高等数学教案

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第一章函数、极限与与连续

本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论

极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间

上连续函数的性质。具体的要求如下：

1.理解极限的概念（理解极限的描述性定义，对极限

的？?N、？?？定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出？

求N或？不作过高要求）。

2.掌握极限四则运算法则。

3.了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用

两个重要极限求极限。

4.了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运

用等价无穷小求极限。

5.理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函

数的概念。

6.了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的

类型。

7.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最

大、最小值定理、零点定理、介值定理）。

第一章共12学时，课时安排如下

绪论§1.1、函数§1.2初等函数2课时§1.4数列极

限及其运算法则2课时§1.4函数极限及其运算法则2课

时§1.4两个重要极限无穷小与无穷大2课时§1.4

函数的连续性2课时

第一章习题课

2课时绪论

数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是

研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象

性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于

微积分的评价：

恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积

分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果

在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就

正是这里。

华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球

之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方

法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作

用。？?有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微

积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的

社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的

直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次

浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学

与文化2001.1.封二）

初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题

常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多

问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的

辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的

一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际

问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

本学期教学内容：第一章函数、极限与连续

第二章导数与微分

第三章导数学的应用

第四章不定积分

参考书：高等数学（同济大学应用数学系主编第五版）《数

学分析》武汉大学数学系编电子阅览室（网络）

高等数学精品课程

学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习）,

积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，

熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所

学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数

学适应体系。

第一节函数、第二节初等函数

1.掌握区间、邻域的概念。

2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应

用问题的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。

5.掌握基本初等函数的性质及其图形。

一.邻域U(a,?)?(a??,a??)»以a为中心的？邻域

U(a,?)?(a??,a)?(a,a??)，以a为中心的去心？邻域

.函数:

定义1设X和y是两个变量，D是一个数集。如果对于D

中的每一个x,按照某个对应法则f,y都有确定的值和它对

应，那么称y为定义在数集D上的x的函数，记作?y?f(x)。

x叫做自变量，y叫做因变量，，数集D叫做函数的定义域。

y为因变量的函数也可表示为y??(x),y?F(x),y?y(x),??

函数的两个要素：对应法则、定义域。

三.分段函数

1.y?f(x)??3?x,x?0,x?0称为“分界点”。4?5x,x?0.

?l,x?0?2.符号函数y?sgnx??O,x?O

??l,x?O?

3.取整函数:不超过x的最大整数,记做:y?[x],如：[3.1]?3,

L?3.1]??4O

四.反函数的定义：设有函数y?f(x),其定义域D,值域为W,

如果对于W中的每一个y

值，都可以从关系式y?f(x),确定唯一的x值(x?D)与之对

应，这样所确定的以y为自变量的函数x??(y)或x?f?l(y)

叫做函数y?f(x)的反函数，它对定义域为W,值域为D。

习惯上，函数的自变量都用x表示，所以反函数通常表示为

y?f

五.函数的几种特性

1.有界性：设y?f(x),定义域为D,?x?D,?M?0,恒有f(x)?Mo

则称函数在D上有界。否则称函数在D上无界。例如：函

数f(x)??l(x).1,在［1,??)内有界；在(0,1)内无界。x

2.单调性：设y?f(x),定义域为D,?xl,x2?D,当xl?x2

时？f(xl)?f(x2),单调递增；当xl?x2时？f(xl)?f(x2),单

调递减。单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。

3.奇偶性：偶函数f(?x)?f(x),

奇函数f(?x)??f(x)o

4.周期性：周期函数?x?D,x?T?D,f(x?T)?f(x)

?l,x为有理数例1.狄里克莱函数

y?D(x)??o狄里克莱函数是周期函数，但它没有最0,x为无

理数？

小正周期。

?l,x?0?2.符号函数y?sgnx??O,x?O

??l,x?O?

