湖南省长沙市2017届高三上学期期末数学试卷(理科).Word版含解析

可编辑版18-/NUMPAGES182016-2017学年XX省XX市高三〔上期末数学试卷〔理科一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1．在复平面内,复数对应的点在〔A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1,2,3},B={x|x2﹣3x+a=0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为〔A．1 B．2 C．3 D．1或23．将函数y=sin〔2x+的图象向左平移个单位,所得函数的解析式为〔A． B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D．4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为"现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少？"该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为〔A．升 B．升 C．升 D．升5．如图是某几何体的三视图,其正视图、俯视图均为直径为2的半圆,则该几何体的表面积为〔A．3π B．4π C．5π D．12π6．二项式的展开式中〔A．不含x9项 B．含x4项 C．含x2项 D．不含x项7．A是抛物线y2=2px〔p＞0上的一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是〔A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣2 D．y=﹣28．某同学为实现"给定正整数N,求最小的正整数i,使得7i＞N,"设计程序框图如右,则判断框中可填入〔A．x≤N B．x＜N C．x＞N D．x≥N9．在△ABC中,C=,AB=3,则△ABC的周长为〔A． B． C． D．10．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为〔A． B． C． D．11．P是双曲线C：=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为〔A．1 B． C． D．12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a,b,函数f〔x=ax2+bx+c总有两个不同的零点,则的取值范围是〔A． B．〔1,2] C．[1,+∞ D．〔2,+∞二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．〔1+cosxdx=．14．空气质量指数〔AirQualityIndex,简称AQI是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎叶图记录如图．根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为为．〔该年为365天15．化简：=．16．平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内一点,且AP=1,若,则3x+2y的最大值为．三、解答题：本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2．〔1求数列{an}的通项公式；〔2数列{bn}中,b1=1,b2=2,从数列{an}中取出第bn项记为cn,若{cn}是等比数列,求{bn}的前n项和．18．张老师上班,有路线①与路线②两条路线可供选择．路线①：沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若A处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯,则全程所花时间为20分钟．路线②：沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若a处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯,则全程所化时间为15分钟．〔1若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率；〔2为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线？说明理由．19．如图,以A,B,C,D,E为顶点的六面体中,△ABC和△ABD均为正三角形,且平面ABC⊥平面ABD,EC⊥面ABC,EC=,AB=2．〔1求证：DE⊥AB；〔2求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．20．如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ经定点B〔1,0,直线l是圆Γ在点B处的切线,过A〔﹣1,0作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点．〔1求证：|EA|+|EB|为定值；〔2设直线l交直线x=4于点Q,证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．21．已知函数f〔x=ex﹣,a,f〔x为实数．〔1当a＞0时,求函数f〔x的单调区间；〔2若f〔x在〔0,+∞上存在极值点,且极值大于ln4+2,求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的坐标系中,曲线C2的方程为ρ〔cosθ﹣msinθ+1=0〔m为常数．〔1求曲线C1,C2的直角坐标方程；〔2设P点是C1上到x轴距离最小的点,当C2过点P时,求m的值．选修4-5：不等式选讲23．已知f〔x=|x﹣a|+|x﹣3|．