2022年新高考数学复习配套练习基本不等式（提升）（解析版）

2.2基本不等式(提升)

一、单选题

1.(2021•四川雅安市•高三三模)函数丁=。3-，(。>0,。。1)的图象恒过定点4若点/在双曲线

22

—-^-=l(/n>0,rt>0)±,则机-〃的最大值为()

mn

A.6B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】设y=/(x)=/r,因为y=y(3)=1,所以点/的坐标为(3,1),

又因为点力在双曲线"-一匕=1上，所以二一一=1,

mnmn

m.ibi/、/9I、,、s9〃机5/9〃"A‘inc19nm.出口始业

囚1'L77?—72=1•(w—72)=(---)(7W—〃)=1O-------=10—(---1)<10-2.----=4,二|目.仅三

tnnmnmn\mn

OMt/yj

一=一时取等号，即〃=2,加=6时取等号，

mn

故选：B

2.(2020•全国高三专题练习)已知x>0,y>0,且2x+9y+6巧，=9,则2x+9y的最小值为()

A.4B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】由2x+9y+6孙=9,得6叶=9-(2x+9y),

又因为6孙=：2.9>4:(^|^),所以9-(2x+9y)4^(2x+9)，y,

BP(2x+9y)2+12(2x+9y)-108>0,解得2x+9yZ6或2x+9y4-18,

31

又2x+9y>0,所以2x+9y±6,当且仅当2x=9y,即x=1,y=3时取等号.故选：B.

(1V1)

3.(2021唾国高三专题练习)已知两正数x、丁满足x+y=l》ijz=x+—y+-的最小值为().

\X八y)

A.0B.2夜一2C.4D.

【答案】D

2

■…工L口h*(1V1)1yx1(x+y)-2xy2.

【解析】由题意，z=x+—y+—=孙+—+上+—=孙+—+-------------=一+孙一2,

I九八y)xyxyxyxyxy

(、2［］

令则0</=孙£［三2］=；,当且仅当x=y=］时，等号成立，

2(r

又函数y=：+，-2在［O>1上单调递减，

12125

所以当，=一时，函数》=一+，一2取最小值8+——2=—,

4t44

25

所以z的最小值为一.故选：D.

4

4.(2021•全国高三其他模拟(理))已知函数〃x)=6sinx+7—4cos-x,则/(%)的最小值为()

sinx+l

A.1B.2C.—D.5

2

【答案】B

，始\6sinx+7-4cos2x6sinx+7-4(1-sin2x)4sin2x+6sinx+3

【自牟析】/(x)=-----------------------

sinx+1sinx+1sinx+1

人，.1/A,,,4(f-l)2+6(f—l)+34r-2?+l“1°

令f=sinx+1e(0,2],则>=—————>--=----------=4/+--2.

ttt

因此函数/(x)=6sm；：［cos-x的最小值与函数y=今+；-2在区间(0,2］的最小值相同，

乂因为。=4+；-222小书X；一2=2,当且仅当♦=；即sinx=—g时等号成立，

所以函数/(尤)=6sinx+7-4COS?尤的最小值2

sinx+l

故选：B

5.(2021•全国高三其他模拟)若正实数a,。满足a+〃=ah,则2的最小值为()

aab

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【解析】因为a+Z?=aZ?,所以,+?=1,

ab

rllib16111）161Q力16［（a+h\—2ab16

aabyab）aahbaababab

（a+b\16,161、八c1.

=I+-------2d---=abf----1>2Jl6-1=7，

ababab

当且仅当。=8=2时取等号，

故选：A.

6.（2021•广东高三其他模拟）己知a,匕均为正实数，则“‘^42”是“出?〈16”的（）

a+b

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】取。=100力=2,则也=驯<2,但必=200>16,所以由"-K2推不出"W16；若就416，

a+b102a+b

则」之4'^==理42,当且仅当。=6=4时取等号，所以山,活416能推出旦-«2,所以“迫42”

a+b2yjab2a+ba+b

是“abW16"的必要不充分条件.故选：C.

二、多选题

7.（2021•山东泰安市•高三一模）设正实数。，。满足a+/?=l,则（）

17

A.loga+logh>-2B.ah+—>

22abT

C.-+-<3+272D.2a-b>-

ab2

【答案】BD

【解析】因为正实数。，力满足a+匕=1，所以0<。人〈（土也）2=,，当且仅当a=b=2时，取等号.

242

A：因为logza+logzbTog?"410g2；=-2,所以本选项不正确：

B：设ab=x,xe（0」］,函数y=x在xe（0'］时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小

4x44

1117

v=-I—=—17117

值为）414,因此有yN—，即aO+—Z—,所以本选项正确；

-4ab4

4

C：因为正实数a,b满足a+8=1,

,212a+2ba+b_2ba、c12ba-rz2/?a.3.口„„

所rrr以,一+—=-------+=3+—+->3+2=3+2。2,当且a仅当一=一时，取等Allt号，即

ababab\abab

”=2-0/=0-1时，取等号，所以本选项不正确;

D：因为正实数。，方满足a+8=l,所以2"〃=221>2-1=；,因此本选项正确.

