2021-2022学年河南省豫西名校高一（下）段考数学试卷（四）（附答案详解）

2021-2022学年河南省豫西名校高一(下)段考数学试卷

(四)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.复数z=(-1+3i)(2-i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知角a的终边与单位圆交于点则sina=()

3.在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB=|,b=4"，c=5,

则a=()

A.6B.7C.8D.4>/2

4.为了得到函数/(%)=2sin(2久一》的图象，只需将函数g(x)=2sinx的图象()

A.所有点的横坐标缩短到原来的右纵坐标不变，再将所得图象向右平移卷个单位

长度

B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移“个单

位长度

C.向右平移?个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

D.向右平移卷个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的右纵坐标不变

5.设W(—且sina=叵，sinp=——,则a—/?=()

2210/5

A.；B.C.；D.牺一；

6.已知向量W与方的夹角为60。,且国=2,|五一2万|=28，则|石|=()

A.V5B.1C.2D.4

7,下列四个函数中，在区间G，兀)上单调递增，且最小正周期为兀的是()

A.y=—sin2xB.y=|cosx|C.y=|sinx|D.y=sinj

8.在等边△ABC中，。为重心，。是。B的中点，则而=()

A.AB+ACB.C.+-ACD.~AB+：AC

322436

9.某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，

在坡脚4处测得NPAC=15°,沿土坡向坡顶前进25nl后

到达。处，测得4Poe=45。.已知旗杆CP=10m,PB1

AB,土坡对于地平面的坡度为。，则cosO=()

A.迎-1B,V3-1C.亨D・亨

10.已知函数/'(x)=2sin(a)x+(p)(3＞0,\q)\＜兀)的部分图象如

图所示，若a是第三象限角，且/(a)=l,贝ijsina=()

D.-1

11.飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人

们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸

片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四

边形拼成.在四边形4BC。中，CM1OC,OA=OC=4,

AC1BC,AC=BC,点P是八边形ABCQEFGH内(不含边

界)一点，则瓦彳•而的取值范围是()

A.(-16,48)B.(-48,16)

C.(-16V5.48V5)D.(-4875,1675)

12.已知/1(X)为奇函数，/(尤+兀)为偶函数，且当工€[0,兀]时，f(x)=sing豉a=

/(20227T),b=f(sin§,c=/(3.5),则()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知sinC-8)=g,。e((),]),贝l]sin8=.

14.已知函数/(x)=tan(x+0)的图象关于点《,0)中心对称，则s的一个值可以是

15.已知复数z是关于x的方程好一ax+b=0(a,b6R)的一个根，若言＜。，且|z|=

V5，则a+b=.

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16.在44BC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=8,7sinBsinC+9cosA=0,

则44BC面积的最大值为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知复数Zi满足(l-2i)zi=l+2i.

(1)求Zi的共辗复数兀；

(2)若复数Z2的虚部为1,且为+?是实数，求忆2|.

z2

18.已知向量有=(-3,1),\b\=1.

(1)若五〃a求方的坐标；

(2)若(2五+B)1(a-5h).求方与石夹角的余弦值.

19.已知函数/(")=2s讥(2x-；).

(1)利用“五点法”完成如表的表格，并画出f(x)在区间?，?］上的图象；

66

X

(2)解不等式/(x)>1.

20.已知函数f(x)=2y/2sinxcosx+V2cos2x-V2sin2x.

(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

(2)证明：当为6［一^,§时，/(x)<x2-2x+3.

21.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。是△ABC的外心，acos(C-；)=

布亚AOAC

丽十丽

(1)求角4

(2)若△4BC外接圆的周长为4遮兀，求△ABC周长的取值范围.

22.已知函数/'(%)=cos(3x+0)(0<3<2,［如W1),对于任意x()€R,都有/(x())W

I展)1，且/(瑞)=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)=f(x)+2s讥(x-》+2a2在弓,9］内有3个零点，求a的取值范

围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=(-1+3t)(2-i)=-2+3+6i+i=1+7i.

