2021-2022学年湖北省黄冈市蕲春县高一（上）期中数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年湖北省黄冈市薪春县高一(上)期中数学

试卷

1.设集合4=卜比2-5x+4<0},B=[xEN\x<2},则力CIB=（）

A.{x|l<x<2}B.{1,2}C.[0,1}D.（0,1,2}

2.命题“VxeR,x22”的否定是（）

A.VxG/?,x<2B.VxG/?,x>2

C.BxER,x>2D.3xe/?,x<2

3.下列函数中，是奇函数且在区间（0,+8）上单调递减的是（）

A.y=—x2B.y=2xC.y=|D.y=x+：

4.已知函数y=/（x-l）的定义域是[1,2],则丫=/（李万一1）的定义域为（）

A.[1,2]B.[0,1]C.[2,4]D.[0,3]

5.已知a、匕为实数，则"a=b”是“等=病”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.定义集合运算：A(8)B={z\z=(x+y)X(x-y),xeAyeB},设4={在,遮},

B={1,V2},则集合4(g)B的真子集个数为()

A.8B.7C.16D.15

7.一元二次不等式2k/+依-:<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是()

8

A.(-3,0)B.(-3,0]

C.[—3,0]D.(—co,—3)U[0,+oo)

8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般

好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性

质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标人人中抽象出

一个图象如图，其对应的函数可能是()

A.用)=高

C./（x）=总

9.已知Q<b<0,则下列不等式成立的是()

A.\a\>\b\B.-<C.ab<b2D.-<-

abab

10.在下列命题中，真命题有()

112

A.3aG(0,4)，后+工^二三

B.任意K6R,使％2—%+1>0

C.3%G/?,/(%)=/(-%),则函数y=/(%)是偶函数

D.VxG(2,+oo),i+1+a<0恒成立，则a<-3

11.给定函数/'(x)=%+1,g(%)=(%4-1)2,%6/?,用M(%)表示f(%),g(%)中较大者,

记为M(x)=max{f(x),g(x)},则下列错误的说法是()

A.M(2)=3B.Vx>1,M(x)>2

C.M(x)有最大值D.M(x)最小值为0

12.己知a>0,b>0,a+b=l,则()

A.a24-&2>-B.ab<-

24

C.-+7<4D.Va+Vb<V2

ab

13.设f(x)=：+提，则其定义域为.

14.已知/Q)=倒上工口，则心+〃-》=—

53

15.已知/(%)=%+ax+bx—8(Q,b是常数)，且f(—3)=5,则f(3)=.

16.新春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速

度以千米/小时)之间的函数关系为y=西翳而，交通部门利用大数据，采用“信

号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间7(秒)=路段长x

那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为_____秒.

平均速^米/秒)

17.设4={x\x2—8%+15=0},B={x\ax-1=0}.

(1)若a=g,试判定集合4与B的关系；

(2)若8=4求实数”组成的集合C.

18.设命题p：(4%—3)2<1,命题q：x2—(2a+l)x+a(a+1)<0.

(1)当a=l时，若P为假命题且q是真命题，则求实数x的取值范围；

(2)若「p是「q的必要不充分条件，求实数”的取值范围.

19.证明：

(1)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：—>

、/a-cb-d

(2)已知x>0,y>0,x+y=1,求证：xy<

f—x2+2x,(%>0)

20.已知奇函数f(%)=<0,(x=0).

yx2+mx,(%<0)

(1)求实数m的值;

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(2)作出y=f(x)的图象，并求出函数y=/'(x)在［-2,1)上的最值;

(3)若函数/(x)在区间［-l,b-2］上单调递增，求b的取值范围.

21.已知华为公司生产系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还

需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只

(2000-30x,0<x<40

的销售收入为R(X)万元，且R(X)='7000200000-,40.

(1)写出年利润以(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并

求出最大利润.

22.定义在(0,+8)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对任意正数a,b,都有f(a)+/(b)=/(ab)；

②当x>l时，/(x)<0；

③/(2)=-1.