〔1当a=1时,求f〔x的最小值；〔2若不等式f〔x≤3的解集非空,求a的取值范围．2016-2017学年XX省XX市高三〔上期末数学试卷〔理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1．在复平面内,复数对应的点在〔A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限[考点]复数代数形式的乘除运算．[分析]直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数,求出在复平面内,复数对应的点的坐标,则答案可求．[解答]解：=,在复平面内,复数对应的点的坐标为：〔,,位于第二象限．故选：B．2．已知集合A={1,2,3},B={x|x2﹣3x+a=0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为〔A．1 B．2 C．3 D．1或2[考点]交集及其运算．[分析]分别令a=1、2、3,求出B中方程对应的解,即可得出A∩B≠∅时a的取值．[解答]解：a=1时,B中方程为x2﹣3x+1=0,其解为无理数,A∩B=∅；a=2时,B中方程为x2﹣3x+2=0,其解为1和2,A∩B={1,2}≠∅；a=3时,B中方程为x2﹣3x+3=0,无解,A∩B=∅；综上,a的值为2．故选：B．3．将函数y=sin〔2x+的图象向左平移个单位,所得函数的解析式为〔A． B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D．[考点]函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换．[分析]根据函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换规律即可得解．[解答]解：将函数y=sin〔2x+的图象向左平移个单位,所得函数的解析式为y=sin[2〔x++]=sin〔2x++=sin〔2x+．故选：A．4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为"现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少？"该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为〔A．升 B．升 C．升 D．升[考点]等差数列的性质．[分析]自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9,由题意列出方程组,利用等差数列的性质化简后可得答案．[解答]解：自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9,由题意得,,即,得,所以a2+a3+a8=〔升,故选：A．5．如图是某几何体的三视图,其正视图、俯视图均为直径为2的半圆,则该几何体的表面积为〔A．3π B．4π C．5π D．12π[考点]由三视图求面积、体积．[分析]由已知中三视图,可得该几何体是一个半径为1的半球,进而可得答案．[解答]解：由已知中三视图,可得该几何体是一个半径为1的半球,其表面积S==3π,故选：A6．二项式的展开式中〔A．不含x9项 B．含x4项 C．含x2项 D．不含x项[考点]二项式系数的性质．[分析]利用通项公式即可得出．[解答]解：Tr+1==〔﹣1rx12﹣3r,故x的次数分别为：12,9,6,3,0,﹣3,﹣6,因此不含x项．故选：D．7．A是抛物线y2=2px〔p＞0上的一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是〔A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣2 D．y=﹣2[考点]抛物线的简单性质．[分析]当|AF|=4时,∠OFA=120°,结合抛物线的定义可求得p,进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程．[解答]解：由题意∠BFA=∠OFA﹣90°=30°,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线,垂足分别为C,B．如图,A点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=﹣1．故选A．8．某同学为实现"给定正整数N,求最小的正整数i,使得7i＞N,"设计程序框图如右,则判断框中可填入〔A．x≤N B．x＜N C．x＞N D．x≥N[考点]程序框图．[分析]模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解．[解答]解：由于程序框图的功能是给定正整数N,求最小的正整数i,使得7i＞N,故x≤N时,执行循环体,当x＞N时,退出循环．故选：C．9．在△ABC中,C=,AB=3,则△ABC的周长为〔A． B． C． D．[考点]正弦定理．[分析]设△ABC的外接圆半径为R,由已知及正弦定理可求BC=2RsinA=2sinA,AC=2RsinB=2sin〔﹣A,进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长=2sin〔A++3,即可得解．[解答]解：设△ABC的外接圆半径为R,则2R==2,所以：BC=2RsinA=2sinA,AC=2RsinB=2sin〔﹣A,所以：△ABC的周长=2〔sinA+sin〔﹣A+3=2sin〔A++3．故选：C．10．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为〔A． B． C． D．[考点]函数的图象．[分析]先判断函数为偶函数,再根据函数的单调性即可判断．[解答]解：令y=f〔x=ln|x|﹣x2,其定义域为〔﹣∞,0∪〔0,+∞,因为f〔﹣x=ln|x|﹣x2=f〔x,所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D,当x＞0时,f〔x=lnx﹣x2,所以f′〔x=﹣2x=,当x∈〔0,时,f′〔x＞0,函数f〔x递增,当x∈〔,+∞时,f′〔x＜0,函数f〔x递减,故排除C,方法二：当x→+∞时,函数y＜0,故排除C,故选：A11．