2018年数学专题03函数的单调性和最值黄金解题模板

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE23学必求其心得，业必贵于专精专题03函数的单调性和最值【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．【方法点评】方法一定义法使用情景：一般函数类型解题模板:第一步取值定大小：设任意，且；第二步作差：;第三步变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；第四步定符号；第五步得出结论。例1已知函数且,（1)求的值;(2)判断函数的单调性，并用定义证明。【答案】（1)；(2）证明见解析。所以函数在上单调递减。【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式以及函数的单调性,属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是:(1)在已知区间上任取；（2）作差分解因式；（3）判断的符号，可得在已知区间上是增函数，可例2判断并证明：在上的单调性．【答案】在上单调递增，证明见解析.考点:用定义法证明单调性．【变式演练1】已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1)求的表达式；(2)判断并证明函数在区间上的单调性。【答案】（1)；（2）函数在区间上是减函数，证明见解析.【解析】试题分析:(1）由是奇函数，令得，，当时，，得出，即可得出函数的表达式;（2）利用函数单调性的定义,即可证明函数的单调性。试题解析：（1）∵是奇函数，∴对定义域内任意的，都有。……1分令得，，即又当时，，此时综合可得:考点：函数的解析式与函数的单调性的定义。例3定义在上的奇函数，对任意时，恒有。（1）比较与大小；(2）判断在上的单调性,并用定义证明；（3）若对满足不等式的任意恒成立,求的取值范围.【答案】(1)；（2）函数在上为单调递增函数，证明见解析；(3）.【解析】试题分析：（1)利用作差法，即可比较与大小；（2)利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；考点：函数奇偶性与单调性的综合问题。【变式演练2】已知函数是定义在上的奇函数,且．（1）求的解析式;（2）用定义证明在上是增函数；（3)解不等式．【答案】（1）；（2)证明见解析；（3)。【解析】试题分析：(1）根据条件建立方程关系即可求出函数的解析式；（2）利用定义证明在上是增函数；（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式。试题解析：（1）即，，(2）设,且,则，∵，，,，∴，即，∴在上是增函数．（3）依题意得，，则∴．考点:1.函数奇偶性的应用；2.利用定义法证明函数的单调性。方法二导数法使用情景：较复杂的函数类型解题模板:第一步求函数的定义域；第二步求导；第三步在定义域范围内解不等式或；第四步得出函数的增减区间。例4已知函数．求的单调递减区间;【答案】，【变式演练3】已知函数f(x)=(2x−1)ex+ax2−3a（x>0）在A。[−2e,+∞)B.[−32【答案】A【解析】由题函数fx=2x-1exa≥−2x+1ex令g′x>0得到0<x<12，可知函数gx在0,12上单调递增，在12方法三复合函数分析法使用情景：简单的复合函数类型解题模板：第一步先求函数的定义域;第二步分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；第三步根据同增异减，确定原函数的增减区间.例5求函数的单调区间;【答案】在上单调递增，在上单调递减.【点评】函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导函数求函数的单调区间也必须先考虑函数的定义域.【变式演练4】已知定义在上的函数是偶函数，且时，.(1)当时，求解析式；（2）写出的单调递增区间。【答案】（1）；(2），。【解析】试题分析：（1)利用奇偶性,时，,;(2）时，对称轴是，开口向上，左减右增，根据复合函数单调性可知,增区间为；同理,当，的对称轴是，开偶向上，左减右增，根据复合函数单调性可知，增区间为.复合函数单调性利用同增异减来解决.试题解析：(1）时，，∴，∵是偶函数，∴,时,.（2)由（1)知时，，函数的单调增区间，时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间，所以函数的单调增区间为，.考点：待定系数，导数与单调区间．方法四图像法使用情景:图像比较容易画出的函数类型解题模板：第一步通过题目条件画出函数图像；第二步从图像中读出函数的单调区间.例6求函数的单调区间.【答案】函数的单调增区间为减区间为。【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“”连接,用“，”隔开。【变式演练5】已知函数（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象;(2）写出的单调递增区间．【答案】（1）图象见解析；(2）.考点：函数图象与单调性．【高考再现】1。【2017全国二文】函数的单调递增区间是A.B。C。D.【答案】D2。【2017北京卷理】已知函数，则(A）是奇函数,且在R上是增函数 （B）是偶函数,且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】,所以函数是奇函数,并且是增函数，是减函数,根据增函数—减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A。3。【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a〉0,且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，](B）[，]（C）［，］｛}（D）［,)｛｝【答案】C【解析】试题分析：由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时,抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C。考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2）分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；(3）数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4。【2015高考湖北，理6】已知符号函数是上的增函数，，则（）A． B．C． D．【答案】B【考点定位】符号函数，函数的单调性。【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数,根据已知能快捷的得到答案。5。