六.复合函数

定义如果y是u的函数y?f(u),而u是x的函数u??(x),

且？(x)的值全部或部分地落在y?f(u)的定义域内，那么y通

过u的联系也是x发函数。称这个函数是由y?f(u)及u??(x)

复合而成的，称为复合函数，记作y?f[?(x)],其中u叫做

中间变量。

注：设y?f(u)、u??(x),如果u??(x)的值部分地落在y?f(u)

的定义域内，则复合函数y?f[?(x)]的定义域是u??(x)的定

义域的子集；如果u??(x)的值全部落在y?f(u)的定义域内，

则复合函数y?f[?(x)]的定义域与u??(x)的定义域相同。如

果u??(x)的值全部落在y?f(u)的定义域外，则不能构成复

合函数。

例3.将下列函数“分解”成“简单”的函数：

y?sinx2,y?sin2x,y?arctanex

七.基本初等函数与初等函数:

1、常数函数y?C(C为常数)

2、嘉函数y?x?(?为实常数)

3、指数函数y?ax(a?O,a?l,a为常数)

4、对数函数y?logax(a?0,a?l,a为常数)

5三角函数

y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx,y?secx,y?cscx

6反三角函数：

y?arcsinx,y?arccosx,y?arctanx,y?arccotx

初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复

合步骤所构成，并且可以用一个式子表示的函数叫做初等

函数。

A.双曲函数与反双曲函数

ex?e?xex?e?xex?e?x

y?shx?,y?chx?,y?thx?xo22e?e?x

作业P20~21习题2(3)、(4)、(6)；5；7O

第四节

数列的极限

数列极限的定义

数列的定义：数列实质上是整标函数xn?f(n),n?正整数集

N

(i)xn?

1111

：1,,,?,,??0n23n

14(?l)n?l(?l)n?l

(ii)xn?l?：2,,,?,1+,??1

23nn

1

：要使xn?<；0.01,只要n>；100；n

确定xn??

要使xn?<；0.0001,只要n>；10000；

要使xn?<；?,只要n>；［

1:0?

n?l

(iii)xn?(?l)n?l：1,-1,1,?,(?1)

,??不存在

数列极限描述性定义(P27)：如果当n无限增大时，数列？xn?

无限接近于一个确定的常数a,那么a就叫做数列？xn?的极

限，或称数列？xn?收敛于a,记作

limxn?a或当n??时，xn?a.

n??

数列极限的定义：如果存在常数a,使得对于任意给定的正

数？(无论它多么小)，总存在

正整数N,只要n?N,绝对值不等式xn?a<；?恒成立，则称

数列｛xn｝以常数a为极限，记为limxn=a

(或xn?a,n??)o

n??

???0,?N?0,数列极限的分析(？?N)定义：

设a?R,当n?Nxn?a??

恒成立，则将数列｛xn｝以常数a为极限，记为limxn=a(或

xn?a,n??)o

n??

143n?(?l)n?l

例1.证明数列2,,,,?,,?的极限是1。

234n

n?(?l)n?ln?(?l)n?lll

?1—<；?,只证：［分析］令xn,记a=l,

要使xn?a=

nnnn

要

1?1?

>；?,取N=??。n???

n?(?l)n?l?l?

［证明］???0,?N???,当n>；N时，恒有？1??,故

?n??

n?(?l)n?l

li=lon??n

例2.若xn?

sinn

,证明：limxn?Oo2n??(n?l)

sinnsinnlll?O证：［分析］xn?a==<；<；,要使xn?a<；?,?

(n?l)2(n?l)2(n?l)2n?ln

只要n?

，取N=??,再放大

????

1

?1?

［证明］???0,?N?□，当n>；N时，

1

?

sinnsinn

?0??恒成立，故lim?O。22n??(n?l)(n?l)

2

n?l

例3.设q?l,证明数列：1,q,q,?,q

,?的极限是0。

n?ln?l

证：［分析］令xn?qn?l,记a=0,由于q?0=q=q

n?l

,要使xn?a??,只

要q

n?l

??

,只要

(n?l)lnq?ln?,只要nT?

ln?ln?

?1,取，只要n?

Inqlnq

?ln??N=??l?0???lnq?

?ln?［证明］???0,?N??

??lnq

oq?l时)

?n?l

qn?l=0(当？？1,当n>；N时，恒有q?0??,故limn??

??

例4.数列｛xn｝有界，又limyn?O,证明limxnyn=0。

n??

n??

