2021-2022学年辽宁省沈阳市市级重点高中联合体高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年辽宁省沈阳市市级重点高中联合体高二

(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知集合U=R,集合A={X|V^T3>2},B={y\y=x2+2),则4n(QB)等于

()

A.RB.(1,2]C.(1,2)D.[2,+oo)

2.命题Vx€(-1,0),/+x<o的否定是()

A.VxG(—1,0),x2+x>0B.Vxe(—1,0),x2+x<0

C.3x€(—1,0),x2+x>0D.3xG(—1,0),x2+x>0

3.已知p：x>a,q：\x+2a\<3,且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围

是()

A.(-00,-1]B.(-00,-1)C.[1,4-00)D.(1,4-00)

4.西法统宗少中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第

八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.意思是：有996斤棉花要给8个子

女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，

则第1个孩子分得棉花的斤数为()

A.48B.65C.82D.99

5.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用

到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数

学家鲁伊兹•布劳威尔(LEJ.Brouwer),简单的讲就是对于满足一定条件的连续函

数/(x)存在一个点出,使得/(&)=&,那么我们称该函数为“不动点函数”，下

列为“不动点函数”的是()

A./(%)=2X+xB./(x)=x2-x+3

CJ(x)=D./(x)=i+2x

6.下列函数，最小值为2的函数是()

A.y=x+：B.y=x+2>/x+3

2

C.X+2D.y=x2—2x+2

Y=VPTT

7.已知等差数列｛aj的前n项和为又，记％的最大值为5,0n=9-2n,正项等比数

列｛%｝的公比为q,满足q4=S,且坊=a4,则使an<bn,成立的n的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

8.已知函数f(x)=e*-ax?+2ax有两个极值点，则a的取值范围是()

O2

A.(e,+8)B.(：，+8)C.(e?,+8)D.(—,+oo)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.设b>a>0,C6R,则下列不等式中正确的是()

A.a2<b2B.C.震若D.ac3<be3

10.下列说法正确的有()

A.从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为；

B.若随机变量X〜B(10《)，则方差C(3x+2)=20

C.若随机变量X〜N(1Q3),p(X<4)=0.79,则P(XW-2)=0.21

D.己知随机变量X的分布列为P(X=i)=岛@=1,2,3),则P(X=2)=|

11.在数列｛即｝中，new*,若臂U;=为常数),则称｛an｝为“等差比数列”，

下列对“等差比数列”的判断正确的为()

A.化不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”

C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为0

12.对于函数/(x)=S，下列说法正确的是()

A.f(x)在x=0处取得最小值

B.9”>e37r2

C.f(x)有两个不同的零点

D.对任0<卜<%函数g(x)=f(%)-kx有三个零点

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.记方为等比数列｛即｝的前n项和.若%=1,al=a6,则S$=.

14.若不等式ax?+5x—2>。的解集是团<x<2),则不等式ax2—5%+(a2—

1)>。的解集是.

15.已知偶函数〃%)在［0,+8)上单调递增，且/(一2)=0,则不等式/(2x-1)<0的解

集为.

第2页，共16页

16.对于三次函数/(%)=a久3+b/+ex+d(a片0),有如下定义：设/''(x)是函数y=

的导函数，/''(%)是f'(x)的导函数.若方程广(x)=0有实数解出，则称点

(&，/(&))为函数y=/a)的“拐点”•而某同学探究发现，任何一个三次函数都有

“拐点”，且“拐点”恰为该三次函数图象的对称中心.对于函数/(*)=/

^x2+3x-f,依据上述结论，可知/Q)图象的对称中心为,而/(焉)+

c.4NUN3

人急)+…+"衰心

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.记等差数列｛〃｝的前n项和为匕,。3=5,53=9.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)记b=3心，求数列｛4｝的前n项和

18.已知函数/(无)=aln(x+1)+jx2-ax+l(a>1).

(1)求函数y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)当a>1时，求函数y=/(%)的极值.

19.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪

场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为

40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，

设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为g7；1小时以上且不超过2小时离开的概

46

率分别为aI；两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量f,求f的概率分布与均值E(f),

方差U(f).

2

20.已知数列｛a”｝是n次多项式/(x)=axx+a2x+…+而产的系数，且/⑴="”了).

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)求爬),并说明爬)<2.

21.为落实I•三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命

进行调查统计，随机抽取4型和B型设备各100台，得到如图频率分布直方图：

甦

组拒

0.0006

0.0005

0,0004

0.0003

0.0002

0j50020002500300035004000

A型

(1)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表:

超过2500小时不超过2500小时总计

4型

8型

总计

根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有

关？

(2)用分层抽样的方法从不超过2500小时4型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备

中随机抽取3台，其中4型设备为X台，求X的分布列和数学期望；

(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才

能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B

型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2

度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设

备，请说明理由.