(团)求/(I)和/(；)的值；

(团)试用单调性定义证明：函数/(X)在(0,+8)上是减函数；

(团)求满足/(t)+/(2t-1)>1的，的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合A,B,由此能求出4nB.

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

【解答】

解：集合A=[x\x2-5x+4<0}={x|l<x<4},

B=(xeN\x<2]={0,1,2},

ACiB=[1,2}.

故选：B.

2.【答案】D

【解析】解：因为命题“vxeR,x22”，

故其否定是：3xGR,x<2.

故选：D.

直接利用含有量词的命题的否定方法进行求解即可.

本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论,

属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：y=—%2为偶函数，不符合题意；

y=2x在(0,+8)上单调递增，不符合题意；

根据反比例函数的性质可知，y=[在区间(0,+8)上单调减且为奇函数，符合题意；

根据对勾函数的性质可知y=x+g在区间(0,+8)上不单调，不符合题意.

故选：C.

结合基本初等函数的单调性及奇偶性分布检验各选项即可判断.

本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：函数y=/(x-l)的定义域是[1,2],

所以1WxS2,

所以OWx-lW1,

所以f(x)的定义域为[0,1]；

令04-1W1,

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解得2<x<4,

所以函数y=f(^x-1)的定义域为[2,4].

故选：C.

由函数y=f(x-1)的定义域求出函数/(x)的定义域，再求函数y=/(|x-1)的定义域.

本题考查了抽象函数的定义域求法与应用问题，解题的关键是理解定义域是自变量的取

值范围，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由"a=b"不能推出"±产=Vab",如a=b=—1,则巴产=-1,=1；

反之成立，由”=痼”,两边平方，即得“a=b”，

...“a=b”是“一=病”的必要而不充分条件，

故选8.

由“a=b"不能推出u—=耐，由“一=同能推出"a=b”，因此"a=bn

22

是“?=标的必要而不充分条件，

本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要仔细分析题设条件，寻找它

们之间的相互关系，从而作出正确判断.

6.【答案】B

【解析】解:A®B={z\z=(x+y)x(x—y)=x2—y2,x&A,yeB),

A={V2,V3},B=口,无},

集合40B={1,0,2},

它的真子集个数为23-1=7(个).

故选：B.

根据题意，求出集合208={1,0,2},得出它的真子集个数.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.

由二次项系数小于0,对应的判别式小于0联立求解.

【解答】

解：由一元二次不等式2k/+依—：<0对一切实数x都成立，得k手0,

8

(k<0

则上_4X2AX(-1)<0,解得-3<々<0.

综上，满足一元二次不等式2k产+kx-l<0对一切实数x都成立的k的取值范围是

(-3,0).

故选4

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别，可从函数的性质或特殊点(范围)的函数取值进行思考，考查

学生的逻辑推理能力，属于基础题.

先由函数的定义域可排除选项A和。，再由X€(0,1)时，/(X)与0的大小关系，可得解.

【解答】

解：函数的定义域为{x|x彳±1},排除选项A和0，

当X6(0,1)时，/(X)>0,

但在选项C中，由于/<1,所以f(x)<0,可排除选项C,

故选：B.

9.【答案】AD

【解析】解：取a=-2,b=-l,满足a<b<0,不满足工<;及ab<b2,所以BC错；

因为a<b<0,所以一a>-b>0,所以|a|>网，所以A对；

因为a<b<0,所以a2>b2>o,所以<得2<三,所以。对.

ababab

故选：AD.

取a=-2,b=—1可判断BC错，根据不等式性质可判断AO对.

本题考查不等式性质，考查数学运算能力，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解:对于A选项，a6(0,4),y[aE(0,2),—y/aE(—2,0),),2—y/aE(0,2),

3+&=:七+蹋)(迎+2_份)=32+鬻+痣)对(2+2)=2,

当且仅当罕=再，即a=1时等号成立，所以A选项错误；

yja2-Va

对于8选项，对于不等式/一％+1>0,因为4=1-4=一3V0,所以8选项正确；

对于C选项，令f(%)=sinx,则/'(兀)=/(-7T)=0,但/(%)=sinx不是偶函数，所以C

选项错误；

对于。选项，VxG(2,4-00),：+1+Q<0恒成立，

QV—：—1对VxG(2,+8)恒成立，

；6(0彳)，：6(0,2),-^G(-2,0),1e(-3,-1),

所以aW-3,所以。选项正确.