证：？?M?0,对一切n均有xn?M,又????0,对于？1?

n??

?

M

?0,?N?0,

当n>；N时，恒有xnyn?0??,xnyn?Myn?M?l??,所以

limxnyn=Oo

收敛数列的性质

性质1(有界性)收敛数列一定有界。注：有界数列不不一

定收敛。

性质2(唯一性)如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。数

列极限的运算法则

如果limxn?a,limyn?b,那么

n??

n??

(1)lim(xn?yn)?limxn+limyn?a?b

n??

n??

n??

(2)1imxn?yn?limxn?limyn?a?b

n??

n??

n??

x

(3)limn?

n??yn

limxn

n??

limyn

n??

?

a

(b?0)b

特别地，如果C为常数，那么由(2)得

limCxn?limC?limxn?Ca

n??

n??

n??

无穷递缩等比数列的和(P30)

S?al?alq?alq2??alqn?l???

al

l?q

化循环小数为分数

例例29例3)

作业P32第2题⑴、(3)、(6)、(8)；第3题(3)、(4)；

第4题(2)

第五节函数的极限

一、当x??时函数y?f(x)极限

函数极限的描述性定义：设函数f(x)当|x|?a时有定义(a

为某个常数)，如果当自变量x的绝对值无限增大(记作X??)

时，其函数值f(x)无限接近于某确定的常数A,则称A为函

数f(x)当x??时的极限，记作

limf(x)?A或当x??时,f(x)?A

n??

函数在当x??时(？?X)定义:？??0,?X?0,当|x|?X时,f(x)?a??

恒成立，则称A为函数f(x)当x??时的极限，记作limf(x)?A

x??

注意：x?X?x?X或x??X

?Llimf(x)存在

?x????

limf(x)?a??2.limf(x)存在

x??x???

?

3.limf(x)?limf(x)?x????x???

二、当x?xO时函数y?数x)极限

x2?l

引例：f(x)?,当x?l时，f(x)?x?l,x?l时，f(x)?2

x?l

即limf(x)?2

x?l

研究：f(x)在点xO的某个去心邻域内有定义，当x?xO时，

f(x)?a

定义：如果存在常数a,使得对于任意给定的正数？(不论它

多么小)，总存在正数？，当0?x?x0??时,f(x)?a??恒成立，

记作limf(x)?ao

x?xO

???0,???0,当O?x?xO??时,f(x)?a??恒

成立。

例1.证明下列极限：(1)limC?C；(2)limx?xO；(3)

limsinx?Oo

x?xO

x?xO

x?0

证：(1)［分析］这里f(x)这?C?C?O,??0恒成立

［证明］???0,任取一个正数？,当O?x?xO??时,C?C?O??恒成

立，证之。

(2)［分析］由于f(x)?a?x?xO??,只要x?xO??,取？？?

［证明］???0,????,当O?x?xO??时，x?xO??恒成立，故limx?xO

x?xO

(3)［分析］由于f(x)?a?sinx?O?sinx,要使x?xO??,只要

???sinx??,只要？arcsin??x?arcsin?,即

O?x?O?arcsinrcsin?,取？？a?

???arcsin?,［证明］???0,当O?x??sinx?O??

恒成立，故limsinx?O

x?0

l?4x2

?2o例2.证明liml2x?lx??

2

证：［分析］x??

11

,X??,2x?l?022

l?4x2?4x?2?(2x?l)2

由于f(x)?a===2x?l

2x?12x?l

要使f(x)?a??,只要2x?l??,即2x?(?)??,只要x?

1

2?1?

取？？?,

222

I?4x21

?2??恒成立，证之。［证明］???0,???,

当0?x?(?)??时,

2x?122

?

例3.证明

x?0

x

XXX

证：［分析］由于f(x)?a?e?l,要使e?l??,只要l???e?l??,

只要

ln(l??)?x?ln(l??),1(1??)?x?O?nl(l??),即n

<??mninl(l??),nl(l??)?

［证明］???0,???minln(l??),ln(l??),当0?x?0??时，ex?l??

恒成立，证之。

左极限limf(x)?lim?f(x)?f(xO?O)

x?xO?O

x?xO

?