故选：BD

8.（2021•湖北武汉市•汉阳一中高三三模）设a>0,b>0,且a+2b=4,则下列结论正确的是（）

21

A.—+—的最小值为B.—I■丁的最小值为2

abab

1?9baSi一

C.一+二的最小值为:D.-；+丁1>=恒成立.

ab4Q+1b+17

【答案】BC

【解析】由⑦=4得：-+-=L

42

11

A：—+—=I鸿+9=3+也当且仅当02=»2时等号成立,

ab42

错误;

B：-+l=(-+-!-)(-+-)=l+-+—=1+2J---=2,当且仅当a=»时等号成立，正确;

abab42a4Z?7a4b

C：-+-=(i+-)(-+-)=-+—+—>-+2J-当且仅当a=b时等号成立，正确;

abab4242b2a4N2b2a4

bci/7+1—1a+1—1b+1a+1114-12(0+1)

D：——+——=-------+-------=——+------(——+——),又——+———-=1,则

。+1b+1a+1b+1a+1b+1a+lb+177

b+1a+\,15(£»+l)a+13

----+------(-----+--------1-----------N

a+1/?+1a+1b+\777(a+l)73+1)7

2寸弘->半，当且仅当a+1=时等号成立，而早显然不

能恒成立，错误.

故选：BC.

9.（2021•全国高三其他模拟）己知a>0,b>0,则下列说法正确的是（）

A.4a~H—最小值为4A/Z

a

B.若a+8=2,则（a+人乂Y+b）的最小值为4

41

C.若a+—=1,则一+6的最小值为9

ba

D.若。+。+^+[=5,则a+h的最小值为4

ab

【答案】BC

【解析】对于4设/（。）=402+一（。＞0）,则/（。）=8。—」7=丝_=

aa~a

当ae（0,g时，/,（a）＜0；当aG（；,+oo|时，f'（a）＞0,

故/（a）min=/（；］=3,而46不为定值,故/错误.

对于B,（〃+。3）（〃3+6）=〃4+〃4+。3/+Q/72a4+//+2

=（1+⑹=4,

当且仅当=""即a=8=1时取等号，故8正确.

a=b

4,44

对于G由QH—=1得a=l—,由。=1—>0,所以b>4,

bbh

-+/?=—!—+/?=—^-+/?=/?-4+—i—+5>2J（6-4）.—―+5=9

a.4b—4b-4V'b-4

1------

b

当且仅当6=6时取等号，故。正确.

对于D,由Q+Z7H--1—=5得5—（a+b）=—I—,

abab

则5（a+0）一（〃+匕『+^（6f+/?）=2+—+—>4,

解得14。+力44,故〃错误.

故选：BC.

10.（2021•全国高三其他模拟）下列不等式一定成立的有（）

A.x-\—之2B.2x（1—%）<一

x4

C.X2H—-3-->2^3—1D.\f/x+—j1=^2

x+17x

【答案】CD

【解析】对于4当x<0时，x+-<0,故/错误；

X

(1\211

对于8,2X(1-X)=-2X2+2X=-2X——故6错误;

I2；22

对于C,%2+——=炉+1+—一j>23_1=2^_1；当且仅当f=6-1时取等

x+1x+1V7x2+1

号，故C正确;

对于〃当且仅当X=1时取等号，故〃正确,

故选:CD.

11.(2021•全国高三专题练习)已知。>人>0,且而=4,贝ij()

b

A.r~>1B.log2a-log2b>1

C.2"+2">8D.log2«log2Z?<l

【答案】ACD

83

【解析】因为a>0,且"=4,对A,a-0>0,所以2>2°=1，故A正确；对B,取a=§,/?=,

ah

所以kga-log,b=log,怖=log2y<log,2=1,故B错误；对C,2+2>2JF3=2亚丁，当

且仅当a=6取等号，又因为a+822J不=4，当且仅当a=6取等号，所以2"+2"N2\j2a+b>2，齐=8,

当且仅当a=b取等号，因为a>Z?>0,所以不能取等号，故C正确；对1),当a>l>匕>0，

log2a>0,log2b<0,所以log2a•logzbcl：当a>b>l,log2a>0,log2b>0,所以

log,a.晦b«叱&詈2=(log,》二1,当且仅当a=b取等号，因为a>匕>0,所以不能取

等号，故D正确.

故选：ACD.

