第01章导热的基本定律及方程

2023/2/181双曲型导热微分方程

三.双曲型导热微分方程

热在物体中传播速度无限大,在非稳态导热过程中,任何瞬时,变化和改变是同步的.这种假设对于缓慢非稳态导热过程是可用的,为抛物线方程.2023/2/182双曲型导热微分方程(对于低温度下急剧变化的非稳态过程不能把热扰动传播速度看成是无限大)由于物体有热惯性,温度场的重新建立和温度梯度变化是滞后边界条件的.温度场重新建立滞后于热扰动(热流密度变化),滞后时间称为松弛时间。

热扰动传播速度与松弛时间关系为：2023/2/183双曲型导热微分方程考虑热扰动传播速度为有限值,则伏利叶定律中的热流密度要增加一个附加项

为导温系数.热惯性↑,则松弛时间

↓;↑,则↓2023/2/184双曲型导热微分方程由控制体能量平衡关系：

;;2023/2/185双曲型导热微分方程其对求导：

将其代入λ为const,则

为热扰动在物体中的传播速度为有限值的导热微分方程.为双曲型微分方程。2023/2/186双曲型导热微分方程为方程中增加的一项。一般松弛时间

很小,只有在一些极快速瞬态导热才需要考虑,对一般过程,其可忽略不计,这些分析有助于我们对导热机理研究。

2023/2/187变分形式的导热方程四.变分形式的导热方程

根据变分原理,泛涵求极值的计算在数学上等价于微分方程求解,即对求极值可得到满足相应微分方程和边界条件某一函数—微分方程在一定边界条件下的解.下面将介绍导热微分方程变分描述基本概念。

1.泛涵：函数与泛涵的区别2023/2/188函数与泛涵的区别

函数自变量是数,而泛涵的自变量是函数.即泛涵是函数的函数.J=J(y)=J[y(x)](2)

y=y(x)(1)例:x为自变量,y为因变量.函数可表示为:设J又是y的函数,那么泛涵J可表示为2023/2/189变分形式的导热方程（举例）对泛涵具体例子,举一个最速降落线的问题（伯努力1696年提出）。例:试确定一条曲线y=y(x),连接不再同一铅垂线上两定点A和B,使得质点M在重力的作用下,沿着这条曲线由较高点A自由滑到较低点B(不计摩擦),所需时间为最短。具有这种性质曲线为最速降落线.

2023/2/1810

根据无阻力及能量守恒条件,物体在重力加速度g作用下,降落至同一水平面时具有相同的速率,所以物体在曲线上任一点M处的速率v必与自由落体在下降相同y距离时的速率相同,由物理学知道2023/2/1811变分形式的导热方程∴

根据速率定义,可知从A到B所需时间

式中y=y(x)为函数,t为y的函数.2023/2/1812固定端点的变分T[y(x)]称为泛涵,y(x)为函数,它必需满足t为最小值的条件,这就是一个对泛涵求极值的问题,在数学上称为变分。变分计算的目的是把极值曲线y(x)找出来。

2.固定端点的变分：求一函数y＝y(x)，满足如下条件;并能使J达极值。

设有泛涵

2023/2/18132023/2/1814泛函步骤

泛涵部分大致有如下三步骤

1.找一任意光滑连续函数η(x)满足2.取一参变量ε,它可在不太大的正负范围内变化,为使问题简化,令ε与x无关.3.设y(x)为待求的极值曲线,则:

y(ε,x)=y(x)+εη(x)为通过A、B两点邻近于极值曲线的无限多曲线,满足

δ是专门的变分符号.