右极限limf(x)?lim?f(x)?f(xO?O)

x?xO?O

x?xO

?1.左极限存在

9

极限存在??2.右极限存在

?3.左极限?右极限？

??x,x?2

例4.当x?2时，讨论f(x)??的极限

x??e,x?2

三、极限的性质

?

?n??

?

limf(x)?具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类

似证明之。X??

?

limf(x)?x?xO?limxn

性质1.(唯一性)如果limf(x)存在，则极限唯一。

x?xO

证：反证法。

设limf(x)?a,limf(x)?b,且b?a。

x?xO

x?xO

???

b?a2b?a2

?0,??1?0,当O?x?xO??l时,有f(x)?a?

b?a2

*

9

???

?0,??2?0,当0?x?x0??2时,有f(x)?b?

b?a

o2

■??min{?l,?2},上面两式均成立，由

b?a?[f(x)?a]?[f(x)?b]?f(x)?a?f(x)?b?

b?ab?a

??b?a22

矛盾！

性质2.(局部有界性)：如果limf(x)存在，则在点xO的某

个去心邻域内，函数f(x)

x?xO

有界。证：令limf(x)=a,由定义，???0,(对于?=1),???0,

当x?U(xO,?),

x?xO

?

f(x)?a??,?f(x)?f(x)?a?a?f(x)?a?a???ao

推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。

性质3.(局部保号性)如果lim如x)?a且a?0(或a?0),则

在点xO的某个去心

x?xO

邻域内，函数f(x)?0(或f(x)?0)。

?a

证：不妨令a?0,取？？，???0,当x?U(xO,?)时，f(x)?a??,

2

aa

a???f(x)?a??,?f(x)?a???a???0o

22

性质4.(函数极限与数列极限的关系)设limf(x)存在，设?xn?

是函数f(x)的定义

x?xO

域内任一收敛于xO的数列，且满足：xn?xO(n?N),那么相

应的函数值数列f(xn)必收敛,且limf(xn)?limf(x)。

n??

x?xO

证：设limf(x)?A,???O,???O,当x?U(xO,?),恒有f(x)?A??,

即

x?xO

?

f(x)?U(A,?)O

?

由于limxn?xO,故知数列？xn?只有有限多项在U(xO,?)之外,

从而数列？f(xn)?只

n??

有有限多项在U(A,?)之外，根据数列极限的定义得

?

1imf(xn)?A?limf(x)

n??

x?xO

例1数列｛(?D

n?l

｝是发散的。为什么？

例2证明当x?0时，sin

?

没有极限。X

l??x??O,limsin?O?nnn??xn?

证：取两个收敛于0的数列：？1?

t??0,limsin?l?nn??tn

2n???2

limf(xn)?O???n??

,所以limsin不存

在。?limf(tn)?l?x?Oxn???

例3对于数列？xn?,若x2k?l?a(k??),x2k?a(k??),证明

xn?a(n??)

证：???0,?N1?O,当2k?l?2Nl?l时,x2k?l?a??

???0,?N2?0,当2k?2N2时,x2k?a??

2N1?1,2N2},当n?N时,恒有xn?a??,即????0,?N?max{

limxn?a

n??

作业：P38T1(1)、92)(3)、(7)、(8)oT50

第六节.函数极限的运算法则、两个重要极限

一、函数极限的四则运算法则

定理1：设limf(x)?A,limg(x)?Bo则

(1)1im[f(x)?g(x)]?A?B?1imf(x)?1img(x)；

(2)lim[f(x)?g(x)]?A?B?1imf(x)?limg(x)；

(3)当b?0时，lim

f(x)Alimf(x)

??og(x)Blimg(x)

推论1、常数因子可以提到极限符号外面去,

(x)]?Climf(x).

推论2如果limf(x)存在,则

)lim[f(x)]k?[limf(x)]k(k为自然数

注：上述法则对于x??时的情形也是成立的。例1.求下列

极限：

(1)lim

x?4

x??4x2?16

(2)lim

x?l

2x?3

x2?5x?4

例2.求下列极限：

3x3?4x?23x2?4x?23x3?4x?2

(1)lim3；(2)lim3；(3)limo

x??7x?x2?3x?lx??7x?x2?3x?lx??7x2?3x?l

例3.设a?0,求lim

x?a

x?a

3

x?a

o

解：

x?a

(x?a)?(x?a)2(x?a)?(x?a)2

??