【2015高考天津，理7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（)（A)（B）（C）（D)【答案】C【考点定位】1。函数奇偶性；2。指数式、对数式的运算。【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,先由函数奇偶性知识求出的值,计算出相应的的值比较大小即可，是中档题。其中计算的值时易错。6.【2015湖南，理2】设函数，则是（)A。奇函数,且在上是增函数B。奇函数,且在上是减函数C。偶函数，且在上是增函数D。偶函数，且在上是减函数【答案】A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解。7.【2014高考陕西，理7】下列函数中，满足“"的单调递增函数是(） （A)(B）（C） （D）【答案】【解析】试题分析：选项：由，,得，所以错误；选项:由，,得,所以错误;选项：函数是定义在上减函数，所以错误；选项：由，,得；又函数是定义在上增函数，所以正确;故选。考点:函数求值;函数的单调性.【名师点晴】本题主要考查的是函数求值；函数的单调性等知识，属于容易题；在解本题时可以首先由单调性排除B，C选项，再验证A,D选项是否满足“"即可.在解答时对于正确选项要说明理由，对于错误选项则只要举出反例即可，8。【2014山东.理5】已知实数满足,则下列关系式恒成立的是（）A。B.C。D。【答案】9。【2016高考天津理数】已知f（x)是定义在R上的偶函数,且在区间（-，0)上单调递增.若实数a足，则a的取值范围是______。【答案】考点:利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数"的方法有：(1）借助数轴,运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数"向“形"的转化．10.【2016年高考北京理数】设函数。①若，则的最大值为______________；②若无最大值，则实数的取值范围是________.【答案】,.【解析】考点：1。分段函数求最值;2。数形结合的数学思想.【名师点睛】1。分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数,一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时,常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性,将大大缩短我们的判断过程．11.【2015高考浙江，理10】已知函数，则，的最小值是．【答案】，。12。【2015高考北京，理14】设函数 ①若，则的最小值为 ；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．【答案】（1）1，（2）或。考点定位:本题考点为函数的有关性质,涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值,第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合．13。【2015高考北京，理14】设函数①若，则的最小值为 ；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．【答案】（1）1，(2)或.【解析】①时，,函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数,当时，取得最小值为1；（2）①若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，，则，函数与轴有一个交点，所以；②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点,当时与轴有无交点，在与轴有无交点,不合题意；当时,,与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值,第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数，讨论要全面,注意数形结合．【反馈练习】1。【2018届辽宁省凌源二中高三三校联考文数】下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）A.B.C.D。【答案】C2.【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研数学（理）试题】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为()A.B.C。D.【答案】D3.【2017届山西康杰中学高三10月月考数学（理)试卷】已知，当时,,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：在上是减函数，故选B．考点：函数的单调性．4.【2018届辽宁省凌源二中高三三校联考理数】已知函数为内的奇函数，且当时,，记，，，则间的大小关系是(）A。B。C.D.【答案】C5.【2017届山东寿光现代中学高三10月月考数学（文）试卷】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，函数的定义域为，,,由解得．因为函数在区间上单调递减，所以，解得．故选A．考点：函数的单调性．6【2018届齐鲁名校教科研协作体高三第一次调研联考】,若对恒成立，则的取值范围为(）A.B。C.D.【答案】A【解析】由于为奇函数,故，可得；因为对恒成立，所以,而=，所以，从而要求，在上恒成立，，故选A。7.【2017届云南曲靖一中高三上月考二数学（理）试卷】若曲线在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是______.【答案】考点:1、函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想；2、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值.8。【2017届山西康杰中学高三10月月考数学(文）试卷】已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是．【答案】或【解析】试题分析:由已知可得，令,要使原命题成立需:或．考点:1、复合函数；2、函数的最值．9。【2017—2018江苏省扬州市邗江区公道中学高一数学第二次学情测试题】设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________。【答案】【解析】定义在上的奇函数在上为增函数，则，且在为增函数,由于，则，函数图象关于原点对称，画出函数的模拟图象可知，不等式的解集为.10.【2017—2018学年江苏省如皋市高一上学期教学质量调研数学试题】若与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是________