2023/2/1815函数的微分于泛涵的变分对照

函数的微分于泛涵的变分对照：y=y(x),函数增量△y=y(x+△x)-y(x)则函数微分：

函数取极值条件为：泛涵J＝J[y(x)],泛涵增量

函数增量为

2023/2/1816泛涵取极值的必要条件而函数的变分为：泛涵取极值的必要条件为：

2023/2/1817变分基本性质基本性质

：变分运算与微分运算有相同之处①设有函数y(x),n为常量②设有函数u(x),v(x)则③设有函数y(x)，则④微分和变分次序可变2023/2/1818性质③④

证明

③

是由引起,突出ｘ自变量.而并不是引起的。是在x时得到的。是定义在x为给定值时的一条垂直线上∴（即变分计算时x为常量）④

【证明：

2023/2/1819变分形式的导热方程

对x求导，

由上面式子得

2023/2/1820变分形式的导热方程（极值条件）

对于泛涵也可写作

即

或写为泛涵取极值的条件为

:

2023/2/1821函数取极值条件

函数取极值得条件为：

2023/2/1822函数取极值条件证明取极值

则

2023/2/1823泛函取极值条件证明2023/2/1824推导欧拉方程理论基础

求对于泛涵取极值时，函数y(x)必须满足的条件：y(x)邻近曲线代入J→则

（莱布尼滋法则）介绍推导欧拉方程理论基础

2023/2/1825欧拉方程理论基础考虑

与无关，并将的关系代人

2023/2/1826欧拉方程理论基础即

2023/2/1827欧拉方程理论基础∴

则

利用

条件

2023/2/1828欧拉方程极值曲线应满足的必要条件（非充分条件）要求这个微分方程，可得无穷多个极值曲线，把边界条件代人看到唯一的曲线。上式积分对任意函数都为0，则可推出欧拉方程

2023/2/1829欧拉方程（特殊情况1）推出最后欧拉方程

两种特殊情况：

（1）F中不含y，即由

→

积一次分再积一次分可得极值曲线。2023/2/1830欧拉方程（举例）例：满足边界条件的极值曲线不含y，所以欧拉方程的首次积分

对求偏导

2023/2/1831欧拉方程（总结）总结：变分求解方程①从泛涵取极值出发，产生与变分代表同一物理过程的微分方程，即欧拉方程。②用数学方法求微分方程，从而得到满足变分的极值曲线。

极值曲线是一个圆，将边界条件代人可求出

2023/2/1832欧拉方程（特殊情况2）（2）F中不含x，这时欧拉方程展开式

写成全微形式2023/2/1833欧拉方程（特殊情况2证明）2023/2/1834可动端点变分3.可动端点变分除了两端点固定变分外，还有极值曲线的一端点可在已知曲线上移动的变分问题，在上面例子中，让A不动，B移动。B在任一给定位置都可得到一条极值曲线（为给定端点极值曲线），可动端点变化就是在上述曲线（极值上）再作一比较，以求出B坐在某一高度时降落时间最短。（即从一系列固定曲线中挑选出来）