12.(2021•广东高三二模)已知a>0,b>0,a+2h=l,则()

A.a~+b~>—B.--F—»3+2V2

5ah

a+h

C.2>2D.log2a+log2/?<-3

【答案】ABD

【解析】对于A,•.・〃>0,Z?>0»a+2Z?=l,.,.Q=1-28>0,解得：0<b<,,

2

・.。2+82=(1一劝J+62=5力2-4人+1,

'jIb——0寸，(5b2—4b+1)=--------F1=—，片+/?~之一，A正确;

5\'min5555

对于B,-+-=f-+-\tz+2M=3+—+->3+2A^^=3+2>/2

abyab)ab\ab

Gj

当且仅当心=£,即。=」办时取等号，B正确；

ab

对于C,・.・b>0,a+2b=1,:.a+b=\-b<\,2a+h<2»C错误;

对于D，•.•a+2〃=122j五石（当且仅当a=»时取等号），

o

loga+logb=logab<log-=—3,D正确.

22228

故选：ABD.

13.（2021•广东韶关市•高三一模）设。，b为正数，若直线方一处+1=0被圆/+9+4%一2），+1=0

截得弦长为4,则（）

A.a+b=lB.2a+b=l

,1a+2h

C.ab<—D.>9

8ab

【答案】BCD

【解析】由丁+y2+4%一2丁+1=0可得0+2）2+（丫-1）2=4,

故圆的直径是4,

所以直线过圆心（-2,1）,即2a+/?=l,故B正确；

又。，。均为正数，所以由均值不等式a匕，当且仅当a=1力=」时等号成立；故C正确;

842

a+2ba2h12（12Y、2a2bba2b

abababba\baJba\ba

当且仅当‘■=」，即a=8,即a=6=—时，等号成立，故D正确.

ba3

故选：BCD

14.（2021•广东高三专题练习）F列命题为真命题的是（）.

A.若a>b，则B.若a>b>0,则曾>1

2怛匕

。Z**

C.若a>0,h>0,PIO4ab>aD.若a>b,5PJac2>be2

a+b

【答案】AC

【解析】对于人因为a>6,所以。一》>0,所以故力正确;

2

对于凡取。=10,b--,此时产丁=-1,所以B不正确；

101g/?

।—_/—r2ah2ab

对于£因为。＞0,人＞0.所以〃+/?N2\[ab，所以~ci-vb故C正确;

对于〃，当c=0时，ac2=he2，所以D不正确.

故选：AC.

三、填空题

15.（2021•天津高三二模）已知a>0,b>0,a+2Z?=l,则"+4尸+的最小值是

【答案】-

2

【解析】由题可知：a>0,b>0,a+2Z?=l

所以a+2022j俞（当且仅当时取等号）

8

a2+4b24———=（a+2b}~4——!4ab=1H——--4ab

4ab4ab4ab

令t=ab，设=

所以/'（,）=_*-4<0,所以函数f(t)在(0$单调递减

所以/nin(')=/1!]=弓，即/+4〃+-L的最小值为£

^8)24ah2

故答案为：一

2

16.(2021•天津高三二模)函数y=3t如上31(九>一1)的最小值为

X+1

【答案】9

【解析】因为x>-l，则x+l>0,

犷LJ+7x+10(x+1)~+5(x+1)+4

x+lx+1

4I4~

=(x+l)H------F5>2.(x+l)------F5=9，

x+\Vx+l

4

当且仅当x+1=——即x=1时等号成立，

x+l

二已知函数的最小值为9.

故答案为：9.

17.(2021•全国高三专题练习)当x>0时，函数y=2士的最小值为.

1+X

【答案】26T

【解析】因为x>0,

所以),==_2_+%=_2_+(%+])-122•(x+1)—1=26—1,

l+x1+x1+x''\l+x''

当且仅当7—=x+l,即x=G—1时，等号成立.

故答案为：2石一1.

广2

18.(2021•全国高三专题练习)函数y=----(x>2)的最小值为

x-2

【答案】8

r缶〃士二、了将J(x—2)~+4(%—2)+44

【解析】函数y=----=-----------------——=x-o2+----+4,

x-2x-2x-2

4

因为x>2,所以不一2>0,所以yN2I(x—2)・二A-一+4=8,当且仅当x—2=——即x=4时，等号成

Vx—2x—2

立,故答案为：8.

19.(2021•全国高三专题练习)若实数尤,y满足3好一2孙-丁=1,则=~的最大值为

5x+2xy+y

【答案】叵

4

【解析】令x+y=f,则3/一2孙一丁=4/一（％2+2个+丁）=4/一/=1,即4/=1+5,

x+y_x+y_t_t

“以5—+2%y+y24x24-(x2+2xy+y2)(1+5)+/l+2r2

当，W0时，-~~--yW0；

1+2产

t_1

当£>0时，1+2产=

—rzr

t

因为:+2/22匹£=2痣，当且仅当;=2f,即，=,时，等号成立,

x+y_1<1

所以5炉+2砂+卜2\+2t~2>/24-

x+y的最大值为Y2.