复数z在复平面内对应的点(1,7)位于第一象限，

故选：A.

利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论.

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.【答案】C

【解析1解：由题意在单位圆中，可得(-J)2+m2=l,解得m=土也，

33

所以sina=+—>

-3

故选：C.

由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.

本题考查单位圆与任意角的正弦函数定义，考查数学运算的核心素养，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：因为从=a2+c2—2accosB,

所以(4企/=a2+52-2x5x|a,

解得a=7.

故选：B.

直接利用余弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：将函数g(x)=2stnx图象所有点的横坐标缩短到原来的：，纵坐标不变，

可以得到函数y=2sin2x的图象，

再将所得图象向右平移盘个单位长度，可以得到函数/⑸=2s讥2(%-勺=2sin(2x-

勺的图象.

D

故A正确.

故选：A.

由题意利用函数y=Asin(a)x+卬)的图象变换即可求解.

本题考查三角函数图象的平移变换，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为sina>0,sinp<0,所以0<a<：,

易知cosa=^^,cos0=臂~，0<a—<n,

则cos(a-S)=迹x2+且x(3)=乌

故a-0=3,

故选：A.

根据两角和与差的余弦公式，结合角度的范围求解即可.

本题考查两角和与差的余弦公式，考查数学运算的核心素养.

6.【答案】C

【解析】解：a'K=2x|K|xcos60°=|b|>

又|2一2b|=2百'a2—4a-b+4b2=12-

...4-4|K|+4|K|2=12,解得=2或=一1(舍去)，

|方|=2，

故选：C.

根据平面向量数量积的定义与性质建立方程即可求解.

本题考查平面向量数量积的定义与性质，方程思想，属基础题.

7.【答案】B

【解析】解：y=—sin2x在区间€，兀)上不单调，4不符合题意；

y=|cosx|在区间兀)上单调递增，且最小正周期为兀，B符合题意;

y=|sinx|在区间g,兀)上单调递减，C不符合题意；

y=sin|的最小正周期为4兀，。不符合题意.

故选：B.

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结合正弦函数的性质分别判断各选项即可.

本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：在等边△ABC中，。为重心，。是0B的中点，

设E是4c中点，

------>>------>>1…，-----»1----->-----»7----->1»

力D=48+80=48+=48+士(84+AE)=*48+

3336

故选：D.

设E是4c中点，结合。为重心，。是。8的中点，然后求解即可.

本题考查平面向量的基本定理，考查数学运算的核心素养，是基础题.

9.【答案】D

【解析】解：在△PAD中，Z.APD=45°-15°=30%

由正弦定理得PD=A0-sinl50=——=>咚，

'&匹sin4PD2cos15°V6+V2

在APDC中，PC=10,故sin/PCC=・PD=

PC4

因为cos。=sinzPCD,所以cos。=①三

4

故选：D.

先在△PA。中利用正弦定理求出PD,再在△PDC中求出sin/PCO,则cos。可求.

本题考查解三角形的实际应用，考查数学建模的核心素养，属于中档题.

10.【答案】C

2sin(p=—1

【解析】解：由图象可得,经过点(0,-1)和©，2),代入解析式可得

2sin(詈+0)=2'

(P-.......F2/OT,kGZ

6

结合图象解得7l(i)71—.,„,

~—F0=5+2kn,kEZ

又因为公>0,\(p\<7T,7=含>g，

所以—/(%)=2sin(2x

(a)=26

因为f(a)=2sin(2a-g)=1,即sin(2a

662

所以2a—J=2时,k£Z或2a—£="+2/CTT,kEZ,即1=^+时,keZ^La=

oo66o

+kn,kEZ.

因为a是第三象限角,

所以1=卫+2k兀，kEZ,sina=sin—=

662

故选：c.

由题意f(x)经过点(0,-1)和C，2),又3>o,|0|<兀，7=温W，可求?:二,可

求函数解析式为f(x)=2sin(2x-£),进而可得sin(2a-?)=；，进而由a是第三象限角，

o6N

可求a=?+2/czr,kGZ,即可求解sina的值.