2023/2/1835可动端点变分

可动端点与固定端点变化基本相同，还是对求极值曲线。但有不同边界条件只有;而不确定。故选取任意光滑连续函数与上面相同

2023/2/1836可动端点变分

由于欧拉方程必须满足

同时对任意

（自然边界条件）∴求解欧拉方程得：两个积分常数＋

＋自然边界条件，可得出唯一的解。

2023/2/1837重积分下的变分（固定边界）

4.重积分下的变分（固定边界）（1）公式推导上面泛涵，只是的函数，现在讨论，T是、的函数，是平面温度函数在区域D边界上有已知值。

（已知）

2023/2/18382023/2/1839重积分下的变分（固定边界）

泛涵求极值时，极值曲面的一系列临近曲面在区域D中的值可改变，在边界上的值不能变。同上面固定端点变分法一致

为绝对值较小参变量，与、无关2023/2/1840重积分下的变分（固定边界）代人泛涵

泛涵取极值

（格林公式）

在区域D和边界上的任意函数

2023/2/1841重积分下的变分（固定边界）看后两项：

第一项用格林公式

则

2023/2/1842重积分下的变分（固定边界）欧拉方程

2023/2/1843重积分下的变分（固定边界）同样

2023/2/1844第一类边界条件平面稳定温度场（2）第一类边界条件平面稳定温度场

求泛涵

极值曲面

其中T在区域D边界温度已知

公式中不含、、T

故

2023/2/1845第一类边界条件平面稳定温度场同样

；

；

拉普拉斯方程

极值曲面为满足拉普拉斯方程的一系列曲面。为了唯一确定极值曲面，用固定边界给出定解条件（第一类边界条件）

2023/2/1846第一类边界条件平面稳定温度场上述泛涵在边界条件约束下变分所得的极值函数

就是拉普拉斯方程在第一类边界条件下的解

。

2023/2/1847重积分下变分（可动边界）

5.重积分下变分（可动边界）

(1)公式推导是一个未知变量，其温度场为可动边界变分问题，其泛涵一般形式

2023/2/1848∴

(2)二类边界条件平面稳定温度场

求泛涵

极值曲面,为边界上的热流密度二类边界条件平面稳定温度场（A）

(B)

2023/2/1849,

由上面A代人

；

；及

代人(B)得：

二类边界条件平面稳定温度场2023/2/1850二类边界条件平面稳定温度场由于边界

则（二类边界条件）

2023/2/1851三类边界条件平面稳定温度场（3）三类边界条件

求泛涵

的极值曲面；为介质温度，为介质对固体的换热系数，为固体导热系数。

；

；

则（拉普拉斯方程）2023/2/1852三类边界条件平面稳定温度场则

为温度场的三类边界条件。

结论：泛涵取极值的极值曲面，就是拉普拉斯方程在边界条件下的解：

2023/2/1853

绝热。方程与第一类相同的泛涵，但是可动边界变分与固定边界变分问题，所得极值曲面具有不同的性质。

②，化为一类边界条件。故即可采用固定边界条件，也可采用可动边界条件变分。

三类边界条件平面稳定温度场2023/2/1854具有内热源温度场（4）具有内热源温度场

求泛涵

求极值曲面必须满足的条件。

上式与前面比多了一项

，则

代入欧拉方程

（为内热源平面温度场的微分

方程及边界条件）

2023/2/1855轴对温度场变分问题（柱坐标）

6.轴对温度场变分问题（柱坐标）1）无内热源轴对称稳定温度场

相应泛涵为

2023/2/1856轴对温度场变分问题（柱坐标）

；；

；

∴

而自然边界条件得：

将

、

和

代入

2023/2/1857轴对温度场变分问题（柱坐标）∵

，为任意值

∴

2023/2/1858有内热源轴对称稳定温度场2）有内热源轴对称稳定温度场2023/2/1859

不稳定温度场变分（无内热源）

7.不稳定温度场变分1）无内热源平面不稳定温度场

为已知（1）（2）（3）（方程(1）为抛物型方程，其泛涵变分问题还没有很好解决)2023/2/1860不稳定温度场变分（无内热源）现有两种解决方法

①令时间变量暂时固定（即考虑在一瞬时的条件下仅是位置函数）对泛涵变分，然后再考虑

的变化，把

用差分展开。

泛涵（4）2023/2/1861不稳定温度场变分（无内热源）利用前面讲的

做变分计算

注意：做常数处理，可得微分方程(1)、(3).

初始条件（2）作为定解条件在以后的计算中代入2023/2/1862不稳定温度场变分（无内热源）②先把（1）用向后差分改写为

此时，对应的泛涵为：

再利用前面讲的

可得到（1）、（3）。两种方法可得到相同的变分计算结果。2023/2/1863不稳定温度场变分（内热源）2）有内热源空间不稳定温度场初始条件为已知时极值曲面

必须满足的条件同前面一样，只是要用空间概念代替平面概念，即相应欧拉方程

2023/2/1864不稳定温度场变分（内热源）空间格林公式由此得到

必须满足条件

2023/2/1865不稳定温度场变分（内热源）为已知（1）（2）（3）泛涵