所以

5x2+2xy+y24

故答案为：变.

4

x~+7x+10/.\.［/士

20.（2021•全国高三专题练习）求）=---------j——(X>-1)的最a小值

【答案】9

［解析］),=『+7x+l°=(x+1)+5(x+l)+4

x+1x+l

A

=(%+1)+——+5,

')x+l

*：x>—1,:.x+l>0,

y>2^(x+l)x-^-+5=9.

4

当且仅当x+l=——即x=l时，等号成立.

x+1

故答案为：9.

21.（2021•全国高三专题练习）一；2；：+7（”>1）的最大值为1

【答案w

【解析］令X—l=t，则x=f+l，t>Q,

x-1_______t

4

所以x2-4x4-7—(Z+l)2-4(Z+l)+7当且仅当，=—,即

t

r=2时，等号成立.

X-1

所以">1）的最大值为3.

f—4x+7

故答案为：

log2a•log2b

22.（2020•江苏南通市•高三二模）已知0>1,。>1,。匕=4,则的最大值为

•og2(2a)

【答案】4-273

4

【解析】由已知人=4>1,所以故bg?a•bg?b_log?♦.log?人一a：.(：一唾幻,

°log,(2a)-1+log2a一"叫2a

令log2a=fe(0,2),原式=*2-f)=_,一_L_+3=_[(Z+I)+_2_]+4<

1+/z+1z+1

4—26，当且仅当f+l=J5,即log2a=G-l，a=26T时，等号成立.

故答案为：4-2A/3

Q11

23.（2020•全国高三专题练习）已知。>0,b>0,且。+12〃+6<三+不，则上年的最大值为_____.

aba+3匕

【答案】I

31

【解析】・・・。>0,b>0,且。+12〃+6«—十7

ab

31)

**•(a+12。+6)一十一

abJ

31

,:(a+12b+6)一+一

ab

.•.(a+12^+6)f-+-'|>15+2J—x-+6f-+->|=27+6f-+-l当且仅当a=6Z?时取等号.

\ab)\ab\ab)\ab)

31

令二+7=f(f>0),原不等式转化为27+6/A*,解得r»9.

ab

--ab-=--1-=-1«—1

:・a+3b—3I—1t9

ab

故答案为：

x—2y

24.（2021金国高三专题练习）若实数X，y满足2f+xy-y2则的最大值为.

=1,5x2-2xy+2y2

【答案】巨

4

【解析】由2/+科一丁=1,得(2x-y)(x+y)=l,

设2x-y=>x+y=1,其中fwO.

t

1121_1厂2cc221

则无二—t—,y=-----1»从而x—2y=,—,5x—+2y——»

33，3，3t

1x-2yu

1己U-t,则~~~2T2"~~~2，

t5x~-2xy+2y~〃~+2

1

不妨设〃〉0,则।2

〃+一

u

当且仅当"小即”夜时取等号，即最大值为日

故答案为：叵

4

25.（2021•山西临汾市♦高三）在AABC1中，AD=2DB>E是线段CD上除去端点外的一动点，设

_______________2__11

AB-a,AC=b,AE=—xa+yb则一+一的最小值为____________.

3fxy

【答案】4

—3—

【解析】因为而=2丽可得：AB=-AD

___2___________

所以AE=—xAB+yAC=xAD+yAC,

又因为C,E,〃三点共线，则x+y=l,x>0,y>0,

所以‘+’=（'+3。+y）=2+2+222+2土*=4

xyxyyxyx

xy1

当且仅当一=上，即x=y=一时取等号，

yx2

此时的最小值为4.

故答案为：4.

26.（2021•河南郑州市•高三二模（理））在A4BC中，角A,8,C所对的边分别为。"，，，ZABC=90°，

NABC的平分线交AC于点。.若a+4c的最小值为9,则

【答案】0

【解析】如图，ZABC的平分线交AC于点D，

所以NAB。=NCBO=45°,

所以S"r=—acsin90°--c-BD-sin45°+-a-BD-sin45°，

MAliC222

可得2ac=y[2c-BD+41a-BD，

可得短BD(a+c)=],

2ac

所以a+4c=("+4c)•血(a+c)8。,

2ac

所以a+4c=也5£>(@+5+竺]2变3Z)-5+2K—

80=9,

2\caJ2(Vcaj2

当且仅当。=2c时取等号，

所以BD=6.

故答案为：、历.

A

27.（2021•浙江温州市•高三其他模拟）已知正实数x,y满足x+2y=肛，则x+2y+二的最小值是

y

【答案】4拒+4

12

【解析】因为x>0,y>0,x+2y=_xy，则一+—=1,

yx

所以x+2y+土=(x+2y)f，+