2

参考公式：参n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'7i=a+b+c+d.

参考数据:

P(f>fc0)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

22.设函数/(%)=e"-QX-2,其导函数为/'(%).

(1)求函数/(%)=ex-ax-2的单调区间;

(2)若Q=1,k为整数，且当%>0时，(%一/c)f'(%)+1+1>0,求k的最大值.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合U=R,集合力=(x|Vx+3>2}={x\x>1}>

B={y\y=x2+2}={y|y>2},

•1-3=(y\y<2},

则An《向=(1,2).

故选：C.

解不等式求出集合4求函数的值域求出集合B,再利用补集、交集定义能求出40(QB).

本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为mx€(-1,0),x2+%>0.

故选：D.

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用.

先求出绝对值不等式的解集4,结合充分条件和必要条件的定义，利用集合的包含关系

进行求解即可.

【解答】

解：因为q：\x+2a\<3,所以q：—2a—3<%<-2a+3,记4={x|—2a—3cx<

—2a+3},

p：x>a,记为B=[x\x>a},

因为p是q的必要不充分条件，所以4呈B,

所以a<—2a—3,解得a<—1.

故选：A.

4.【答案】B

【解析】解：设第1个孩子分到的棉花为a,

则第1个孩子开始，以后每人分到的棉花是以a为首项，以17为公差的等差数列,

由58=8a+等x17=996,

解得a=65.

故选：B.

利用等差数列的求和公式即可求解.

本题主要考查了等差数列的求和公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对于4/(x)=2X+x=X,则2*=0,无无解，故A错误，

对于B,/(x)=-%+3=无，即尤2-2尤+3=0,x无解，故B错误，

对于C,当xWl时，令2/—l=x,解得％=1或%=—1,

当%>1时，令|2-x|=x,x无解，从而该函数为“不动点函数”，故C正确，

对于D,令:+2x=x,x无解，故。错误.

故选：C.

分别令选项中的函数与y=x联立，通过判断等式是否有解，即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：对于Z：当x>0时，x+2(当且仅当％=1时，取等号)，

当x<0时，x+一2(当且仅当x=-1时，取等号)，

所以函数y=x+:的值域为(一8,-2]U[2,+oo),故A错误；

对于B：y=x+2y/x+3=(Vx4-l)2+2.

因为x>0时，

所以(«+1产+223,

所以函数y=x+2代+3的值域为[3,+8),故B错误；

对于。：丫=*=斗箸=石=1+±22,(当且仅当=露，即x=0

，Vx2+1Vx2+1Vx2+1vx2+l

时，取等号),

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所以函数)/=慧的值域为［2,+8),故C正确；

对于D：y=%2—2%4-2=(%—I)24-1>1,

所以函数y=/一2%+3的值域为［1,+8),故。错误.

故选：C.

逐个求出最小值，即可得出答案.

本题考查了函数的值域，二次函数性质，基本不等式，属于中档题.

7.【答案】4

【解析】解一•等差数列｛Qn｝的通项公式为an=9-2n,

・•・=7,@4=1，

令0n=9-2n>0得几<4,

"+：)x4

S/勺最大值S=S4==16,

..•正项等比数歹lj｛bn｝中q4=S=16,

・•・q=2,又瓦=cz4=1,

n-1

・•.bn=2,

n

令册<bn,A9—2n<2t,

・•.71的最小值为3.

故选：A.

先由等差数列｛Qn｝的通项公式求出土的最大值S及以，从而得正项等比数列｛4｝的公比

为q与首项打，从而得数列｛bn｝的通项公式，最后再解不等式册〈生即可得解.

本题考查等差数列的前几项和的最值，等比数列的通项公式，不等式思想，属基础题.

8.【答案】D

【解析】解：/(x)=ex—ax2+2ax,

・•・f'(x)=ex-2ax+2a,

令f'(%)=ex-2ax+2a=0,得e*=2a(x—1),

・・•f(x)有2个极值点，故方程短=2a(x-1)有2个不同的实根，

即y=竣与y=2a(x-1)的图象有2个交点，

画出函数、=e*与y=2a(x-1)的图象，如图示：

当2a=e?即a=合时，直线y=2a(x-1)与y=e*的图象相切，

由图可知当2a>e?即a>?时，y=e*与y=2a(x-1)的图象有两个交点，

即a的范围是(?,+8),

故选：D.

求出函数的导数，问题转化为y=e"与y=2a(x-1)的图象有2个交点，从而求出a的

范围即可.

本题考查了函数的零点问题，考查图象的交点问题，考查转化思想，数形结合思想，是

一道常规题.

