2021-2022学年重庆市沙坪坝区九年级（上）段测数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年重庆市沙坪坝区九年级（上）段测数学试

卷

1.-5的倒数的相反数是（）

A.5C.—5D-

2.下面运算结果正确的是（）

A.u4-v4=uv4B.(n2)3=n6

C.p2q+pq2=(pq)2D.a3+a4=a7

3.已知n是方程%2+3%—1=0的一个实数根，贝2a2+6a—1的值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.如图所示，△48。和4。七/:'位似，点M是位似中心.若

S阴影部分=3saMDE，则BC：EF=（）

A.3：

B.2：

C.5：2

D.5：3

5.如图，。。是的夕卜接圆，已知乙480=40°,则44cB等

于（）

A.30°

B.45°

C.50°

D.60°

6.计算2夜xV6-百的结果的范围是（)

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

7.下列说法正确的是（）

A.两条永不相交的直线是平行线B.同旁内角相等，两直线平行

C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

8.如图所示，小超、小越两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知小越先出发4

分钟后，小超才出发，他们两人相遇后，小越立即以原速返回8地，小超、小越分

别到达B地后都停止行走，小超、小越两人相距的路程y（米）与小越出发的时间x（分

钟）之间的关系如图所示，则小超到达8地时，小越与B地相距的路程是米.（）

A.262.5B.270.5C.250D.243.5

9.如图，在菱形ABC。中，/.ABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线8。

上的点6处(不与B、。重合)，折痕为E/，若CG=2,AD=6,则8E的长为()

A.|B*C,3D.3.5

10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：

“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三

分在记，池面至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，

堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块

正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方

步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方

形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步,

则列出的方程是()

A.兀(x+3)2-x2=72B.7i(|+3)2-X2=72

C.7r(x+3)2-X2=36D.兀(:+3)2—x2=36

(m—5x>2

11.如果关于x的不等式组卜—U+二有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程

(36十2

亨一号=1有非负数解，则符合条件的所有整数机的和是()

2-yy-2

A.13B.15C.20D.22

12.抛物线y=a/+bx+c开口向上，顶点为©,m),-1<m<0,抛物线与x轴交

于点(%2,0)，-1<<0,1<x2<2,则下列结论中，正确的结论有()

①abc>0；②2a+3b=0；③(a+c)2cb2；<b<0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.计算：|一3|-2sin30°+(兀-3.14)°=.

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14.如果一条抛物线y=aK2+bx+c(aK0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶

点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.在抛物线

y=a/+bx+c中，系数人氏c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛

物线三角形”是等腰直角三角形的概率为.

15.如图，线段B。、AC互相垂直平分，以点5为圆心的圆恰经过A、D、C三个点，

以08为直径作圆，0E=l,则图中阴影部分面积和为.(结果保留乃)

16.某玩具店在10月份开始售卖中国航天系列的模型积木，其中包括A款(中国载人空

间站)、8款(长征五号运载火箭)、C款(火星探测器)、。款(天舟货运飞船)、E款(航

天员公仔)，所有模型积木的售价均为整数.在10月份售卖过程中，A款和8款的

售价相同且售价在100元与200元之间，C款的售价比A款售价低50元，。款售

价比E款售价高40元，A款、B款、C款、。款、E款的销量之比为1：1：2：2：

4,且10月份A款与8款的销售总额比C款的销售额多1000元，E款的销售额比

O款的销售额少20元.进入11月，随着双11购买节的临近，玩具店决定在双11

这一天举行促销活动，相比10月份各款的售价，A款和8款的售价都降低30元,

C款的售价降低20元，。款、E款降低的价格都为C款降低价格的|.活动结束后统

计发现：活动当天，A款销量比10月份的A数销量增加了50%,8款销量为10月

份自身销量的2倍，C款销量增加了10月份C款销量的一半，。款销量与10月份

E款销量相同，而E款销量相比10月份自身销量有所增加，且活动当天各款模型

积木销售总额比10月份A款、B款、C款销售总额的2倍多348元，则双11促销

活动当天购买一套中国航天系列的模型积木(4欧、B款、C款、D款、E款各一个)

需要元.

17.计算：

(l)(x-y)2+(x+y)(x-y)+x(x-2y)；

18.如图，菱形ABC。中，4B=60。，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP.

