结构力学位移法的计算

结构力学位移法的计算1第一页，共一百一十一页，2022年，8月28日第二页，共一百一十一页，2022年，8月28日第三页，共一百一十一页，2022年，8月28日第四页，共一百一十一页，2022年，8月28日第五页，共一百一十一页，2022年，8月28日第六页，共一百一十一页，2022年，8月28日1）位移法的基本未知量是结构内部刚结点（不包括支座结点）的转角位移或结点之间的相对线位移。2）选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结构的变形协调条件：位移法的典型方程是力（其中包括力矩）的平衡方程，满足了结构中力的平衡条件。3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系。为了顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。小结：第七页，共一百一十一页，2022年，8月28日第八页，共一百一十一页，2022年，8月28日第九页，共一百一十一页，2022年，8月28日第十页，共一百一十一页，2022年，8月28日第十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日第十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日§8-2

等截面直杆的刚度（转角位移）方程一.

符号规则:1．杆端弯矩:

规定杆端弯矩顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩具有双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉侧。MBAMCB

ABCMBC第十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日第十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日1.

两端固定的梁:()二.等截面直杆的刚度（转角位移）方程ABEIABEIMABMBAAiBAiBABiMABMBA第十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日

式中系数4i、2i、6i/l

称为刚度系数，即产生单位杆端位移所需施加的杆端弯矩。由上图可得：可以写成为：上式就是两端固定的梁的刚度（转角位移）方程。第十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日2.

一端固定，一端滚轴支座的梁:

BAEIBAiBAi第十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日3.

一端固定，一端定向滑动支座的梁：BAEIMABMBA第十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日4.

等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA第十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日BAMABMBA3)2)BAMABMBAABMABABMAB第二十页，共一百一十一页，2022年，8月28日第二十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日第二十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日第二十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日第二十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日§8-3

无侧移刚架和有侧移刚架的计算一.采用位移法求解无侧移的刚架有两种建立位移法方程的方法：1）直接列方程法：直接利用平衡条件建立位移法的典型方程。2）典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。第二十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日解：例8-3-1

采用位移法求作图示刚架的M图，已知各杆的EI

相同。1.

直接列方程法:直接利用结点的力矩平衡条件来建立位移法的一般方程。1）确定基本未知量为：θB

和

θD()()ABCDEiiii第二十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日第二十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日b)

由于θB

产生的杆端弯矩θBABCDEiiii第二十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日ABCDEiiiic)由于θD

产生的杆端弯矩第二十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日叠加以上三种情况下的杆端弯矩，其表达式为:第三十页，共一百一十一页，2022年，8月28日3）建立位移法方程，并求解：由结点B和结点D的平衡条件，可得：12MDBMDCMDEDMBDMBAB第三十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日第三十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日2.典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。解:1）确定基本未知量的个数，并选取基本体系:

容易确定此刚架只有两个结点的转角位移为基本未知量：和，选取基本体系如下图所示。ABCDEiiii基本体系第三十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日第三十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日第三十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日ii）求方程中的系数和自由项：4）回代入方程中，求解得：5）采用叠加法作弯矩图：如前图所示。r11=8i，r12=r21=2i，r22=8i，R1P=10.67，R2P=32.00。第三十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日r11=8i，r12=r21=2i，r22=8i，

上述刚度系数实质上是刚结点附加转动约束上产生的反力矩。由于原结构并没有附加转动约束，各附加转动约束上的反力矩之和应等于零。据此可以建立位移法典型方程。

位移法典型方程的物理意义：刚结点处附加转动约束上的反力矩之和等于零。所以，方程右端恒等于零。位移法典型方程的实质是力的平衡方程。R1P=10.67，R2P=32.00。总结:第三十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日

1.

直接列方程法:利用平衡条件建立位移法方程。二.采用位移法求解有侧移的刚架例8-3-2

采用位移法求作图示刚架的内力图。解：1）基本未知量：()，()2）列出杆端弯矩表达式:14kNEI2EI4EIEABCDii/22i2kN/m第三十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日第三十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日第四十页，共一百一十一页，2022年，8月28日第四十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日解方程组①、②，得:4）作内力图:第四十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日第四十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日解:1）确定基本未知量的数目，并选取基本体系:2.