6

本题考查三角函数的性质，考查逻辑推理、数学运算的核心素养，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】解：如图所示，延长。4至点M,作HM14M,

延长OE至点N,作ONJ.EN,过点P作PQ14E,垂足为Q.

易知AM=EN=4,|市|=4.OA-AP=OA'(AQ+QP)=

OA-AQ,

由运动变化思想知Q分别在M、N处时两.而取得最值，

当点Q与点M重合时，OAAP=16;

当点Q与点N重合时，OA-AP=-48.

故瓦？.”的取值范围是(-48,16).

故选：B.

根据运动变化思想，找到变量的两个极端位置即可求解.

本题考查平面向量数量积，运动变化思想，属基础题.

12.【答案】B

【解析】解：因为f(x)为奇函数,/(%+兀)为偶函数，所以=一/(一乃①，f(x+兀)=

f(-X4-7T)(2).

由①②可得/'(X)=+4兀)，故f(x)的周期为47r.

a=/(2022m)=/(2m)=/(0)=0.

因为/Q)=si吟在［0,手上单调递增，在百向上单调递减，

所以b=f(sing)=唔<%)=/(〃)，且b>0.

因为牛<2n-3.5<n,所以c=f(3.5)=f(2n-3.5)>f(n),

故c>b>a.

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故选：B.

由已知结合函数的奇偶性及对称性先求出函数的周期，结合周期进行转化，再由正弦函

数的单调性即可比较函数值大小.

本题考查函数的性质综合，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

13.【答案】巨

2

【解析】解：因为sin6-e)=5

所以cos。=

因为。6(0(),

所以si/ig=V1-cos20=—.

2

故答案为：逅.

2

利用三角函数的计算公式，即可解出.

本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题.

14.【答案】一在答案不唯一)

【解析】解：因为f(x)的图象关于点《,0)中心对称，

所以g+kEZ,则9=—g+kEZ.

6262

故答案为：-久答案不唯一).

由正切函数的对称性求解即可.

本题考查正切函数的图象与性质，考查数学运算的核心素养.

15.【答案】1

【解析】解：••・六＜0,

2—1

・••可设z=k(2—i)=2k—kt,kV0,

v\z\=后

・•・4k2+(—k)2=5k2=5,解得/c=-1,

・•・z=-2+i,

,•,复数z是关于％的方程%2-a%+ft=0(afbGR)的一个根，

・•.复数z是关于％的方程/一ax+b=0(a,beR)的另一个根，

,IM套二葭。解得a…—，

・•・a+b=—4+5=1.

故答案为：1.

根据已知条件，设出Z,再结合复数模公式，求出Z,再结合一元二次函数在复平面中的

复数根互为共枕复数，即可求解.

本题主要考查复数模公式，以及一元二次函数在复平面中的复数根互为共辅复数，属于

中档题.

16.【答案】12

【解析】解：7sinBsinC+9cosA=0,cosA=-cos(F+C),

:.IsinBsinC—9cos(B+C)=0,即7sinBs讥C—9cosBcosC+9sinBsinC=0,

•••16sinBsinC=9cosBcosC,

要使△ABC面积取得最大值，则九应取得最大值,

h(tanB+tanQ

a=BC=BD+CD

tanBtanCtanBtanC

99

atanBtanC

：•ht=-----------------------2-------<2当且仅当tcmB=tanC=|时,

tanB+tanCtanB+tanC2\ltanBtanC

等号成立,

八的最大值为3,

力BC面积的最大值为/X8x3=12.

故答案为：12.

根据已知条件，结合三角函数的恒等变换,求出tanB-tanC=白，再结合基本不等式

16

的公式，以及三角形的面积公式，即可求解.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

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(1+2y_-3+4i34.

17.【答案】解:⑴Z1Z1=-I

(l-2i)(l+2i)-555

(2)复数Z2的虚部为1,设Z2=a+i,aER,

3.44_3.4aA4

则Zi+g=

z2"三+芯=二+不+1一对

因为Zi+2是实数，所以：一二7=0,解得。2=4,

Z25a,+l

故忆2|=Va2+I2=V5.

