2020版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第七章第2节

第

二元一不式组与简单线性规问题最新考纲会从实际情境中抽象出二元一次不等式组元一次不等式的几何意义用平面区域表示二元一次不等式组；会实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题能加以解决.知识梳理二元一次不等式示的平面区域不等式>0≥0

表示区域直线＋By＝0某一侧的所有点组成的平面区域

不包括边界直线包括边界直线不等式组

各个不等式所表示平面区域的公共部分点P于直线两侧的充要条件是＋By11122211C＋By＋C；位于直线＝0同侧的充要条件是＋2211C)>0.22线性规划的有关概念名称

意义线性约束条件由的次不等式方程成的不等式组的约束条件目标函数线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题

关于解析式关于一次解析式满足线性约束条件的解所有可行解组成的集合使目标函数达到最大值或最小值的可行解求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题点提醒]画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界殊点定域：直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原殊点常选原点；若直线过原特殊点常选bb取(0,1)或(1,0)来验证2.判定二元一次不等式表示的区域若B＋By＋时,域为直线＋By＋＝的上方.若B＋By＋时,域为直线＋By＋＝的下方.基础自测1.判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”)不等式AxC表示的平面区域一定在直线

By的上方.)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中几何意义是直ax＋－＝0在y上的截距.)解析

不等式－表示的平面区域在直线－＋10下方z直线ax＋by－z上的截距是【参考答案】×

(2)√

√(4)×3y＋6≥0，2.(必修改编)不等式组y＋

表示的平面区域是()解析

x3y6≥0示直线x3＋60及其右下方部分xy2示直线2222xy20上方部分故不等式表示的平面区域为选项B.【参考答案】By≤x，3.(必修练习T1(1)改编)已xy满足约束条件≤1，＝x＋y＋y≥－1，最大值、最小值分别是()A.3,－3－2

B.2,－4－解析

不等式组所表示的平面区域如图所示.其中A(1,1),(2,C画直线l：y－2x,移l过Bz＝0平移l过点Az＝2.0min【参考答案】C＋≤3，合肥一中月考平面直角坐标系xOy中不等式组≤－≤1形的面积等于()A.1C.3D.4

表示图析

不等式组对应的平面区域如图

,即对应的区域为正方形

ABCD(0,1),(1,0),长AD则正方形的面积S×＝【参考答案】B444444x－2－20，全国Ⅰ卷)若,满足约束条件＋1≥0，则＝3x＋2的最大值为y≤，________.解析

作出可行域为如图所示所表示的阴影区,出直线x2＝并平移该直线,直线过A时目标函zx2得最大值z＝×max＋2×06.【参考答案】6x－y≥0，全国Ⅲ卷)若,满足约束条件－2≤0，y≥，________.

则z＝3x－4y的最小值为解析

画出可行域如图阴影部分所示3z由zx4y,＝－3作出直yx,移使之经过可行域观察可知,直线经过A(1,1)时取最小值故z＝×－4×11.min【参考答案】－1考点一

二元一次不等式(组表示的平面区域【例】北京二模在平面直角坐标系中不等式组32222724732222724724x－y≤0，3y＋20，表示的平面区域的面积是(y≥0

)

32

B.

C.x＋y－2≥0，深圳二模)已知直线y＝－3经过不等式组≤4所表示的平面y≤4区域,实数k的取值范围是()A.，C.，

B.－∞D.－∞解析

(1)出不等式组表示的平面区域是以点O(2,0)(1,顶点的三角形区域,如所示的阴影部分(含边界由图知该平面区域的面积为×2×＝

xy2≥0画出不等组≤4y≤4所表示的平面区域,图所示,线＝kx3过定点M－3),，由－20

解得A(22242224当直线ykx3点A,－347k＝－；0（－2＝4由－＝0

解得B(2,0),当直线ykx3点B,k

－30＝.02由图形知,数k的取值范围是【参考答案】(1)B(2)B规律方法

1.二元一次不等()示平面区域的判断方法：直线定,测试点定域.2.求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；对平面区域进行分析若为三角形应确定底与高若为规则的四边形(如平行四边形或梯),可利用面积公式直接求解为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和.y≤－x＋2，【训练1玉溪模拟)已不等式组－1，所表示的平面区域为面积y≥01等于的三角形,实数k的值为)A.－1B.－

C.

