河南省郑州市大学第一附属中学2021年高一数学理月考试题含解析

河南省郑州市大学第一附属中学2021年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，且，则角的终边所在象限是(

) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限参考答案：D略2.在等差数列中，，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是

（

）A．

B．

C．

D．－1参考答案：B3.已知，则的值为

（

）A.1

B.4

C.1或4

D.4或—1参考答案：B4.△ABC的边BC所在直线上有一点D满足，则可表示为（

）A.

B.C.

D.参考答案：B

5.三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的体积为(

)A. B. C. D.参考答案：B【分析】求得底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的体积.【详解】设底面正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，即，所以求的半径为，所以球的体积为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.6.若1∈{2+x，x2}，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0参考答案：B【考点】元素与集合关系的判断．【专题】分类讨论；综合法；集合．【分析】将1带入集合，求出x，注意集合元素的互异性．【解答】解：∵1∈{2+x，x2}，∴1=2+x，或1=x2，∴x=﹣1或x=1，若x=﹣1，则2+x=x2，与元素的互异性矛盾，若x=1，则2+x=3，x2=1，符合题意．∴x=1．故选B【点评】本题考查了集合元素的互异性，是基础题．7.已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是(

)①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A．3

B．2

C.1

D．0参考答案：C8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1,P是腰DC上的动点,则的最小值为

（

）A．4 B．5 C． D．2参考答案：B9.在区间[0，2]和[1，2]上分别取一个数x，y，则对应的数对(x，y)是不等式x-y≤0的解的概率为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.设A、B、I均为空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是(

)A.B.C.D.参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.=________________.参考答案：略12.在数列{an}中，，则数列的通项________.参考答案：【分析】根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前项和公式，可以求出数列的通项公式.【详解】当时，，，当也适用，所以.【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.13.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）181310-1用电量（度）24343864

由表中数据，得线性回归方程当气温为–4°C时，预测用电量的度数为(*****).A.

B．

C．

D．参考答案：B14.已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．其中正确的命题是

。

参考答案：略15.已知数列中，，，则数列的第n项=_____．

参考答案：略16.命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是

。参考答案：若至少有一个为零，则为零17.已知lg2=a，lg3=b，则log36=__________（用含a，b的代数式表示）.参考答案：由换底公式，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若·=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若∥，求sin（π﹣α）?sin（+α）的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式可求2sinαcosα的值，即可得解．（2）根据平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式可求sinαcosα，进而利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．（2）∵，∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，∴sin（π﹣α）?sin（）=sinα?cosα=﹣．【点评】本题考查了数量积运算、平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100，可获利润200万元。现某单位可使用资金1400万元，场地900，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？参考答案：解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为目标函数为，……………………7分作出可行域，将目标函数变形为,这是斜率为，随S变化的一族直线，是直线在y轴上的截距，当最大时，S最大，但直线要与可行域相交。由图可知，使取得最大值得（）是两直线20.是否存在实数a，使函数f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为4，若存在，则求出对应的a值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简函数f（x），分a≤﹣1时，﹣1＜a＜1时，a≥1时，利用函数的单调性即可求出答案．【解答】解：f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1=1﹣sin2x+2asinx+3a﹣1=﹣sin2x+2asinx+3a=﹣（sinx﹣a）2+3a+a2，sinx∈[﹣1，1]，令sinx=t，t∈[﹣1，1]，∴f（t）=﹣（t﹣a）2+3a+a2对称轴为t=a，当a≤﹣1时，函数f（t）在[﹣1，1]上是减函数，∴f（x）max=f（﹣1）=a﹣1=4，解得a=5，舍去当﹣1＜a＜1时，函数f（t）在[﹣1，a]上为增函数，在（a，1）上为减函数，∴f（x）max=f（a）=3a+a2=4，解得a=1或a=﹣4，舍去，当a≥1时，函数f（t）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）max=f（1）=5a﹣1=4，解得a=1，综上所述，存在实数a=1，使函数f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为421.已知，命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立．（）若为真命题，求的取值范围．（）当，若且为假，或为真，求的取值范围．参考答案：见解析．解：（1）若命题为真，则对任意，不等式恒成立，即当时，恒