9.【答案】ABC

【解析】解：4，♦.•3/=/在(0,+8)上为增函数，b>a>0,正确，

11

B,■.-b>a>0,

c,八a+2a2(b-a)、八a+2_a〃十心

C,•••嬴一/西而>o,.••证〉丁.•(正确，

D,当b=2,a=1,c=0时，满足b>a>0,但ac3=a3,.•.£>错误，

故选：ABC.

利用基函数的性质判断4利用不等式的基本性质判断B,利用作差法判断C,利用举实

例判断D.

本题考查了不等式的基本性质，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于4设至少有一名女生为事件4则「(1)=等=白，

C1S13

则PQ4)=1-V，故A错误：

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对于B,因为随机变量X〜所以0(X)=10x：x：=g,

O(3X+2)=9D(X)=9x史=20,故B正确；

对于C，根据正态分布的性质，P(X<4)=0.79,所以，P(X<-2)=P(X>4)=1-

P(X<4)=0.21,故C正确：

对于D,P(X=i)=岛@=1,2,3),得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,

可得升*5=1,解得a=%所以P(X=2)=9=j故。正确.

/OJ■/SJ.OJ

故选：BCD.

根据古典概型概率公式可判断4利用二项分布的方差及性质可判断B,利用正态分布

的性质可判断C,根据随机变量分布列的性质可判断。.

本题考查正态分布，二项分布，离散型概率分布列的性质，解题时要认真审题，是基础

题.

11.【答案】AD

【解析】解：对于4,若k=0,则分子与+2-an+1=0,数列｛/｝为常数列，

则=可得分母为0，不符合题意，故A正确，

对于B,公差为0的等差数列不是等差比数列，因为此时分母为0,不符合题意，故8错

误，

对于C,公比为1的等比数列不是等差比数列，因为此时分母为0,不符合题意，故C错

误，

对于D,数列0,1,0,1,0,1,0,1.是等差比数列，且有无数项为0,故。正确.

故选：AD.

根据等差比数列的定义，以及特殊值法，逐项分析，即可求解.

本题考查了数列的应用，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：［(>)=*!,令/。)>0,解得：0<%<2,

故函数/(x)在(—8,0),(2,+8)单调递减，(0,2)单调递增，

4选项：/(%)在％=0取得极小值/(0)=0,又XT+8时，/(%)->0,故/(%)的最小值

即为/'(0)=0,故A选项正确；

B选项：因为/(x)在(2,+8)单调递减，故f(3)>/(兀)，故《<化简得：9e“>e37r2,

故3选项正确；

C选项：令/。)=0,可直接解得：x=0,故C选项错误；

。选项：由已知有三=依必定有一根为x=0,

当x#0时，对原等式同时除以X,得刍=k,

故/。)-kx=0有三个零点转化为卷=k有两个不为0的根即可，

令9(%)=擀，g'(%)=~r>令g'(x)>o,解得:％<1,故g(x)在(一8,1)单调递减，(1,+8)

单调递增，

1_Y

当-8,g(%)T-8,g(l)=/当％T+8,9(%)TO,故要使得羡=上有两个不

为0的根，

即0<k<\故。选项正确；

e

故选：ABD.

首先对函数求导找出函数单调区间，

4选项：利用单调性决定函数在x=0是否取最小值；

B选项：利用单调性可知：

C选项：令/(x)—0,可直接解得：x=0,故错误，

。选项：将f(%)-kx=0有三个零点转化为W=卜有两个不为。的根即可.

本题主要考查利用导函数研究函数最值及函数零点，属于较难题目.

13.【答案】詈

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前n项和的计算，属于基础题.

根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算

即可.

【解答】

解：设等比数列｛即｝的公比为q,

由aj=。6,得(a])2=口],即勺6域=勺5%，

解得q=3,

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则S1竺竺=也

31-33

故答案为詈.

14.【答案】(一3分

【解析】解：：a/+5x-2>0的解集是｛x||<x<2］,

•••a<0,且：，2是方程a/+5x-2=0的两根

韦达定理;、2=二，解得a=-2；

2a

则不等式a/—5%4-a2—1>0即为一2——5x4-3>0,

解得一3<x<》

故不等式a/-5x+a?-1>0的解集(-3,手.

故答案为：(-3,》

先由二次不等式的解集形式，判断出a2是方程。/+5》-2=0的两个根，利用韦达

定理求出a的值，再代入不等式a/-5x+a?—1>。易解出其解集.

本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”(三个二次指的是：二次

函数，一元二次不等式，一元二次方程)之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用

是数形结合思想的典型代表.

15.【答案】(一表|)

【解析】解：因为/(X)是偶函数，且〃-2)=0,

所以/(2)=0,

所以f(2x-1)<0等价于f(|2x-1|)</(2),

又在［0,+8)上单调递增，

所以|2x-l|<2,即一2<2x-l<2,

解得一w，

故答案为：(一：,|).