D.1解析

y≤x2由题意知k且不等式组－1所表示的平面区域如图所示.y≥0k11k11k277333k11k11k277333∵直线ykx1的交点为0k1直线ykx1直线－＋2交点为，k1∴三角形的面积为×＝,＋1422解得k1k,检验＝不符合题意∴k1.【参考答案】D考点二角度1

线性规划中的最值问题求线性目标函数的最值

多维探究2x＋＋3≥0，【例2－1(一题多解全国Ⅲ卷)若变量xy满足约束条件＋4≥0，x－201则z＝x＋y的最大值是_解析

法一

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,出直线＝－3x,移该直线,图可知当平移后的直线经过直线＝2直线－2y40交1点A(2,3)＝＋y取得最大值故＝2×3法二

画出可行(上),图知可行域为三角形区域,求得顶点坐标分别为3yx322x1222223yx322x1222221(2,3),(2,7),(将三点坐标代入,知z＝2×3max【参考答案】3角度2

求非线性目标函数的最值【例2－2济南一模)若变量xy满足约束条件大值为()

x≥1，≤0，则的x－2y＋2≥0，A.1

C.

32

D.5x＋y≤2，若变量,y足3y≤9，则＋的最大值是(x≥0，

)A．4C．10解析

B．9D．12(1)不等式组表示平面区域是(1,1),,(2,2)顶点的三角形区(含边界)(略).yx

表示平面区域内的点与原点的连线的斜率,题意得线斜率3y最大,最大值为＝作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)x＋表示平面区域内的点与原点的距离的平方．由图易知平面区域内的点A－1)原点的距离最大所以【参考答案】(1)C线性规划中的参数问题角度3

＋y

的最大值2222x2222x【例2－3

y≥0，西安质检已知实数x,y满足约束条件＋1≤0若目标函y－2＋40.数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个则a值为()A.2C.1或2

B.1D.－解析

画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由zyax(a≠得＝axz因为a≠0,以要使z－得最大值时的最优解有无数个,必有a>0.①当直yax直合,a1直yax轴上的截距最大此时z得最大值,最优解有无数个,合条件线y＋与直线重合时,线＝ax＋在y轴上的截距最小此时取得最小值不符合条件故＝1.【参考答案】B规律方法

1.先准确作出可行,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值一般在平面区域的顶点或边界处取得2.当目标函数是非线性的函数时利用目标函数的几何意义来解题常代数式的几何意义：(1)x＋表示(x,)与原(的距,（x－a）＋（y－b）表示(x,y点(a,b的距离；yy－b(2)表示点(,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(,y)与点a,b连线的斜率.x－a3.当目标函数中含有参数时要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷设的取值范围是()

x,满足约束条件

3x＋2y－6≤0，，则z＝－yy≥0，443442244443442244A．[－C．[0,2]

B．[－D．[0,3]2x－≥0，已知实数x,满足约束条件若＝＋y的最小值为则实数b＝y≥－x＋b，()9

B.

32

C.1

3D.解析

(1)画出不等式组表示的可行(图阴影部分所),合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)取得最小值z＝－＝－在点B(2,0)取得最大值＝202.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.由zxy－2平移直线y－2x,由图可知当直y－2＋z过A时,线y－xz截距最小,z小为3,2＋＝3.＝3由，

解得即A3233又点也在直线yxb上,＝－＋b,∴b.【参考答案】(1)B(2)A****考点三

实际生活中的线性规划问题【例3】国高科技企业生产产品A和产品需甲、乙两种新型材料产一件产品A需甲材料乙材料用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.50.3工时产一件产品A的利润为2100元产一件产品B利润为900元企业现有甲材料150乙材料则在不超过600个工时的条件下产产品AB利润之和的最大值为_______元.解析