典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。

容易确定此刚架只有结点D的转角位移和杆件EB两结点之间的相对线位移为基本未知量，即：

选取基本体系如下图所示。EABCDii/22i基本体系第四十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日第四十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日第四十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日第四十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日ii）求方程的系数和自由项：r11=5i，r12=r21=0.75i，r22=0.75i，R1P=14，R2P=3。4）回代入方程中，求解得：5）采用叠加法作弯矩图：如前图所示。第四十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日§8-4

对称结构的简化计算

结构对称是指结构的几何形状，支座条件，材料性质以及各杆刚度EA，EI，GA均满足对同一个轴对称。

利用结构的对称性进行简化计算，其基本思路是减少采用位移法计算的基本未知量的个数。一.

奇数跨的刚架

分析与对称轴相交截面的位移条件，从而根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。第四十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日

对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均是对称的。

在取半边结构时，C截面加上定向滑动支座，此时应将横梁的线刚度加倍。未知量取半边结构

FP

FP

B

i2

i1i1D

C

AE2i2

i1C

FPD

A1.对称荷载:第五十页，共一百一十一页，2022年，8月28日未知量GEDF

i

i1i2ii1i2i

FP

FPB

ACKH2i

C

i

i1

i2

FP

ADFH第五十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日未知量

B

FP

FP

i2

i1

i1

C

D

E

A2i2

A

FP

i1DC第五十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日未知量

2i2

i1C

FPAD

FPBi2

i1

FPC

i1EDA

在取半边结构时，C截面加上可动铰支座，此时应将横梁的线刚度加倍。2．反对称荷载:

对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均是反对称的。第五十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日二.偶数跨的刚架

偶数跨的刚架不存在与对称轴相交的截面，其中一根杆件为对称轴。1.对称荷载：未知量B

FP

FPi2i

ii2i1FEDCA

C

FPi2

iAE

在取半边结构时，C截面加上固定支座，此时应将横梁的线刚度加倍。第五十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日2.

反对称荷载：IFPCEADFPFPCIIFEDBAFPCIADEdlFPFPCIIADBEF第五十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日

可以将中间杆件分成惯性矩各为I1/2的两个杆件，两杆件间的跨度为dl，则原结构变为奇数跨结构。

利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论，就可以得到图示的从中间劈开的半刚架的简化结果。第五十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日例8-4-1

试利用对称性求作图示对称结构的M

图。三.举例解：M=0

FP/2FP/22i1i0i0i1i1i0i0i1i12i1FP/2FP/2FPi0i1i12i1i0结构对称非对称荷载=正对称荷载+反对称荷载第五十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日第五十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日第五十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日第六十页，共一百一十一页，2022年，8月28日四.对称温度变化时的求解1.奇数跨刚架取半边结构求解。I1I1IB30。C30。C30。C10。CIBI1CA未知量()30。C30。C10。C第六十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日2．偶数跨刚架例8-4-3

作下图a)示结构M图。刚架各杆为矩形截面，截面高为0.6m，各杆EI相同。解：()取如图b)半边结构，未知量为。b)ACDl=6m

h=4m

Bt2=-30C°

a)t2=-30CABCDEFl=6m

l=6m

h=4m

t2=-30C°

t2=-30C°

t1=10C°

t1=10C°

t2=-30C°

°

t2=-30C°

t1=10C°

t1=10C°

第六十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日1）各杆两端相对侧移杆AB缩短杆CD伸长杆BC缩短则AB、BC杆相对侧移为:c)ABCDt0=-10C°

t0=-10C°

t0=10C°

第六十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日2）求固端弯矩d)ACDl=6m

h=4m

B△t=40C°

△t=40C°

△t=0C°

相对侧移产生的固端弯矩为:

杆两端温差产生的固端弯矩为:第六十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日3）杆端弯矩表达式：4）建立位移法方程并求解：第六十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日第六十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日§8-5支座移动、温度变化及具有

弹簧支座结构的计算一.支座移动时的位移法求解解题思路：1）锁住结点，即令结点位移未知量等于零；2）令结构产生已知的支座移动，此时各杆产生固端弯矩；3）令结构分别产生结点位移，此时各杆产生杆端弯矩；4）叠加2)、3)的结果就求得各杆最终的杆端弯矩。第六十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日例8-5-1

作下图示结构M

图。解：()未知量。1）杆端弯矩表达式△ABCEIEIllA△BCEIEIllABCEIEIll第六十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日2）建立位移法方程并求解3）作弯矩图第六十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日第七十页，共一百一十一页，2022年，8月28日第七十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日第七十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日第七十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日3）建立位移法方程并求解取隔离体如下图示，先求剪力FQBA、FQCD

。1ADMABMDCFPFQBAFQCDBC第七十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日第七十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日第七十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日例8-5-3

作下图示连续梁的M图。1）未知量解：qEIABEICll()()第七十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日第七十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日3）建立位移法方程并求解取BC杆作为隔离体，求剪力FQCB

。21C△

MBCFQBCFQCBB第七十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日第八十页，共一百一十一页，2022年，8月28日三.温度变化时的计算在温度变化影响下，杆件轴向变形不能忽略。例8-5-4作右图示刚架M图。解:1）未知量2）杆端弯矩表达式ABCEIEI４m４mbh=0.5mt1=30C°

t1=30C°

t2=-10C°

θB＝0,△=0时由温度变化产生的固端弯矩；△=0时由

产生的杆端弯矩；θB＝0时由△产生的杆端弯矩。123()()第八十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日第八十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日由相对侧移产生的固端弯矩：由杆两侧温差产生的固端弯矩：第八十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日总的固端弯矩为杆端弯矩表达式为第八十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日3）建立位移法方程并求解取隔离体，求剪力FQBA

：21AMBAMABFQBABC第八十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日第八十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日§8-6斜杆刚架的计算

解带斜杆的刚架，关键是如何确定斜杆两端的相对侧移。

确定斜杆两端的相对侧移需要画位移图。其思路是：根据已知两个结点线位移的大小和方向确定第三个结点的线位移。

如下页图示装置，已知结点A、B线位移的大小和方向，求结点C的线位移。第八十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日多边形为所求位移图。B′

C

A

B

C2

A′

C′

△A△A△B△BC1

C

C2

C′

C1

为此，将AC、BC杆在C结点拆开，CA杆平移到，CB杆平移到。然后，杆绕旋转，杆绕旋转，两杆交点为，则即为结点C的线位移。第八十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日B′

C′

△B△CA′

△AO

3）C结点线位移为。右图即为所求的位移图。作位移图具体步骤：2）过A′作AC垂线，过B′作CB垂线，两垂线交点为C′。1）取极点O，过O作与平行线，并截取，。第八十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日第九十页，共一百一十一页，2022年，8月28日4）建立位移法方程并求解结点B13）杆端弯矩表达式第九十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日取AB杆为隔离体，求剪力FQBA

。A

B

C

o

MBAMABMBAFQBAFPFyC考虑BC部分平衡：2第九十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日第九十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日第九十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日2）画位移图，确定各杆相对侧移。

3）杆端弯矩表达式B′

C′

△4）建立位移法方程并求解第九十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日考虑ABC部分平衡：取杆BD为隔离体，求剪力FQBD

。A

B

C

D

1kN/m

MDBMCBFQDBFQBD2kN4m4m3moB

第九十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日第九十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日

注意带滑动支座单跨斜梁固端弯矩及刚度系数的求解。=B

C

q

a)B

C

q

=B

C

q

b)q

B

C

第九十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日B

C

ie)C

FP

B

C

FP

B

c)d)第九十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日§8-7剪力分配法1）横梁抗弯刚度EI→∞的刚架