根据/(x)是偶函数，且〃-2)=0,得到/(|2久-1|)<〃2),再根据/(x)在［0,+8)上单

调递增求解.

本题考查了偶函数的性质及转化思想，属于基础题.

16.【答案】G，》1011

【解析】解：因为「(无)=3%2-3%+3,/"(x)=6x-3,

令/'"(x)=6x-3=0,得x=｝

因为爬)=G)TxGA+3x»那，

所以/co图象的对称中心为G，》，

由对称性可知〃/)+/(鬣)=/(急)+/(蓊=•••=谭)+谭)=1,

所以〃/)+八急)+-=I。】】网/)+/(衰)]=I。"

故答案为：1011.

根据题中结论，二次求导后可求得函数的拐点，即函数y=/(x)的对称中心；利用对称

性可得所求.

本题主要考查函数的对称性，新定义知识的应用等知识，属于中等题.

17.【答案】解：(1)由题知，等差数列｛斯｝的前n项和为无，。3=5,53=9.

5Q，解得的=1,d=2,Aa=2n-l,

(3%+3d=9,1n

(2)Vbn=3即=32右】，.•.誓=邕三=9,

；•｛%｝是首项为3,公比为9的等比数列，

••工=安=|(9"一。

【解析】(1)利用已知条件求出等差数列的公差与首项，然后求解通项公式.

(2)判断数列是等比数列，然后求解数列的和即可.

本题考查等差数列以及等比数列的应用，通项公式以及数列求和，是中档题.

18.【答案】解：(1)f(0)=l,f(X)=^+x-a=^^,((0)=0,

所以函数、=f(x)在点(0,〃0))处的切线方程为y=1.

(2)函数的定义域为(-1,+8),

令((%)=0,即二夏J)=0,解得％=0或%=a-1.

当时，/(%),/'(%)随％变化的情况如下：

第12页，共16页

X(-1,0)0(0,a-l)a—1(a—1,+8)

+0—0+

f(x)7极大值极小值7

可知f(%)的单调减区间是(0,a—1)增区间是(—1,0)和(a—1,+8),

极大值为/(0)=1.极小值为f(a-1)=alna-1a2+|.

【解析】(1)由((0)=k,可得函数y=/(无)在点(0,/(0))处的切线方程的斜率，又

/(0)=1,可得切线方程；

(2)求出/'(%),令((%)=0得出零点.讨论((X)随x变化的情况即可得出单调区间以及

极值.

本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求函数单调区间、极值，属于中档题.

19.【答案】解：⑴两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小

时以上且不超过3小时离开的概率分别为(1一；一?=

4Z4o36

两人都付。元的概率为Pl=；xi=^,两人都付40元的概率为P2=；x|=i两人都付

4oZoo

80元的概率为P3=：x9=(,

则两人所付费用相同的概率为：P=「I+「2+5**

(2)随机变量f所有可能取值为0,40,80,120,160,则P(f=0)=；x"jP(f=

4de0、)=^1x-2+.-1x-1=-1,P(f=c8c0、)=-1x-1+,1-x-2+.-1x-1=-5)

P«=120)=|xl+lx|=l,p(e=i60)=ixl=^

所以，随机变量f的概率分布列为:

04080120160

1

P1151

24412424

=0x-+40x1+80x—4-120x+160x-=80；

24412424

V(f)=(0-80)2xi+(40-80)2xi+(80-80)2X《+(120-80)2x(+(160-

8c0c)、2x—1=-40-0-0.

7243

【解析】(1)由题意首先确定相同的费用值，然后求解相应的概率值即可；

(2)首先确定的所有可能取值，然后计算相应的概率值，确定其分布列，进一步求解其

均值和方差即可.

本题主要考查古典概型计算公式，离散型随机变量的均值与方差的计算等知识，属于中

等题.

20.【答案】解：⑴•数列5｝是n次多项式/'(x)=a6+a2/t---Fa*#的系数，且

n(n+l)

-1)=2

n(n+l)

•**Q]+CL2,••+Qn=-------，

n(n+l)(n-l)n

・•・当nN2时，a-；-------；—=九，

n22

又出=1f=1适合上式,

•••=n；

(2)由⑴知，/(x)=x+2/+….+*"，...f6)=/2x(》2+3x$+…+n.⑥”,

①

二：爬)=爱+2x*+3x,+…+nx募,(2)

①一②得：|/(|)=£+*++专一”感=1一点一九x募,

=2---^<2.

【解析】(1)根据已知得到的+。2+….+即=竺尸，再结合7122时，斯="罗一

生言=«进而求解结论；

(2)根据错位相减法求解即可，再结合放缩法即可求解结论.

本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)列联表如下:

超过2500小时不超过2500小时总计

4型7030100

B型5050100

总计12080200

200x(70x50-30x50)2

由于乃2---------------x8.333>6,635,

100X100X120X80

所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2