方程判断4由点到直线的距离公式分析B；由

等比数列的性质判断C；由已知结合双曲线定义求得|PFz|判断D.

本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义、点到直线距离公式的应用，考查运算求

解能力，是中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由题，第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点,由对称性可知58=%+a2+…

+。8=0，

第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，

由对称性可知S24—58=。9+上10+…+@24=0，即$24=

以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和为0,即58X创型=S4n2+4n=°,

2

设。2022在第々圈，则8+16+…+8k=空瞥=4k(k+1),

由此可知前22圈共有2024个数，故S2024=0,

则$2022=S2024-(a2024+a2023),(^2024所成点的坐标为(22,22),

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则02022=20+22=42,故A正确；

52022=$2024一（a2024+。2023）=。一（44+43）=-87,故B正确；

所在点的坐标为OU），则。8=1+1=2，

%6所在点的坐标为（一2,-2）,则由6=-2-2=—4,故。错误；

*^4n2+5n=,^4n2+5n-^4n2+4n=a4n2+4n+l+a4n2+4n+2+…~^"a4n2+5n,

对应点的坐标为（几+l,n）,（几+Ln-l）,…，（几+1,1）,

•**S4n2+5n=（九+1+几）+（荏+1+九-1）+…+（九+1+1）=（2.71+1）+211+…

+（„+2）=先上手3=誓1,故。正确.

故选：ABD.

由图观察可知第n圈的8n个点对应的这8n项的和为0,则S4n可乐=。，同时第n圈的最后

一个点对应坐标为（n,n）,设。2022在第卜圈，则k圈共有4k（k+1）个数，可判断前22圈

共有2024个数,&2024所在点的坐标为（22,22）,向前推导，则可判断4B选项；当n=2时，

%6所在点的坐标为（-2,-2）,即可判断C；借助S4nz与图可求出n项之和，由此能判

断D.

本题考查观察图形，利用对称法求解问题，考查前n项和与所求对应点坐标的关系，结

合图形规律，考查运算求解能力，是中档题.

13.【答案】一9

【解析】解：，ogzsin：==一手

故答案为：—

利用三角函数、对数函数的性质直接求解.

本题考查对数的运算，考查三角函数、对数函数的性质等基础知识,考查运算求解能力，

是基础题.

14.【答案】匡

3

【解析】解：根据题意，设卜=热，变形可得n-l=k（m+l）,则照即k的几何意

义为直线y-1=+1）的斜率，

2（由透）为圆。：0-1）2+3-1）2=1上任意一点，则有d«r=l,即与送;〈1,

解可得：一出Wks且，即k的最大值为追；

333

故答案为：立.

3

根据题意，设卜=三，变形分析k的几何意义，结合点与圆的位置关系分析可得答案.

m+1

本题考查直线与圆的位置关系，涉及斜率的计算，属于基础题.

15.【答案】2—，n3

【解析】解：由蜻-a>0,可得靖-a+9ea-x=蜻-a+，_>21x-a・一2—=6，

ex~a-qex~a

当且仅当婚一。=嚷时取等，

e”u

又/—4%—2=(x—2)2—6>—6,当且仅当％=2时取等，

故f(%)=eX~a+4-x2—4x-2>6+(-6)=0,

当且仅当/-a=3,X=2时取等，

要使函数有零点，则/-a=总且X=2,

化简得e2-。=3,解得。=2-仇3.

故答案为：2—ln3.

先由基本不等式求得婚一。+90。-％N6,再由二次函数求得产一4%-22-6,要使函

数有零点，必须同时取等，即靖-。=急，X=2时取等，解方程即可.

本题考查了函数零点判定定理，属于中档题.

16.【答案】V3

【解析】解：由4B1BC,CD1BC,BC=4,且异面直线AB

与CD所成的角为60。构建直三棱柱ABE-FCD,

由BE//C。得ZJ1BE=60°,

易得四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，

CDF,△ABE的外心H,G,易得HG的中点。即为球心,

又OB=近,GO=3HG=2,

则BG=V5-4=1,由正弦定理得4E=2BG-sin60°=W,

又匕-BCD=VA-BDE=VD-ABE=\DE-\BA-BE-sm^ABE=^BA-BE,

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又由余弦定理得力E2=BA2+BE2-2BA-BE-cosp

即3=BA2+BE2-BA-BE>2BA•BE—BA•BE=BA-BE,

当且仅当B4=BE时取等，故BABE的最大值为3,

四面体4BCD的体积的最大值为3Xy=V3.