设生产A产品x件B品y据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件线性约束条件为≤150，≤90，≤600，≥0，x∈N，≥0，y∈N，目标函数＝2＋900y.作出可行域为图中的阴影部分括边界的整数点中阴影四边形的顶点坐标分别为(在取得最大值,z＝2＋900×100＝216).【参考答案】216000规律方法解线性规划应用题的步骤转—设出约束条件和目标函数而将实际问题转化为线性规划问题；求解——解这个纯数学的线性规划问题；作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案bbbb2.解线性规划应用可先找出各变量之间的关最好列成表然后用字母表示变量,出线性约束条件,出要研究的函数,化成线性规划问题.【训练3】某企业生产甲乙两种产品,售利润分别为千元/件元/件.甲、乙两种产品都需要在AB两种设备上加工生产一件甲产品需用设备2小时设备6时生产一件乙产品需用A设备小时,B设备1小时.,两种设备每月可使用时间数分别为小时小时若生产的产品都能及时售出则该企业每月利润的最大值为()A.320元C.400千元

B.360元D.440千元解析

设生产甲产品x生产乙产品y件利润为千元x≥0≥0则y≤，zx出可行域如图中阴影部分中的整点,出直线6xy≤960

2＋y0,移该直线,直线z＋过直线2＋3y480直线6＋＝960交点(满足∈,y∈N时,取得最大值,360.【参考答案】B[思维升]1.求最值元一次目标函数＝ax＋(ab0)的最值将＝ax转化为直线azz的斜截式：y＝－x＋通过求直线的截距的最值间接求出的最值.最优解在顶点或边界处取得.2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题[易错防]1.画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.bbbbb222bbbbb222z2.在通过求直线的截距的值间接求出的最值时,要注意当b>0时截距取最zz大值时,z也取最大值；截距最小值时,也取最小值；当b时截距取最大值z时,取最小值；截距取最小值时取最大值.直观想象——高考命题中线性规划问题类型探析直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律线性规划问题是在一组约束条件利用数形结合求最优,求解方法活常考常新.类型1

目标函数含参数【例1】

x≥0，设不等式组≥4，所表示的平面区域为,直线＝a＋1)与D3x＋≤4有公共点,a取值范围是_解析

由可行域如图)知直线＝a＋过定点(－1,0).1当直线ya(x1)过x3＝43xy4交点A(1,1)取得最小值；当直线ya(x1)过x03＋＝4交点时,a得最大值故a取值范围为4【参考答案】，评析

1.“目标函数”含参使问题从“静态”化“动态即对线性规则问题融入动态因用运动变化的观点来探究参,此类试题旨在考查学生逆思维及数形结合解决问题的能力2.当“目标函”含参时可先画出可行,然后用数形结合思通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度直观求解.2424类型2

线性约束条件含参【例】

y≥x，已知z＝2＋,其中实数xy满≤2的最大值是最小值的x≥a，倍,a值是()211

B.

14

C.4

11D.解析

作出不等式组对应的平面区域如图：由zxy－2由图可知当直线y－2＋z过点A,线的纵截距最大取最大值＝，，由解得，，

即A(1,1),z＝×＋13.max当直线y－2x＋经过点B时直线的纵截距最小此时最小.，，由解得则点B(a,a，a，∴z＝×＋a3amin∵z最大值是最小值的4,1∴343a,a.【参考答案】B评析

当“约束条”含参时可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线进而确“约束条”中所含有的参数,然画出可行把问题转化为一般形式的线性规划问题.类型3

“隐性”的线性规划问题1222222nntnmax1t2n1222222nntnmax1t2n【例】如果函数f)＝(－＋(n－8)x＋m0,n在区间，递减,mn的最大值为()A.16C.25

81D.解析

f)(mn由已知得：对任意的x∈x≤0,所以f′m0n≥0≤0,f≤0,以≤182＋n≤12.画出可行域,图,mnt,t则当n0,t；当≠时mt由线性规划的相关知识只有当直线2mn与曲线m相切时t得最大值.＝－，由解得n6,t所以()＝＝，【参考答案】B评析

1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”有效实现了知识模块的交汇3要求从题设中抓住本质条件转化为关于“mn”的约束条件2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域抓住可行域中所求点的相应几何意.该题立意新颖在注意基础知识的同渗透了等价转化思想和数形结合思想考查了学生的综合应用能力.基础巩固题组建议用时：35钟)一、选择题25251.已知(－和(4,－6)直线3－2y－的两则a的取值范围为()(－(－(－∞,7)∪＋∞)(－∞,－∪(7,＋∞解析