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故选：BD.

结合基本不等式、全称量词命题、存在量词命题、函数的奇偶性、不等式恒成立问题的

知识确定正确选项.

本题考查了基本不等式的应用、函数的奇偶性、不等式恒成立问题，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：由/'(x)-g(x)>0,即(x+l)-(x+I)2=-x(x4-1)>0,可得一1<x<0,

由/(X)—g(x)<0,即(无+1)—(x+I)2=-x(x+1)<0,可得x>—1或x>0,

x+1,-1<x<0

所以M(x)=2

%+l),x<—1或v>0'

当x=2时，"(2)=32=9,A选项错误；

2

当x21时，M(x)min=M(l)=2=4>2,B选项正确；

当“20时，M(x)为单调递增函数，无最大值，C选项错误；

因为M(x)在(一8,-1)上单调递减，所以M(x)min="(-1)=0，。选项正确.

故选:AC.

通过作差求解x的取值范围可以得到M(x)的分段函数解析式，再根据分段函数解析式求

得各选项结果.

本题属于新概念题，考查了分段函数的性质，属于基础题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由a>0,b>0,a+b=1得ab<(呼)？=当且仅当a=b=；时等号

242

成立，所以3对；

因为昉<%所以小+扭=9+b)2—2ab=1—2ab>l-2x^=|,当且仅当Q=

b时等号成立，所以A对；

因为QbW；,所以工+：=哼=々24,当且仅当Q=6=：时等号成立，所以。错；

4ababab2

因为abW；,所以历+乃=J(乃+VF)2=Ja+b+WJl+2]=在，当旦

仅当Q=b=1时等号成立，

所以。对；

故选：ABD.

由Q>0,h>0,a+b=1得ab<=(可判断B；a2+62=(a+h)2—2ab,再

结合ab<工可判断4；

4

=啜=总再结合<:可判断C；+VF)2=+64-2VaF,

再结合ab<2及a+b=1可判断D；

4

本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题.

13.【答案】｛x|x<2且x40｝

【解析】解：由题意得｛]二:>0,

解得x<2且x=0.

故答案为：｛x|<2且XR0｝.

根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式

组，是基础题目.

14.【答案】4

【解析】解：由分段函数可知/C)=2x[=*

-一》=/(-[+1)=/(-1)=/(*+1)=/(|)=2x|=£

44812

+/(-3)=3+3='y=4-

故答案为：4.

根据分段函数直接代入即可求值.

本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接进行求解，比较基础.

15.【答案】-21

【解析】解：已知/(x)=Xs+ax3+bx-8,

则g(x)=f(X)+8=x54-ax3+bx为奇函数，

则g(x)+g(-x)=0,

即9⑶+g(-3)=o,

即“3)+〃-3)+16=O

即/"(3)=—/(-3)—16=-21,

故答案为：—21.

由9。)=/(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数，则g(x)+g(-x)=0,即g(3)+g(-3)=

0,然后求解即可.

本题考查了函数奇偶性的应用，属基础题.

16.【答案】87.75

【解析】解：不妨设u>0,

_246v_246246_246

'V2+2V+1600v+工吧+2一°L1600-82

2V+2

0sl~

当且仅当U=—V,V=40时等号成立.

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40千米/小时=40000等米/秒,

3600

此时红灯设置时间为T=325x1=87.75秒,

9

故答案为：87.75.

利用基本不等式求得y的最大值，进而求得红灯设置时间.

本题主要考查函数模型及其应用，基本不等式求最值的方法等知识，属于基础题.

17.【答案】解：(1)•••B={5}的元素5是集合A={5,3}中的元素，

集合4={5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合8中没有，.•.B*A

故答案为：BCA.

