2021-2022学年甘肃省武威某中学高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年甘肃省武威十八中高一(下)期末数学试

卷

1.cos45°•cosl50+sin45°-sinl5°=()

A-2B-TC-TD.V3

2.函数/O)=tan(x+：)的定义域为()

A.[x\xfc/r4-pfcGZ\\B.{x|xH2/CTT+EZ|}

C.{x\x丰kn—三,k£Z\}D.{x\xWkn,k6Z|}

3.为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随

机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间(阅读时间te[0,50])，分组整理数据

得到如图所示的频率分布直方图.则图中。的值为()

A.0.028B.0.030C.0.280D.0.300

4.向量益=(1,1),b=(-1,0),则为与方的夹角为()

A.-B.-C.-D.-

6443

5.设加、〃是两条不同的直线，a、/?是两个不同的平面，则下列命题正确的是()

A.若m〃a,n//a,贝ijzn〃几B.若zn〃a,m"(i,贝ija〃3

C.若m〃九，mla,则几_LaD.若?n〃a,al/?,则TH_L/?

6.已知平面直角坐标系内△ABC三个顶点的坐标分别为4(—1,1),8(2,3),以一6,5),

。为BC边的中点，则同=()

A.(-3,2)B.(-1,3)C.(-3,5)D.(-2,4)

7.如图，在正方体ABCD-AiBiGDi中,M,N分别为AC,

的中点，则异面直线MN与CCi所成角的大小为(

A.30°

B.90°

C.45°

D.60°

8.长方体的长，宽，高分别为3,V2,1,其顶点都在球。的球面上，则球。的体积

为（）

A.4百兀B.127rC.48兀D.32b兀

9.已知向量4=（2,-1）1=（14）1=（一3,2）,则下列结论正确的有（）

A.若E//c,则t=|

B.若五1b,则t=2

C.（a+b）-（b+。的最小值为一

D.若百花的夹角为锐角，则t>2

10.在△4BC中，角4,B,C所对的边为a,b,c,则下列说法正确的有（）

C.4>B,则a>bD.A+B+C=n

11.为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具,

他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分

布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（）

A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟

B.骑车时间的众数的估计值是21分钟

C.坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟

D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

12.已知函数/'（%）=2sin®x+s）（3>0,|桃|<J）图象的一条对称轴方程为x=£,与

26

其相邻对称中心的距离为9则（）

4

A.f（x）的最小正周期为兀B.f（x）的最小正周期为2兀

CW=*D.0=

13.已知角a是第四象限角，cosa=贝Usin2a=.

14.复数2=言（其中i为虚数单位），化简后2=.

15.如图，网格纸由若干个边长为1的小正方形构成，在其上用粗实线画出了其空间几

何体的三视图，则该几何体的体积为.

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16.表面积为47。血2的球的体积是cm3.

17.复数z=(巾2一1)+(7n2一7n一2)刀m为实数,求满足以下条件的〃z的值.

(l)z为实数；

(2)z为纯虚数.

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=l,b=2,cosC=：.

(回)求c的值；

(团)求△ABC的面积.

19.已知平面向量沅=(V3sinx,cosx),n=(cosx,cosx),函数/(x)=m-n.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求函数/(x)在区间［0,§上的值域.

20.如图，在棱长为a的正方体4BCD-ABiQDi中，E、F、P、Q分别是BC、G。1、

4。1、8。的中点.

(1)求证：PQ〃平面DCG5；

(2)求证：AC1EF.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查两角差的余弦公式，属基础题.由两角差的余弦公式和题意可得答案.

【解答】

解:由两角差的余弦公式可得cos45°,cosl5°+sin45°-sinl5°

V3

=cos(45°—15°)=cos30°=—

故选：B

2.【答案】A

【解析】解：对于函数/'(x)=tan(x+》，因为x+三力/ot+€Z,所以xKk?r+

"ez，

故/'(x)的定义域为｛x|xkn+^,kG.Z|),

故选：A.

由题意，利用正切函数的定义域，求出结果.

本题主要考查正切函数的定义域，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由频率分布直方图得：

(0.006+a+0.040+0.020+0.006)x10=1,

解得a=0.028.

故选：C.

由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a.

本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

4.【答案】C

【解析】解：；五.b=-1,|五|=/,Ib|=1，

，一r、豆万

•.SO丽y,且〈五花＞€[0,网,

t-3n

•••Vci,b>=――.

4

故选：C.

可根据向量五1的坐标求出五了,|五|和|方|的值，从而可求出cos＜4花〉的值，然后即

可求出〈心B＞的值.

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本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余

弦公式，考查了计算能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：A、m//a,n//a,则m〃兀，与"可能相交也可能异面，所以A不正确；

B、m//a,m〃0,贝还有a与0可能相交，所以8不正确；

C、m//n,m1a,则nla,满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确.

D、m//a,a10,则mJL，，也可能m〃0,也可能加0/?=4所以力不正确；

故选：C.

用直线与平面平行的性质定理判断A的正误;用直线与平面平行的性质定理判断B的正

误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断。的正

误.

本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力.

6.【答案】B

【解析】解：•••8(2,3),C(—6,5),。为BC边的中点，

•••£>(-2,4),

•••AD=(-2+1,4-1)=(-1,3).

故选：B.

根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解.

本题主要考查平面向量的坐标运算法则，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，所在

直线为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-43也1。1中棱长为2,

则N(1,O,1)，C(2,2,0),G(2,2,2),

丽=(0,-1,1),苑=(0,0,2),

设异面直线与CG所成角为。，

则cos。=㈣包==。=45。，

\MN\-\CCt\V2X22

••・异面直线MN与CG所成角的大小为45。.