P是双曲线C：=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为〔A．1 B． C． D．[考点]双曲线的简单性质．[分析]依题意,当且仅当Q、P、F2三点共线,且P在F2,Q之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为F2到l的距离,从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值．[解答]解：设右焦点分别为F2,∵∴|PF1|﹣|PF2|=2,∴|PF1|=|PF2|+2,∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2+|PQ|,当且仅当Q、P、F2三点共线,且P在F2,Q之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为F2到l的距离,可得l的方程为y=x,F2〔,F2到l的距离d=1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故选D．12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a,b,函数f〔x=ax2+bx+c总有两个不同的零点,则的取值范围是〔A． B．〔1,2] C．[1,+∞ D．〔2,+∞[考点]函数零点的判定定理．[分析]由题意可得△=b2﹣4ac＞0,于是c＜,从而＞=1+﹣〔2,运用换元法和二次函数的最值的求法,结合恒成立问题的解法,即可得到所求范围．[解答]解：由满足0＜b＜3a的任意实数a,b,函数f〔x=ax2+bx+c总有两个不同的零点,可得△=b2﹣4ac＞0,于是c＜,从而＞=1+﹣〔2,对任意满足0＜b＜3a的任意实数a,b恒成立．令t=,由0＜b＜3a,可得0＜t＜3,则﹣t2+t+1=﹣〔t﹣22+2,当t=2时,取得最大值2,则﹣t2+t+1∈〔1,2]．故＞2．故选：D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．〔1+cosxdx=π．[考点]定积分．[分析]首先求出被积函数的原函数,代入积分上限和下限计算即可．[解答]解：原式=〔x+sinx|=π；故答案为：π．14．空气质量指数〔AirQualityIndex,简称AQI是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎叶图记录如图．根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为为146．〔该年为365天[考点]茎叶图．[分析]根据该样本中AQI大于100的频数求出频率,由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数．[解答]解：该样本中AQI大于100的频数是4,频率为,由此估计该地全年AQI大于100的频率为,估计此地该年AQI大于100的天数约为365×=146〔天．故答案为：146．15．化简：=4sinθ．[考点]三角函数的化简求值．[分析]直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案．[解答]解：==4sinθ,故答案为：4sinθ．16．平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内一点,且AP=1,若,则3x+2y的最大值为2．[考点]向量的线性运算性质及几何意义．[分析]根据,得出=1,利用基本不等式得出3x+2y的最大值．[解答]解：∵,∴==9x2+4y2+2xy×3×2×〔﹣=〔3x+2y2﹣3•3x•2y≥〔3x+2y2﹣×〔3x+2y2=×〔3x+2y2；又=1,即×〔3x+2y2≤1,所以3x+2y≤2,当且仅当3x=2y,即x=,y=时,3x+2y取得最大值2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2．〔1求数列{an}的通项公式；〔2数列{bn}中,b1=1,b2=2,从数列{an}中取出第bn项记为cn,若{cn}是等比数列,求{bn}的前n项和．[考点]数列的求和；数列递推式．[分析]〔1设等差数列{an}的公差为d,由等差数列的通项公式,可得方程组,解得首项和公差,即可得到所求通项公式；〔2求得等比数列{cn}的公比,求得bn=〔3n﹣1+1,运用数列求和方法：分组求和,化简整理,即可得到所求和．[解答]解：〔1设等差数列{an}的公差为d,由a2+a3=8,a5=3a2,可得2a1+3d=8,a1+4d=3〔a1+d,解得a1=1,d=2,则an=a1+〔n﹣1d=1+2〔n﹣1=2n﹣1；〔2c1=a=a1=1,c2=a=a2=3,则等比数列{cn}的公比为3,则cn=c1qn﹣1=3n﹣1,又cn=a=2bn﹣1,则bn=〔3n﹣1+1,设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=〔1+3+…+3n﹣1+n=〔+n=．18．张老师上班,有路线①与路线②两条路线可供选择．路线①：沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若A处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯,则全程所花时间为20分钟．路线②：沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若a处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯,则全程所化时间为15分钟．〔1若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率；〔2为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线？