22x?ax?a(x?a)(x?ax?a)(x?a)2

2

?

(x?ax?a)

2

?0

二、极限存在准则

准则I如果数列？xn?、？yn?、？zn?满足下列条件:

,),(1)yn?xn?zn(n?l,2?

(2)limyn?a,limzn?a

n??

n??

那么数列？xn?的极限存在，且limxn?a.o

n??

准则n单调有界数列必有极限。

第一个重要极限：lim

sinx

?1.

x?Ox

例1求下列极限：（1）lim

x?0

tanxl?cosx

；(2)lim?lim2x?0x?0xx

2sin2

x

sinmx；lim(3)。2x?0sinlxx

例2求lim

arcsinx

o

x?0x

x

?1?

第二个重要极限：lim?l???e

x??

?x?

例3求下列极限(1)lim(l?x)；(2)lim(l?)；(3)lim(l?)0

x?0x??x??lx2xx3

xx

例4?x?l?求极限lim??.x??x?l??x

作业:P43T1(1)、(3)、(5)、(7)0T2(2)(4)、(6)。T

(1)、(2)o

第七节、无穷小与无穷大

一、无穷小

1、无穷小的定义

定义：以0为极限的函数(变量)，称为无穷小量。

定理：在自变量同一变化过程中，函数f(x)有极限A的充分

必要条件是f(x)?A??(x),其中？(x)是无穷小量。

2、无穷小的性质

性质1、有限个无穷小量之和是无穷小量；

证：(1)设lim?(x)?O,lim?(x)?Ox?xOx?xO

???0,??1?0,当O?x?xO??l时,?(x)??

2

???0,??2?0,当0?x?x0??2时，?(x)??

2

取？?min??l,?2?,当取lt；x?xO??时,?(x)??(x)?

性质2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。

性质3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。

?2??2??

推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。

例1.求limxsinx?01。x

二、无穷大

1、无穷大的定义

定义2、如果当x?xO(x??)时,函数f(x)的绝对值无限增大,

那么称f(x)为当x?xO(x??)时的无穷大量，简称无穷大，记

为

limf(x)??(limf(x)??)x?xOx??

定义2?M?0(不论它多么大)，???0,当O?x?xO??时，恒

有f(x)?M,记作limf(x)??x?xO

2、无穷大与无穷小的关系

定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)是无穷大量，则

1是无穷小量；反之，f(x)

若f(x)是无穷小量，且f(x)?O,则1是无穷大量。f(x)

三、无穷小的比较sinxx22x32x22?l?0,lim2??,Iim2?,

lim引入1imx?0x?02xx?0xx?03xx3

定义：在自变量同一变化过程中，如果？，？均为无穷小量，

若

1.lim??O,称?是比？高阶的无穷小量,记为??。(?);?

2.lim???,称？是比?低阶的无穷小量;?

??C(C?0),称？与？是同阶无穷才

量；？3.lim

4.特别地当C=1时，即称？与？是等价无穷小量，

记为？〜？?

例1.limtanx?sinxtanx(l?cosx)tanxl?cosxl?lim?lim(?)?

x?0x?0x?0x2x3x3x2

?liml?cosxl?,称l?cosx是x的二阶无穷

小。2x?02x

四、等价无穷小量的性质

性质1、？与？是等价无穷小的充分必要条件为？???？(?).