故答案为：V3.

构建直三棱柱4BE-FCD,找出球心及底面外心，结合正弦定理求得4E,由匕_BCD=

VA.BDE=匕马”表示出体积，再结合余弦定理及基本不等式求出最大值.

本题考查了正弦定理，余弦定理和基本不等式的综合应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)选①，因为(a+-sinB)=(c-b)sinC,

由正弦定理，得(a+b)(a-b)=(c—b)c,所以炉+c?-a?=be,

所以cosA=''+c=-,AG(0,7T),

2bc2\，/

故4话；

选②，因为2b-c-2acosC=0,

由正弦定理可得22s讥8—2sinAcosC=sinC>

所以，sinC=2sin(A+C)-2sinAcosC=2cosAsinCf

因为。e(O.TT),贝ijs讥C>0,可得cos4=I，

又4e(0,71),故力=p

选③，vCOS2F+cos2C4-sinBsinC=1+cos2>l,

则2—sin2B—sin2c+sinBsinC=2—sin27l,即siMB+sin2c—sin2i4=sinBsinC,

由正弦定理可得力2+一@2=be,

由余弦定理可得cosA=两厂=工，

2bc2

又4G(0,7r),故4=全

(2)在△ABC中，由余弦定理得BC2=/152+AC2_2AB.AC.cosAt

因为AC=2,BC=2y/3,A=g,

所以12=AB2+4-4XABXcosp

解得力B=4或4B=-2(舍)，

因为△AC。与ABC。面积比为3：5,所以40=|,

在三角形4CC中，由余弦定理得CZ)2=AD2+AC2-2AD-AC-cosA=22+(|)2-2X

3n13

2nX-COS-=—

234

即

【解析】(1)若选①，由正弦定理，得b2+c2—a2=bc,再由余弦定理即可求出角4

若选②，由正弦定理得sinC=2cosAsinC,解得cosA=5即可求出角4；

若选③，先由平方关系得siMB+sin2c—sinBsinC=siMa,再由正弦定理得/+c2—

be=a2,再由余弦定理即可求出角A；

(2)在△力BC中，由余弦定理求得4B,由△ACD与△BCD的面积比求得力D,再在△4CD中

由余弦定理求得CD即可.

本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

18.【答案】解：⑴当n岂2时，由罗=手，可得借号潦=|,……，詈=六，

''anna11a22^n-in—1

所以an=lx|x|-x-^=n,

1Z71-1

当九=1时，啰=1适合上式，从而an=n.

(2)由已知得b2n=271—24,所以当n为偶数时，bn=n-24,

又Z?2nT=2n-22=(2n-1)-21,

所以当n为奇数时，bn=n-21,

,(n-21,n为奇数

所rrr以I勾=\,

卜一24,几为偶数

520=瓦+12+b3T-------卜匕20=(瓦+b3T-------卜瓦9)+(82+方4+…+^20)

=[(-20)x10++[(-22)X10+皆；咯=(-200+90)+(-220+

90)=-240.

【解析】(1)利用累乘法即可求解；

(2)由条件求得%=『一21中为奇数，利用并项法求和即可求解.

本题考查了由数列的递推式求通项公式以及分组求和，属于中档题.

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19.【答案】解：(1)①由题意得：M=55x0.1+65x0.2+75x0.4+85x0.15+95x

0.15=75.5.

②”ye=75.5,o=11.5,

P(75.5<X<87)==0.3413.

(2)由题意知P(X<〃)=P(X>M)=I，

所获赠话费f的可能取值为10，20,30,40,60,

P(f=10)=；x泻,

P(f=20)=9]x,=*

P(f=30)=洛号,

pn/qL=40)=-1x-3x-14.-1-x-1x-3=—3,

724424416

P(f=60)=-x-x-=—,

724432

・・・f的分布列为：

1020304060

39131

p

83281632

...£«)=10x|+20x^+30xl+40x^+60x±=f.

【解析】(1)①结合平均数公式，即可求解.②结合正态分布的对称性，即可求解.