(1)在线段AP上求作点M,使得乙1MC=120。(要求：尺规作图，保留痕迹，不写

作法)；

(2)在(1)的作图条件下，直线A8交直线CM与点Q,求证：P,D,。三点共线.

19.均衡化验收以来，乐陵每个学校都高楼林立，校园环境美如画，软件、硬件等设施

齐全，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出

发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30。，他又继续走下台阶到达C

处，测得树的顶端的仰角是60。，再继续向前走到大树底。处，测得食堂楼顶N的

仰角为45。，已如A点离地面的高度=4米，Z.BCA=30°,且B、C、。三点在

同一直线上.

(1)求树QE的高度；

(2)求食堂MN的高度.

20.2019年10月10日傍晚18：10左右，江苏省无锡市山区312国道上海方向K135

处，锡港路上跨桥出现桥面侧翻，造成3人死亡，2人受伤，尽管该事故原因初步

分析为半挂牵引车严重超载导致桥梁发生侧翻，但是也引起了社会各界对桥梁设计

安全性的担忧，我市积极开展对桥梁结构设计的安全性进行评估(己知：抗倾覆系

数越高，安全性越强；当抗倾覆系数22.5时，认为该结构安全)，现在重庆市随机

抽取了甲、乙两个设计院，对其各自在建的或已建的20座桥梁项目进行排查，将

得到的抗倾覆数据进行整理、描述和分析(抗倾覆数据用x表示，共分成6组：A0<

x<2.5,B.2.5<x<5.0,C.5.0<x<7.5,D.7.5<x<10.0,E.10.0<x<12.5,

F.12.5<x<15),下面给出了部分信息；

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7

6

5

4

3

2

1

甲设计院被抽取的20座桥梁K抗倾蔡融回3

殿分布直方图

其中，甲设计院C组的抗倾覆系数是：7,7,7,6,7,7；

乙设计院。组的抗倾覆系数是：8,8,9,8,8,8：

甲、乙设计院分别被抽取的20座桥梁的抗倾覆系数统计表

设计院甲乙

平均数7.78.9

众数a8

中位数7b

方差19.718.3

根据以上信息解答下列问题：

(1)扇形统计图中。组数据所对应的圆心角是度，a=,b=；

(2)根据以上数据，甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，说明理由(

一条即可)：；

(3)据统计，2018年至2019年，甲设计院完成设计80座桥梁，乙设计院完成设计

120座桥梁，请估算2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数.

21.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料,某垃圾

处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万

元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备

的单价和为140万元.

(1)求甲、乙两种智能设备单价；

(2)垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知每吨燃料棒的成本为

100元.调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售

价每降低1元，平均每天可多售出5吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均

每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%,求每吨

燃料棒售价应为多少元？

22.如图，在平面直角坐标系X。)，中，一次函数丫=/qx+b的图象与反比例函数y=?

的图象交于点/(2,4)和点B(初一2).

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)直线AB与x轴交于点。，与)，轴交于点C.

①过点C作CE〃工轴交反比例函数y="的图象于点E,连接AE,试判断△ACE的

形状，并说明理由；

②设M是x轴上一点，当/CM。=^4DC。时，求点M的坐标.

23.材料一：一个正整数x能写成x=a2—b2(a,b均为正整数，且a*切，则称》为“雪

松数”，a,b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若。2+人2最大，

则称a,b为x的最佳平方差分解，此时F(x)=a?+非.

例如：24=72—52,24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92-72,

32=62-22,因为92+72>62+22,所以9和7为32的最佳平方差分解,F(32)=

92+72

材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字

相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”.例如4334,5665均

为“南麓数”.

根据材料回答：

(1)请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；

(2)试证明10不是雪松数；

(3)若一个数f既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数

字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所

有满足条件的数t中F(t)的最大值.

24.如图，抛物线y=—?/+苧％+b与x轴交于4、8两点(点A在点B的左侧)，

与)，轴交于点C,点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于

点G.

(1)求直线AE的解析式及△ACE的面积.