性质2、设？，?,?,?是无穷小量，且?〜？，？~?,如果lim??a,

则lim?a?证：??例2.求下

列极限

(x?l)sinxln(l?x)ex?lsin5x(1)lim；(2)lim；(3)lim；

(4)lim；x?0x?0x?0x?0tan(arcsinxxx?3x)

arcsinx/xsinx5

lim(5)lim；(6)0x?0sinx/xx?0sin5x

常见的等价无穷小有：当x?0时，(的x~sinx；(2)x的anx；

(3)x^arctanx；(4)l?cosx~121x；(5)?x~x。2n

作业：P51T2(1)、(2)、(5)、(8)0T3

第八节函数的连续性

一、函数的连续性

1、函数的改变量

定义1、如果变量u从初值ul变到终值u2,那么终值与初

值的差u2?ul叫做变量u的改变量(或增量)，记作?u,即

?u=u2?ulo

改变量?U可以是正的，也可以是负的。

给自变量X以改变量？X,函数f(x)有相应的改变

量？y?f(x??x)?f(x)。

2、函数的连续性

定义2：设函数y?f(x)在点xO的某一邻域内有定义，若

limf(x)存在,且其极限值x?xO

等于f(xO),即limf(x)?f(xO),称函数f(x)在点xO处连续,

点xO是f(x)的连续点。x?xO

即：???0,???0,当x?xO??时，恒有f(x)?f(xO)??。

记x?xO?(x?xO)?xO??x,?y?f(xO??x)?f(xO)

定义3：若lim?y?0,则称函数f(x)在点xO处连续。?x?0

?1.f(x)在x?x处有定义(有意

义)，O??limf(x)?f(x0)??2.limf(x)存在，x?x0x?x0???3.

极限值？函数值.

f(x)?f(xO),则称f(x)在xO处左连续;若limf(x)?f(xO),

则称f(x)在若lim??x?0x?0

xO处右连续。

f(x)?f(xO)且limf(x)?f(xO)。函数f(x)在xO处连

续？lim??x?0x?0

如果函数在开区间？a,b?内的每一点处连续，则称为开区

间？a,b?内的连续函数，？a,b?称为函数的连续区间。如果函

数在区间？a,b?内的每一点处连续，且在点a处右连续，在

点b处右连续，则称为闭区间？a,b?上的连续函数

重要结论：基本初等函数在其定义区间内连续。

3、函数的间断点

如果函数f(x)在点xO处不连续，则称xO是f(x)的不连续

点或间断点0

如果函数f(x)有下列三种情形之一：

(1)在点X。处无定义，即f(xO)不存在；

(2)limf(x)不存在;x?xO

(3)limf(x)及f(xO)都存在，但limf(x)?f(xO)ox?xOx?xO

则xO就是f(x)的间断点。

例1.研究下列函数在指定点的连续性：

(1)y?sinx,点x=0；x

?x,当x?l?(2)

f(x)??l；点x=l；，当x?l??2

?x2?l,x?0?(3)f(x)??0,x?0,点x=0。

?x?l,x?O?

例2.y?tanx,点x??

20

例3.y?sinl,点x=0。x

例4、证明函数f(x)=sinx在(??,??)内是连续的。

证明：？x?(??,??),当x有增量?x时，对应的函数的增量为

(??x)?sinx?2si?y?sinx

?x)|?1o2?x?xcosx(?),22注意到

Icosx(x?

得I?y|?Isin(x??x)?sinx|?2|sin?x|2

因为对于任意的角度？，当？?0时有，|sin?|?|?|,所以有

0?I?y|?|sin(x??x)?sinx|?2|sin?x|?|?x|2

因此，当？x?0时，由夹逼准则得|?y]?0.这就证明了

f(x)=sinx对于？x?(??,??)是连续的。

间断点的分类：

??可去间断点，左？

右？f(x0)第一类间断点(左右极限均存在)？???跳跃间断

点，左？右间断点??无穷间断点???第二类间断点

?振荡间断点？

二、初等函数的连续性

定理1、如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续，那么它们的

和、差、积、商(分母不为零)也都在点x0处连续。

定理2、如果函数u??(x)在点x?x0处连续,且uO??(xO),

函数y?f(u)在点u?uO处连续，那么复合函数y?f[?(x)]在

点x?xO处连续。

定理3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。

三、闭区间上连续函数的性质

定理4：(有界性及最大值最小值定理)闭区间上的连续函数

在该区间上有界，且一定有最大值和最小值。

f?C[a,b]???,??[a,b],使得max{f(x)}?f(?),

min{f(x)}?f(?)x?[a,b]x?[a,b]

