河南省洛阳市第四十三中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

河南省洛阳市第四十三中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=，设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=，故选：C．2.若函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω≠0），且f（2+x）=f（2﹣x），则|ω|的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数关于x=2对称，可得2ω﹣=kπ+，k∈Z，求得ω的解析式，可得|ω|的最小值．【解答】解：由题意，函数关于x=2对称，可得2ω﹣=kπ+，k∈Z，求得ω=kπ+，则k=﹣1时，|ω|的最小值为，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（

）参考答案：A略4.已知函数()定义域为,则的图像不可能是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的图象．B8D

解析：已知函数f（x）=alnx+（a∈R），定义域为（0，1），下面把参数分以下三种情况进行讨论：（1）当a=0函数f（x）=alnx+转化为f（x）=对定义域（0，1）内的每一个x代入关系式得到，f（x）＞0．故A符合（2）当a＜0用单调性来进行讨论由于函数lnx在定义域（0，1）内为增函数，则alnx为减函数同时=也为减函数，所以函数f（x）为减函数，故A符合（3）当a＞0利用函数的导数来讨论，已知f（x）=alnx+，则f′（x）=+=，令f′（x）=0即ax2+（2a﹣4）x+a=0则△=16﹣16a下面再分三种情况讨论①当a=1，f′（x）==＞0则函数f（x）为增函数故B符合②当1＞a＞0时ax2+（2a﹣4）x+a=0存在两根x1=，x2=，由于1＞a＞0则得到1＞x1＞0，x2＞1当x1＞x＞0函数图象为增函数

当x1＜x＜1时为减函数故C符合③当a＞1时f′（x）＞0恒成立故B符合,通过以上讨论，排除得到答案应D．【思路点拨】已知函数f（x）=alnx+（a∈R），在函数式中含有参数，所以本题在定义域内对参数的讨论是本题的重点，可以对参数a分以下几种情况进行讨论①a=0②a＜0③a＞0根据不同的情况进行具体分析。5.如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（

）A．

B．12

C．

D．8参考答案：B6.已知复数z满足，则=

（

）

A．-2i

B．-2

C．2i

D．2参考答案：A7.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α参考答案：D【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D8.复数为虚数单位)的虚部为

A．1

B.-1

C.

D.0参考答案：B略9.如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（00＜θ＜900）的平面所截，截面是一个椭圆．当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 参考答案：考点： 平面与圆柱面的截线．分析： 利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率．解答： 解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，∵a2=b2+c2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．点评： 本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力．10.若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是

（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先根据约束条件画出可行域，由变形得再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系即可.【详解】如图，可行域为△ABC.当时，符合题意；当时，由变形得，可知，得；当时，由变形得，可知，得一2<a<0；综上得.故选A.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2015?南昌校级模拟）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．参考答案：25【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：利用系统抽样的性质求解．解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．【点评】：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．12.某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C)181310-1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程中．现预测当气温为时，用电量的度数约为

．参考答案：6813.已知定义在R上的函数满足：函数的图象关于点（1，0）对称，且时恒有，当时，，求______．参考答案：因为函数的图象关于点对称，所以的图像关于原点对称，所以函数是奇函数，因为时恒有，所以=故填1-e.14.复数,则为______________;参考答案：15.关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得，进而可得m的取值范围．【解答】解：若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，故，即，解得：m∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．16.若对任意恒成立，则a的取值范围是________参考答案：4

略17.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.参考答案：【分析】根据渐近线得到，，计算得到离心率.【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设直线与、均相切，切点分别为（）、（），且，求证：.参考答案：解：（Ⅰ）令，

------------------------------------1分令，解得当时，当时∴当时，∴

------------------------------------3分令，------------------------------4分令，解得当时，当时∴当时，∴

--------------------------------6分∴

--------------------------------7分 （Ⅱ），，切点的坐标分别为，可得方程组：

-------------------------9分

19.（本小题满分10分)已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（Ⅱ）若为上的动点，求中点到直线(为参数）距离的最小值.参考答案：20.（本小题满分15分）

已知函数

（I）当处的切线方程；

（II）当的单调性；

（III）求实数a的取值范围，使得上恒成立。参考答案：略21.（本小题满分14分）已知函数，其中且（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.参考答案：(I)f(x)的定义域为.其导数………1分①当时,,函数在上是增函数;…………2分②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．所以在是增函数,在(0,+∞)是减函数.

…………4分(II)当时,取，则,不合题意.当时令,则………6分问题化为求恒成立时的取值范围.由于………7分在区间上,;在区间上,.的最小值为,所以只需即,,………9分(Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以构造函数:()………11分则所以函数在区