故选：C.

以点A为坐标原点，A8所在直线为x轴，AO所在直线为)，轴，4公所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与CC］所成角的大小.

本题考查异面直线所成角的定义、正方体的结构特征、向量法等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

8.【答案】A

【解析】解：•.•长方体的长，宽，高分别为3,V2,L其顶点都在球O的球面上，

球O的半径为叵事*=V3,

二体积V=4"?：=4百兀.

故选：A.

求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积.

本题考查了长方体外接球的体积计算，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：对于4,••-K=(l,t),c=(-3,2),b//c,

2+3t=0,解得，=一|,故A错误，

对于B,若五1b,

则2—t=0,解得t=2,故B正确，

对于C,a.=(2,—l'),b=(1,t),c=(—3,2),

五+b=(3,t—1),/?+c=(—2,t+2),

(a+K)-(K+c)=t2+t-8=(t+1)2-y>-故C正确，

对于。，若乙石的夹角为锐角，

贝喝'I。，解得C"故。错误•

故选：BC.

对于A,结合向量平行的性质，即可求解，

对于8,结合向量垂直的性质，即可求解，

对于C,结合平面向量的数量积公式，即可求解，

对于£>,结合平面向量的夹角公式，以及向量平行的性质，即可求解.

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本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量平行，垂直的性质，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：在三角形中，大角对大边，所以C选项正确.

三角形的内角和为7T,所以。选项正确.

由正弦定理得a：b：c=sin/l：sinB：sinC,所以A选项错误.

设高=导=就=%

则•=k=B选项正确•

si.n4工+si匕nF+：si.nC，=sinA+sin需B+sin阴Cs\nA

故选：BCD.

结合三角形的性质、正弦定理即可求得正确答案.

本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：根据频率分布直方图可得骑车时间为22分时的频率为0.6不是0.5,

所以中位数估计值不是22分钟，所以A错；

根据频率分布直方图可得骑车时间的众数估计值为空式=21,所以B对；

根据频率分布直方图可得坐公交车时间的40%分位数的估计值是竺罗=19分钟，所以

C对；

根据频率分布直方图可得坐公交车时间、骑车时间平均数的估计值分别为(13+27)x

0.05+(15+25)x0.1+(17+23)x0.15+(19+21)x0.2=2+4+6+8=20、

19x0.2+21x0.4+23x0.3+25x0.1=21.6>20,所以。对.

故选：BCD.

根据频率分布直方图计算出坐公交时间的40%分位数的估计值、平均数及骑车时间的中

位数、众数、平均数，即可判断正确选项.

本题考查频率分布直方图中众数、中位数、平均数、百分位数求法，考查数学运算能力，

属于基础题.

12.【答案】AC

【解析1解：由已知可得I=所以7=兀，故4正确，B错误,

44

则3=2,所以f(x)=2sin(2x+租)，

令2义三+(p=上+kmkWZ,解得(p=三+k/r,k£Z,又|0|v3

6262

所以w=m，故C正确，。错误，

6

故选:AC.

由已知以及正弦函数的图像性质即可求出函数的周期，由此即可判断选项A,B,再根

据对称轴以及正弦函数的对称性即可求出9的值，由此即可判断选项C,D.

本题考查了三角函数的周期性以及对称性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

13.【答案】

【解析】解：因为角a是第四象限角，cosa=I，

所以sina=-Vl-cos2a=—|,

_.3424

则sin2a=2sinacosa=2x(―-)x-=——.

故答案为：—蓑

由已知利用同角三角函数基本关系式可求sina的值，进而利用二倍角的正弦公式即可求

解sin2a的值.

本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用,

属于基础题.

14.【答案】1+i

【解析】解：复数z=^

1+1

2i(l-i)

=(1+0(1-0

_2+2i

二2

=1+i,(i为虚数单位).

故答案为：1+i.

把复数z=2分母实数化即可.

1+1

本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题.

15.【答案】16TT

【解析】解：由三视图可知该几何体为底面半径r=2,高九=4的圆柱，

二该几何体的体积为：nr2h.=兀X4x4=167r.

故答案为：167r.

由三视图可知该几何体为底面半径r=2,高九=4的圆柱，再根据圆柱的体积公式即可

求解.

本题考查几何体的三视图，圆柱的体积公式，属基础题.

16.【答案】y

【解析】解：表面积为47TC7n2的球的半径为r,所以4什2=4TT,所以r=1,

所以球的体积为：yXl3=^(cm3).

故答案为：拳

求出球的半径，然后求解球的体积.

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本题考查球的表面积以及球的体积的求法，是基础题.

17.【答案】解：(1)若z为实数，则?2=0,解得m=-1或m=2；

(2)若z为纯虚数，则Tn?—1=o且7n2一加一240,解得瓶=1.

【解析】(1)由虚部为0列式求解，"值；

(2)由实部为0且虚部不为0列式求解.

本题考查复数的基本概念，是基础题.

18.【答案】解：(团)因为Q=l,b=2,cosC=i,

所以由余弦定理可得c2=M+/_2abcosC=l2+22-2xlx2xi=4,可得c=2.

4

(团)因为sinC=V1-cos2C=Jl一铲=手，

所以△ABC的面积S=|a/)sinC=|xlx2x^p=^.

(解析】(团)由已知利用余弦定理即可求解c的值.

(团)利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中

的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

19.【答案】解：(l)/(x)=m-n=V3sinxcosx+