(2)当a=0时，由题意B=0,又4={3,5},BQA,

当a#：0,B={；},又4={3,5},BQA,

此时(=3或5,则有a=：或a=：

故答案为：C={0+,§.

【解析】本题考查集合关系中的参数取值问题，求解问题的关键是正确理解/UB的意

义及对其进行正确转化，本题中有一个易错点，即4是空集的情况解题时易漏掉，解答

时一定要严密.

(1)若。=/B={5}的元素5是集合4={5,3}中的元素，集合4={5,3}中除元素5外，

还有元素3,3在集合2中没有，所以

(2)先对B集合进行化简，再根据A集合的情况进行分类讨论求出参数的值，写出其集

合即可

2

18.【答案】解：(1)-1P:(4x-3)>1,

即(4%—3)2—1>0,BP(x-i)(x-1)>0,

当Q=1时，q：%2—3%4-2<0,(%—1)(%—2)<0,

•,­1<%<2,

又p假4真，则满足{"<海>>1,

1<x<2

1<%<2,

故实数x的取值范围为(1,2]；

(2)-ip:x<>1,-><?：x2—(2a+l)x+a(a+1)>0>

令力=(x\x<3或x>1},B={x|x2—(2a+l)x+a(a+1)>0}=[x\x<a或x>a+

1}-

由已知条件可知A是8的真子集，

则｛a<2且两等号不同时成立，

a+1>1

解得0<a<|

实数〃的取值范围为［0,刍.

【解析】(1)根据题意，求出「p：x<^x>l,将a=1代入，计算即可：

(2)「p是「q的必要不充分条件，可知A是8的真子集，列不等式组｛a<2,求解即

a+1>1

可.

本题考查充要条件的判断，命题真假的判断，不等式求解，属于基础题.

19.【答案】证明：(1)由cvdV0,得一c>-d>0,又a>b>0,故Q-c>b-d>0f

从而」—<F叠，又eV0,所以——>言；.

a-cb-da-cb-d.

(2)证明：方法一：X+y=1,

•••y=1—x,xy=x(l—x)=—x2+x=—(x—|)2+^<^,

1

•••xy<

4

方法二：•・•％+y=1,・,•(%+y)2=1,

即/+y2+2xy=1,

又...+y2N2xy(当且仅当％=y=决寸，"="成立)，

二x2+y2+2xy>4xy即4孙<1,

•1•孙式?

【解析】(1)利用不等式的基本性质，转化求解证明即可.

(2)方法一：利用二次函数的性质，结合二次函数的最值求解证明即可.

方法二：利用平方化简，结合基本不等式转化证明即可.

本题考查不等式的证明，二次函数的简单性质的应用，是中档题.

20.【答案】解：(1)设x<0,则一x>0,/(-X)=-x2-2x

•••函数是奇函数，

:./(x)=—/(-%)=%2+2x(%<0),则m=2；

(2)函数图象如图所示：

由图象可知：当％=-1时，函数y=/(%)取最小值为一1,函数在［-2,1)上无最大值,

(3)由图象可知，-1<8—2工1,

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1<b<3.

故b的取值范围是出［1<b«3}.

【解析】(1)根据函数的奇偶性建立条件关系，即可求实数〃，的值；

(2)画出函数y=/(x)的图象，根据图象求解结论；

(3)根据函数的图象，利用函数/在区间［-1为-2］上是单调函数，即可确定方的取值

范围.

本题主要考查分段函数的图象和性质，利用函数的奇偶性的性质求出，"是解决本题的关

键.

21.【答案】解：(1)利用利润等于收入减去成本，可得：

当0cxs40时，W=%/?(%)-(80%+200)=-30%2+1920%-200；

当x>40时，W=x/?(x)-(80%+200)=-222222-80x+36800,

—30x2+1920%—200,0<%<40

：.W=\200000

----------------80%+36800,x>40

x

(2)当0<x<40时,W=-30(%-32y+30520,

・♦