定理2(零点定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且

f(a),f(b)异号，则f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零

点。

f(x)在？a,b?上连续,且f(a)?f(b)?O??xO?(a,b),使得

f(xO)?0o

定理3(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且

f(a)?f(b),则对介于f(a)与f(b)之间的任何实数？,在区

间(a,b)内至少存在一点xO,使得f(xO)??。证明：作辅助

函数F(x)?f(x)??,满足定理2的条件:在数,b]上连续,且

F(a)?F(b)?[f(a)??]?[f(b)??]?0?F(xO)?0,即f(xO)???0,

f(xO)??0

推论1：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之

间的任何值。

推论2：闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。

切记：若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不一定

成立。

x例1.证明方程x?e?0在区间(-1,1)内有唯一的根。

证：讨论函数f(x)?x?ex,闭区间[T,1]。

先证明存在性；再证明唯一性一一指出f(x)?x?ex为单调函

数

例2.证明方程

根。111???0有分别包含于(1,2),(2,3),内的两个实

x?lx?2x?3

证：由方程可知x?l,x?2,x?3,故原方程之同解方程为

(x?2)(x?3)?(x?l)(x?3)?(x?l)(x?2)?0

引入辅助函数F(x)?(x?2)(x?3)?(x?l)(x?3)?(x?l)(x?2)

易知F(x)在(?？,？)上连续，故可分别在闭区间[1,2],[2,

3]上讨论之。

作业：P60Tl；T2；T3⑴、(3)；T4(2)。

第一章习题课

、内容小结

1、函数的定义，反函数、复合函数的定义，函数的几种特

性，基本初等函数，基本初等函数。

2、数列极限的定义、性质。

f(x)?A,limf(x)?A,3、函数极限的定义：

1imf(x)?A,lim??s?xOs?xOs?xO

limf(x)?A,limf(x)?A,limf(x)?AOx??x???x???

函数极限的性质：(1)如果函数limf(x)?A,则f(x)在点xO

的去心邻域内是有界的。s?xO

(2)如果limf(x)存在，那么这极限是唯一的。s?xO

4、无穷小、无穷大：

无穷小：limf(x)?0；无穷大：limf(x)??；无穷小的运算性

质，无穷小与无穷大的关系；无穷小阶的比较。等价无穷小

的性质与其在极限计算中的应用。

xlsinx?l??l.lim?l???e.lim?l?xx?e5、极限存在准则、两

个重要极限：limx?Ox??x?Ox?x?

6、函数的连续性与性质

①设函数f(x)在点xO的某邻域内有定义，如果

x?x01imf(x)?f(xO)

????0,???0,当|x?xO|??时，有

If(x)?f(xO)I??

②如果1im?y?lim[f(xO??x)?f(x)]?0,那么就称函数f(x)

在点xO处连续。?x?0?x?0

??左连续f(xO)?f(xO)；右连续

f(xO)?f(x0)o

区间上连续函数：在区间上每一点都连续的函数称为该区间

上的连续函数。

③间断点：有下列三种情形之一(1)在xO处f(x)无定义;

(2)在xO有定义，但limf(x)x?xO不存在；(3)在xO有

定义，limf(x)存在,但limf(x)?f(xO)0则函数f(x)在点

xO处x?xOx?xO

间断。

??间断点分类：f(x)在xO间断，f(xO则称

xO为f(x)的第一类间断点，)与f(xO)分别存在，

否则称为第二类间断点。

④重要结论：基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初

等函数在其定义区间都是连续的。⑤闭区间上连续函数的

性质

(1)最大值、最小值及有界性定理。

(2)零点定理

(3)介值定理

7、运算法则

(1)无穷小的运算性质①有限个无穷小的和仍为无穷小；

②有限个无穷小的积仍为无穷

小；③有界函数与无穷小的积为无穷小。

(2)极限的四则运算法则。

(3)复合函数的极限运算法则：设函数y?f[g(x)]是由函

数y?f(u)与u?g(x)复合

limf(u)?A0而成的，f[g(x)]在点xO的某去心邻域内有定

义，若limg(x)?u0,x?xOu?u