(2)由题意知P(X<〃)=P(X>^)=I，所获赠话费f的可能取值为10,20,30,40,60,

分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解.

本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.

20.【答案】证明：(1)因为底面4BCO是边长为2的正方形，所以4C1B0,

由4B=BC,APBA=Z.PBC,PB=PB可得△PAB三△PCB,

从而PA=PC,

设4c与2。相交于点。，在APAC中，由PA=PC及OA=Of,

可得AC1PO,

又BDCPO=0,BD,POu平面PBD,

从而4c1平面PBD；

解：(2)取ZB的中点为N,易得AB1PNS.AB1ON,

从而NPN。为二面角P-AB-C的平面角，

依题意有coszPNO=—1

3

因为P4=PB,AO=BO,PO=PO,

所以△PA。三APBO,所以Z_POA=4POB=90°,故POJ.BD,

又ACn8D=。，因此P。J•平面ABCD,所以P。d.ON,

在Rt△PNO中，cos乙PNO="=上=更,

PNPN3

解得PN=V3,P0=V2.

以点。为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系。-xyz,

C(0,V2,0)，/1(0,-V2,0)，D(-A/2,0,0).P(0,0,V2)-PC=(0,V2,-V2).ZC=(0,272,0)，

AM=AP+PM=AP+|PD=(0,V2,V2)4-(-^,0,-^)=(-苧，&净，

r—~AT—n(2\[2y=0

设平面4cM的法向量为元=(%,y,z),则0也二°,即2池二在，

m-AM=0—x+y/2y+—z=0

取％=1,可得元=(1,0,2),

设所求的直线PC与平面ACM所成角为仇则sin。=\cos(PC,n)\=|嵩:；]|=?，

因此，所求的正弦值为叵.

S

【解析】(1)由正方形的性质可知ac1BD,易证△PAB=△PCB,则24=PC,设ACn

BD=O,连接PO,结合等腰三角形性质可知P。14C,即可得证；

(2)取4B中点为N,可知NPN。为二面角P-AB-C的平面角，易得^PAOWAPBO,进

而可得P。J_平面ABC。，即PO1ON,在RtAPN。中可得PN=g,P0=夜，以点。为

原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-孙z,设平

面力CM的法向量为元，设所求的直线PC与平面4cM所成角为。，则sin。=|cos<PC,n>

I，即可求解.

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本题考查了线面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.

21.【答案】解：(l)AMNFi的周长为4遍，由椭圆定义得4Q=4病，即口=遍.

又焦距2c=4,得c=2,

所以b=Va2—c2=1,

2

所以椭圆C的方程为^"+'2=1.

(2)设直线I的方程为x=my+2(m*0).

联立得On?+5)y2+4my—1=0.

设MQi，%),N(x2,y-^.

则%+丫2=一熟，％'2=一高，

点P(xi，-yi),直线PN的方程为y+yi=摹言。一%1),

经S=W中辿3=迎*+2=型率+2=:

令y=0得:

%+为yz+yi外+为~*m^+s2

即Q(|,0).

19/，---------------------

所以S四边形M&NQ=5仗1一丫2|俨1<?1=w(71+丫2)2-4丫02

9VsVm2+1WS______1______W5

2m2+S2Vm2+1+.\~8

Vm2+1

当且仅当后E=孤言时即m=土旧时等号成立.

所以四边形M&NQ面积的最大值为州.

8

【解析】(1)由4MNFi的周长求出a,再由焦距求得c,进而求出b,即得出椭圆C的方程；

(2)设直线I的方程为x=my+2(mw0),联立直线与椭圆的方程可得：+y2=

-^(yiy2=表示出直线PN的方程求出Q©,0),利用弦长公式可得

S四边形M&NQ=沿17211&<?1=讨仇+丫2)2-4yly2,结合基本不等式求最大值即可.

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.

22.【答案】(1)解：定义域为(0,+8),尸(%)=_1+)=詈

当?nW0时,3(%)>0,“X)在(0,+8)上单调递增；

当相>0时，由((%)==0得％=m,

当Ov%vm时,f(x)<0,/(%)单调递减,

当%>m时,/'(%)>0,/(%)单调递增;

综上：当？nW0时，/(%)在(0,+