说明理由．[考点]离散型随机变量的期望与方差．[分析]〔1走路线①20分钟到校,意味着张老师在A、B处均遇到绿灯,由此能求出张老师选择路线①,他20分钟能到校的概率．〔2设选择khxg①延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为0,2,3,5,分别求出相应的概率,从而求出Eξ=2；设选择路线②延误时间为随机变量η,则η的可能取值为0,8,5,13,分别求出相应的概率,从而求出Eη=5．由此求出为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②．[解答]解：〔1走路线①20分钟到校,意味着张老师在A、B处均遇到绿灯,∴张老师选择路线①,他20分钟能到校的概率p==．〔2设选择khxg①延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为0,2,3,5,则P〔ξ=0=,P〔ξ=2=,P〔ξ=3=,P〔ξ=4=,Eξ=．设选择路线②延误时间为随机变量η,则η的可能取值为0,8,5,13,P〔η=0=,P〔η=8=,P〔η=5==,P〔η=13=,Eη==5．∴选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟；选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟．∴为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②．19．如图,以A,B,C,D,E为顶点的六面体中,△ABC和△ABD均为正三角形,且平面ABC⊥平面ABD,EC⊥面ABC,EC=,AB=2．〔1求证：DE⊥AB；〔2求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．[考点]二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．[分析]〔1设AB的中点为F,连结DF,CF,则DF⊥AB,CF⊥AB,从而AB⊥平面CFD,推导出DF⊥AB,从而DF⊥平面ABC,由DF∥CE,能证明DE⊥AB．〔2以F为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D﹣BE﹣A的余弦值．[解答]证明：〔1设AB的中点为F,连结DF,CF,∵△ABC,△ABD均为等边三角形,∴DF⊥AB,CF⊥AB,∵DF∩CF=F,∴AB⊥平面CFD,∵平面ABC⊥平面ABD,DF⊥AB,∴DF⊥平面ABC,∵EC⊥平面ABC,∴DF∥CE,∴E∈平面DFC,∴DE⊂平面DFC,∴DE⊥AB．解：〔2如图,以F为坐标原点,建立空间直角坐标系,则B〔1,0,0,E〔0,,,D〔0,0,,A〔﹣1,0,0,∴=〔2,0,0,=〔﹣1,,,=〔﹣1,0,,设平面ABE的法向量=〔x,y,z,平面DBE的法向量=〔a,b,c,则,取y=1,得=〔0,1,﹣2,,取a=,得=〔,设二面角D﹣BE﹣A的平面角为θ,则cosθ==,∴二面角D﹣BE﹣A的余弦值为．20．如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ经定点B〔1,0,直线l是圆Γ在点B处的切线,过A〔﹣1,0作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点．〔1求证：|EA|+|EB|为定值；〔2设直线l交直线x=4于点Q,证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．[考点]直线与圆的位置关系．[分析]〔1设AE切圆于M,直线x=4与x轴的交点为N,则EM=EB,可得|EA|+|EB|=|AM|====4；〔2确定E,F均在椭圆=1上,设直线EF的方程为x=my+1〔m≠0,联立,E,B,F,Q在同一条直线上,|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等价于﹣y1•+y1y2=y2•﹣y1y2,利用韦达定理,即可证明结论．[解答]证明：〔1设AE切圆于M,直线x=4与x轴的交点为N,则EM=EB,∴|EA|+|EB|=|AM|====4为定值；〔2同理|FA|+|FB|=4,∴E,F均在椭圆=1上,设直线EF的方程为x=my+1〔m≠0,令x=4,yQ=,直线与椭圆方程联立得〔3m2+4y2+6my﹣9=0,设E〔x1,y1,F〔x2,y2,则y1+y2=﹣,y1y2=﹣∵E,B,F,Q在同一条直线上,∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等价于﹣y1•+y1y2=y2•﹣y1y2,∴2y1y2=〔y1+y2•,代入y1+y2=﹣,y1y2=﹣成立,∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．21．已知函数f〔x=ex﹣,a,f〔x为实数．〔1当a＞0时,求函数f〔x的单调区间；〔2若f〔x在〔0,+∞上存在极值点,且极值大于ln4+2,求a的取值范围．[考点]利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．[分析]〔1先求导,再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案,〔2设极值点为x0,则极值为f〔x0=﹣,多次构造函数,利用导数和函数的最值得关系即可求出a的取值范围．[解答]解：〔1f〔x=ex﹣的定义域为〔﹣∞,0∪〔0,+∞,∴f′〔x=ex+,∵a＞0,∴f′〔x=ex+＞0恒成立,∴f〔x在〔﹣∞,0,〔0,+∞上单调递增,〔2由〔1可知,当a≥0时,f〔x在〔﹣∞,0,〔0,+∞上单调递增,函数无极值点,当a＜0时,∵f〔x在〔0,+∞上存在极值点,∴f′〔x=ex+=设g〔x=x2ex+a,则g′〔x=xex〔2+x＞0在〔0,+∞上恒成立,∴g〔x在〔0,+∞上单调递增