【解析】（1）由已知结合复数的四则运算进行化简，然后结合共规复数概念可求；

（2）由已知结合复数的基本概念及复数的模长公式可求.

本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式，还考查了复数的基本概念，属于基

础题.

18.【答案】解：（1）设b=（x,y）>

因为㈤=1，所以

11U4-3y=0

fx=_^2=

解得^10或1%.

|x<10\/10

故石=（—粤,甯）或方=（粤,—曝）.

（2）1a|=710，

因为（2万+石）1（a-5K）.所以（21+方）•0一59）=0>

即2方2一94%—5片=0，解得五不=|.

设立与方的夹角为。，则cos。=器=日.

故五与方夹角的余弦值为四.

6

【解析】⑴设B=（x,y）.由|石|=1，列方程组3r=由此能求出结果.

（2）|a|=VTU.由（2方+3）J.位一5加），得五・方=|•利用向量夹角余弦公式能求出有与方夹

角的余弦值.

本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等

基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

(2)由题意不等式BPsin(2x-=)>i,

令巴+2kn<2%--<—4-2kn,kEZ,解得巳+fc/r<%<^+kn,kEZ.

636412

故不等式f(%)>1的解集为弓+k兀，工+k扪(keZ).

【解析】(1)利用列表法，结合五点作图法进行取值作图.

(2)由题意可得sin(2x-$2去利用正弦函数的性质即可求解.

本题主要考查了三角函数的性质以及五点法作图，考查了函数思想和数形结合思想的应

用，属于基础题.

20.【答案】(1)解：/(%)=2y/2sinxcosx+V2cos2x—V2sin2x=V2sm2x+42cos2x=

2sin(2x+)

故/'(x)的最小正周期T=含=兀，

令+［2k兀*,2"+Jkez,则Xe［An•一拳面+§,kez,

故f(x)的单调递增区间为［-萼+k7T,g+k初(k6Z).

(2)证明：令t=2x+?,

因为X6|~U所以2x+卜€争,即［一上拳,

因为y=sinx在［一?勺上单调递增，在邑由上单调递减，

所以sin(2x+》WsinF=l,即/'(x)W2,当且仅当2尤+：=a即x时，等号成立，

而%2-2%+3=(%-I)24-2>2,当且仅当％=1时，等号成立，

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因为/'(x)W2与久2+2x+322中等号成立的条件不同，所以/'(x)</-2X+3,得

证.

【解析】(1)化简可得/(x)=2sin(2x+朝，再根据正弦函数的周期性和单调性，得解；

(2)由工€[-%：],可得2x+?的取值范围，再根据正弦函数的单调性，求得的最大

值及此时x的值，然后由配方法求得y=/-2x+3的最小值及此时x的值，即可得证.

本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的单调

性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)在AABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,点。是AABC的

/.IArr-isiAO'^BcAOACb,AO-AB,AOAC

外心,所以两=5'两=5.aC0S(zzc-?)=W+W

化为：acos(C_7)=-7-，^P-acosC+—asinC=—.

3Z2222

由正弦定理可得si九4cosc+V3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,

^9sinAcosC+V3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC-

由sinCH0,化简得"x/5si九4=cosA+1，即sin(/—7o)=z

因为所以4*=?即4=:

666663

(2)因为△ABC外接圆的周长为4b兀，所以△ABC外接圆的直径为4K.

由正弦定理得就=4g,则a=4bx?=6.

由余弦定理得36=h2+c2—2bccosA=(b+c)2—3bc.

因为3bc=(b+c)2-36W3x(等)2,所以；(b+c)2g36,即b+cW12,当且仅当

h=c时，等号成立.

又因为b+c>a=6,所以6Vb+c412»则12VQ+Z?+c工18.

故△48C周长的取值范围为(12,18].

【解析】(1)通过鬻警=2化简已知条件，结合正弦定理，以及两角和与差