河南省洛阳市南牙中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析

河南省洛阳市南牙中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列是等差数列，若，，则数列的公差等于A．6

B．

C．4

D．参考答案：D2.直线的倾斜角为（

）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：记直线的倾斜角为，∴，故选B.3.在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】利用复数的除法和复数的乘方运算将复数表示为一般形式，可得出其共轭复数，从而得出复数对应的点所在的象限.【详解】，.因此，复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故选：D.【点睛】本题考查复数的除法与乘方运算，考查共轭复数以及复数的对应的点，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.4.过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣参考答案：D【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算k1k2的值．【解答】解：过点M（﹣2，0）的直线m的方程为

y﹣0=k1（x+2），代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k12﹣2=0，∴x1+x2=，∴P的横坐标为，P的纵坐标为k1（x1+2）=，即点P（，），直线OP的斜率k2=，∴k1k2=﹣．故选D．5.设集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体A-B1CD1在面AA1D1D上的正投影图形为

参考答案：A7.函数f（x）=3x﹣x3的单调递增区间是（） A．[﹣1，1] B． [1，+∞）∪（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞）及（﹣∞，﹣1] D．[﹣，]参考答案：A略8.过抛物线的焦点任作一条射线交抛物线于点，以为直径的圆必与直线（

）A．相切

B．相切

C．相切

D．相切参考答案：A9.，则M，N两个集合关系正确的是

A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知成等差数列,成等比数列.则的取值范围是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若0＜α＜＜β＜π，且cosβ=﹣，sin（α+β）=，则cosα=．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件，运用同角平方关系可得sinβ，cos（α+β），再由cosα=cos[（α+β）﹣β]，运用两角差余弦公式，计算即可．【解答】解：0＜α＜＜β＜π，cosβ=﹣，可得sinβ===，sin（α+β）=，且＜α+β＜，可得cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，则cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=﹣×（﹣）+×=．故答案为：．12.已知函数，（R）的最小正周期是___________.参考答案：略13.A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于

。参考答案：略14.已知集合，则A∩B=_______．参考答案：{－1}【分析】由可得集合是奇数集，由此可以得出结果.【详解】解：因为所以集合中的元素为奇数，所以.【点睛】本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.15.已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为．参考答案：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设圆锥N的底面直径为2r，则高为r，利用圆柱M的底面半径为2，高为，圆柱M和圆锥N的体积相同，建立方程能求出结果．【解答】解：设圆锥N的底面直径为2r，则高为r，∵圆柱M的底面半径为2，高为，圆柱M和圆锥N的体积相同，∴=，解得r=2，∴圆锥N的底面半径为2．故答案为：2．16.设复数（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=_______.参考答案：－8【分析】将化为的形式，根据为纯虚数，求得实数的值.【详解】依题意为纯虚数，故，解得.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.17.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．参考答案：-2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）若函数在上减函数，求实数a的最小值；（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：因为在上是减函数，故在上恒成立，又，故当，即时，，所以，于是，故的最小值为.（2）命题“若，使成立”等价于“当时，有”由（1），当时，，所以.问题等价于：“当时，有”①当时，由（1），在上是减函数，则，故②当时，由于在上为增函数，于是的值域为，即..若，即，，在上恒成立，故在上为增函数，于是，不合题意；.若，即，由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，所以，与矛盾，不合题意；综上：的取值范围为.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；参考答案：(1)解在四棱锥P—ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P—ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.

略20.已知函数f(x)=-ln(x+m).（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m≤2时，证明f(x)>0.参考答案：(1)f(x)在(－1,0)上是减函数；在(0,+∞)上是增函数（2）见解析【详解】(1)f′(x)＝.．由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，f′(x)＝．函数f′(x)＝在(－1，+∞)上单调递增，且f'(0)=0，因此当x∈(－1，0)时，f'(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数f′(x)＝在(－2，+∞)上单调递增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f'(x)<0;当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0．综上，当m≤2时，f(x)>0．21.（本大题满分13分）已知函数.（1）求的单调递减区间.（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.参考答案：解：（1）······3分

························5分

减区间为························7分

（2）由（1）知，在上单调递减上单调递增

·········10分

···············12分

············