根据题意知－92)·(1212a)<0,即(＋a得－【参考答案】B2.在平面直角坐标系中不等式组

x≥0，≤2，所表示的平面区域的面积为(x≤y

)A.1C.4D.8解析

不等式组表示的平面区域是以点和(顶点的三角形区(1边界),面积为×2×11.【参考答案】Ax＋≤5，2x－y≤4，天津卷)设变量x,满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的－x＋y≤1，y≥0，最大值为()A.6B.19C.21解析

3不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示出直线＝－,移该y1，直线,经过点时,取得最大值由得＝，

即C(2,3),以＝3×25×321,选min343min343【参考答案】C2x＋3－3≤0，全国Ⅱ卷)设,满足约束条件3y＋3≥0，则＝2x＋y的最小值是y＋≥，()A.－B.9C.1解析

作出不等式组表示的可行合目标函数的几何意义得函数在点(6,－3)取得最小值z＝－12＝－15.【参考答案】Ax＋y≥15.若x,y满足y≤0且z＝3x－的最大值为则实数m的值为3x－2＋2≥0，

)1

B.

C.1解析

zx的最大值2,此时目标函数＝3x2,y3－23－2y20xy1别交于A(2,4),1mx＝0过其中一点所以＝2m,31当m时经检验不符合题意,m【参考答案】Dy3y3x－y≥0，武汉模拟)已知－60，则＝2x＋y－2≥0，

2

＋的最小值是()A.1B.16C.8

D.4解析

作出不等式组对应的平面区域如图设m＋,＝－2xm由图可知当直线y－2＋经过点时,线在y轴上的截距最小,此时m小z最小＝，，由解得即A(1,1),－＝0，m＝×113,＝2＝minmin【参考答案】C成都诊断)已知点M的坐标(,)满足不等式＝－2x＋2上任一点则MN的最小值是()

2x＋－40，－2≤0，N为直线yy－3≤0，

55

B.

255

C.1

D.

172解析

2xy4≥0作出不等式组≤，的可行域如图,y3≤02xy4≥0因为点M坐标(x,)足不等式组≤，N为直线y2x2上任一y3≤0点,所以|MN的最小值就是两条平行直线＝－2x＋2与2＋y40之间的距离,5252|24|＝1＋2【参考答案】B8.某企业生产甲、乙两种产品均需用,两种原料,已知生产吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1甲乙产品可获利润分别为3万元、4元,该企业每天可获得最大利润为)A.12万元C.17万元

吨)吨)

甲31

乙原料限额21228B.16元万元解析

设每天生产甲、乙产品分别为x吨y吨,天所获利润为z万元,则有3x2y≤12≤8目标函数x≥0≥0示,

z,性约束条件表示的可行域如图阴影部分所可得目标函数在点A处取到最大值＝8由2＝12

得A(2,3).则z＝×＋4×318(万元)max【参考答案】D二、填空题9.(一题多解北京卷)若x,y满足＋1≤y≤2x,则2－x的最小值是解析

法一

x1≤2x示的平面区域如图中阴影部分所示zyx易知zy点A处取得最小值,小值为法二

≤－，由题意知2－x－－)＋xy)≥3,y的最小≥0值为3.【参考答案】310.(2018·国Ⅱ)xy________.

x＋y－5≥0，满足约束条＋≥0，则x－≤，

z＝x＋y的最大值为解析

画出不等式组所表示的平面区图中阴影部分所.出直线平移该直线,直线过点B(5,4)时,取得最大值z＝＋＝9.【参考答案】9y≥1，已知实数xy满足x－1，如果目标函数z＝x－的最小值为－则实数x＋y≤＝________.解析

画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,直线lyx,移l可知,直线l过时符合题意233132233132－1，由解得＝－，

.又A(2,3)直线xym,＝5.【参考答案】52x－－6>0，1y－312.已知实数,满足y≥x－3，则z＝的取值范围为x－x＋4≤12，解析

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所

y3x2

表示点与1平面区域内的点,)间连线的斜率.DB(8,1)线的斜率为－