2019-2021北京重点校初一（下）期末数学汇编：平行线的性质

9/92019-2021北京重点校初一（下）期末数学汇编

平行线的性质一、单选题1．（2020·北京·人大附中七年级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1=45°，∠2=122°时，∠3和∠4的度数分别是（）A．58°，122° B．45°，68° C．45°，58° D．45°，45°2．（2020·北京·101中学七年级期末）如图①，一张四边形纸片ABCD，∠A＝50°，∠C＝150°．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为()．A．70° B．75° C．80° D．85°3．（2019·北京·101中学七年级期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．140°4．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）如图，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125°二、填空题5．（2019·北京·101中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E在CD上，点F、G在AB上，且AF=FG=BG=DE=CE.以A、B、C、D、E、F、G这7个点中的三个为顶点的三角形中，面积最小的三角形有_________个，面积最大的三角形有__________个.6．（2021·北京·北大附中七年级期末）以下五个条件中，能得到互相垂直关系的有___________．（填写序号）①对顶角的平分线；②邻补角的平分线；③平行线截得的一组同位角的平分线；④平行线截得的一组内错角的平分线；⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线．三、解答题7．（2020·北京·人大附中七年级期末）已知：如图，∠AOB=α，OC平分∠AOB，D是边OA上一点，将射线OB沿OD平移至射线DE，交OC于点F，E在F右侧．M是射线DA上一点（与D不重合），N是线段DF上一点（与D，F不重合），连接MN，∠OMN=β．（1）请在图1中根据题意补全图形；（2）求∠MNE的度数（用含α，β的式子表示）；（3）点G在线段OF上（与O，F不重合），连接GN并延长交OA于点T，且满足2∠NGO＋∠OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究∠ENM与∠ENG的数量关系．8．（2020·北京·清华附中七年级期末）已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为；（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系．9．（2020·北京·101中学七年级期末）如图，∠A＝∠CEF，∠1＝∠B，求证：DEBC．10．（2020·北京·清华附中七年级期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FGAE，∠1＝∠2．（1）求证：ABCD；（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．

参考答案1．C【分析】先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF即可得出结论．【详解】解：∵EG∥FH，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°．∵AB∥CD，∠2=122°，∴∠ECD=180°﹣122°=58°．∵CE∥DF，∴∠4=∠ECD=58°．故选：C．．【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．2．C【分析】先根据翻折变换的性质得出∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，再由平行线的性质求出∠1+∠D′MN及∠2+∠D′NM的度数，进而可得出结论．【详解】解：

∵△MND′由△MND翻折而成，

∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，

∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50°，∠C=150°

∴∠1+∠D′MN=∠A=50°，∠2+∠D′NM=∠C=150°，

∴∠1=∠D′MN==25°，∠2=∠D′NM==75°，

∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-25°-75°=80°．

故选C．【点睛】本题考查翻折变换的性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质以及三角形的内角和是180°．3．B【分析】根据对项角相等的性质，得∠ABC=∠1=40°，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=40°.又∵DB⊥BC，∴∠2=90°﹣∠BCD=90°﹣40°=50°.故选B．4．D【详解】试题分析：∵∠1=∠2，∠5=∠1（对顶角相等），∴∠2=∠5，∴a∥b（同位角相等，得两直线平行）；∴∠3=∠6=55°（两直线平行，内错角相等），故∠4=180°-55°=125°（邻补角互补）．故选D．考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．点评：解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．5．173【分析】根据两平行线间的距离相等及等底等高的三角形面积相等解答即可.【详解】以AF为底，分别以D、E、C为另一个顶点的三角形有3个；以FG为底，分别以D、E、C为另一个顶点的三角形有3个；以GB为底，分别以D、E、C为另一个顶点的三角形有3个；以CE为底，分别以A、F、G、B为另一个顶点的三角形有4个；以DE为底，分别以A、F、G、B为另一个顶点的三角形有4个；这17个三角形等底等高，面积相等，且最小；以AB为底，分别以D、E、F为另一个顶点的三角形有3个，这3个三角形等底等高，面积相等，且最大.故答案为17；3.【点睛】本题考查了两平行线间的距离相等，三角形的面积公式，熟练掌握等底等高的三角形面积相等是解答本题的关键.6．②⑤【分析】根据平行线的性质、邻补角的定义对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：①对顶角的平分线是一条直线，故本选项错误；

②邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；

③平行线截得的一组同位角的平分线互相平行，故本选项错误；

④平行线截得的一组内错角的平分线互相平行，故本选项错误；

⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线互相垂直，故本选项正确．

故答案为②⑤．【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义等知识，熟知平行线的性质是解答此题的关键．7．（1）见解析；（2）∠MNE=β＋α，（3）见解析，∠ENM=180°﹣2∠ENG【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可；（3）结论：∠ENM=180°﹣2∠ENG．利用三角形的外角的性质解决问题即可．【详解】解：（1）图形如图所示．（2）∵DE∥OB，∴∠MDN=∠AOB，∴∠MNE=∠OMN＋∠MDN=β＋α．（3）结论：∠ENM=180°﹣2∠ENG．理由：如图，设∠NGO=γ．∵2∠NGO＋∠OMN=180°，∴2γ+β=180°，即β=180°-2γ，∴∠ENM=α＋β=α＋180°﹣2γ=180°＋α﹣2γ，∵∠ENG=∠DNT=∠MTN﹣∠ADF=∠AOC＋∠NGO﹣∠ADF=α＋γ﹣α=γ﹣α，即2γ=2∠ENG+α，∴∠ENM=180°＋α﹣(2∠ENG+α)=180°﹣2∠ENG．【点睛】本题考查了平移变换，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（1）45°；（2）∠MEN＝2∠MFN，证明见解析；（3）【分析】（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，于是得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝∠EGB﹣∠EMB，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，根据角平分线的定义得到∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，于是得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠5＝∠END，根据角平分线的定义得到∠5＝∠END＝2∠4，∠BME＝2∠1＝∠E+∠5＝∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，FG∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝90°，同理∠MFN＝∠BMF+∠DNF，∵ME平分∠BMF，FN平分∠CNE，∴∠BME+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，∴∠MFN的度数为45°；故答案为：45°；（2）∵∠EGB＝∠EMB+∠E，∴∠E＝∠EGB﹣∠EMB，∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，∴∠E＝∠END﹣∠EMB，∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE，∴∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，∴∠E＝2∠FND﹣2∠FMB＝2（∠FND﹣∠FMB），∵∠FHB＝∠FMB+∠F，∴∠F＝∠FHB﹣∠FMB，＝∠FND﹣∠FMB，∴∠MEN＝2∠MFN；（3）∠E+∠MFN＝180°，证明：如图3，∵AB∥CD，∴∠MGE＝∠ENC，∵NF平分∠ENC，∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，∵MF平分∠AME，∴∠AME＝2∠1＝∠E+∠MGE＝∠E+2∠FNG，∴∠FMG＝∠1＝∠E+∠FNG，∵∠E+∠MFN＝360°﹣∠FNG﹣∠FMG﹣∠EMG＝360°﹣∠FNG﹣（180°﹣∠E﹣2∠FNG）﹣（∠E+∠FNG）＝180°+∠E，∴∠MFN+∠E＝180°．故答案为：∠E+∠MFN＝180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，结合三角形外角性质是解题的关键．9．见解析【分析】根据平行线的判定定理可得EF∥AB，根据平行线的性质可得∠EFC＝∠B，根据等量关系可得∠EFC＝∠1，即可证得DE∥BC．【详解】证明：∵∠A＝∠CEF，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠B，∵∠1＝∠B，∴∠EFC＝∠1，∴DE∥BC．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．10．（）见解析；（2）50°【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明∠1＝∠3即可；（2）根据∠1+∠