(2)如图1,连接AE,交y轴于点。，点P为直线AE上方抛物线一点，连接P。、

PE,直线/过点8且平行于AE,点尸为直线/上一点，连接尸FE,当四边形

PQFE面积最大时，在y轴上有一点N,连接PN,过点N作NM垂直于抛物线对称

轴于点M，求PN+NM+券MG的最小值.

(3)连接AC,将A40C向右平移得△4'0'C',当4C'的中点恰好落在NC4B的平分线

上时，将△40'C'绕点0'旋转，记旋转后的三角形为△A'0'C",在旋转过程中，直

线4'C”与)，轴交于点K,与直线AC交于点H,在平面中是否存在一点Q,使得以

C、K、H、Q为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点。的坐

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标；若不存在，请说明理由.

25.在四边形ABCO中，AC交于点E.

(1)如图1,若AAOE为等边三角形，点E为8。的中点，AD=4,CD=5,求^BCE

的面积；

(2)如图2,若AADE为等边三角形，BC=CD,点/为8的中点，试探究AF、

8尸之间的关系；

(3)如图3,Z.DAB+乙DCB=180°,/.ADB=90。，AC平分NZMB,AE=2DE,过

点C作CH14B于点”，△BCH沿BC翻折，点，的对应点为点凡点G在线段

AB上，连接FG,若乙CGF=30。，ACHG的面积为9,直接写出线段CG的长.

CAGHB

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：-5的倒数的相反数是土

故选：B.

根据倒数的定义即可求解.

主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互

为倒数.

2.【答案】B

【解析】解：A、u4-v4=(uv)4,故不符合题意；

B、(n2)3=n6,故符合题意；

C、p2q和pq2不是同类项，不能合并，故不符合题意

D、a3和a’不是同类项，不能合并，故不符合题意；

故选：B.

根据积的乘方，基的乘方，合并同类项的法则逐一分析判断即可.

本题考查了合并同类项、积的乘方和事的乘方，解题的关键是熟记相关运算法则.

3.【答案】A

【解析】解：把x=a代入得到a?+3a-1=0,

则a?+3a=1.

2a2+6a-1=2(a2+3a)-1=2x1-1=1.

故选：4

首先由已知可得a2+3a—l=0,即a2+3a=1.然后化简代数式，注意整体代入，从

而求得代数式的值.

本题考查了一元二次方程的解的定义.注意解题中的整体代入思想的应用.

4.【答案】B

【解析】解：・••△ABC和ADEF位似，点M是位似中心，S阴影部分=3S4MDE，

.SAMOE_1

,,—―,

4

DE_ME_1

**AB~MB~2’

・・・EFIIBC,

8MBe2

,,—.—__—2

••EM-EF-.

故选：B.

直接利用位似图形的性质结合面积比得出位似比，进而得出答案.

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本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：AAOB中，04=0B,Z.ABO=40°；

•••AAOB=180°-2/.ABO=100°；

11

Z.ACB=-Z.AOB=-x100°=50°.

22

故选：C.

首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出N40B的度数，再利用圆周角与圆

心角的关系求出乙4cB的度数.

本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角

形内角和定理.

6.【答案】C

［解析］解：原式=4百—V3=3>/3=V27,

v25<27<36,

5<3A/3<6.

故选：C.

先进行二次根式的混合运算，先算乘法，然后化为最简二次根式，进行减法运算，然后

把结果3国变形为何，然后确定其范围.

本题考查二次根式的混合运算、估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的加减法、乘除

法运算法则以及无理数的估算是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：A、在同一平面内，两条永不相交的直线是平行线，故选项A不符合题意；

8、同旁内角互补，两直线平行，故选项B不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；

D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项。符合题意；

故选：D.

由矩形的判定、菱形的判定以及平行线的判定分别对各个选项进行判断即可.

本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行线的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和

菱形的判定是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：由题意可得，

小越的速度为：(1500—1300)+4=50(米/分)，

小超的速度为：(1300-390)4-(11-4)-50=80(米/分),

小超、小越相遇时的时间为：1300+（50+80）+4=14（分钟），

.•.小越距离B地的路程为：50x14=700（米），

二小超到达8地时，小越与B地相距的路程是：700-凳x50=262.5（米），

故选：A.

根据图象计算出小超和小越的速度，然后结合图象计算出小超、小越相遇时小越出发的

时间，进而计算出小超到达8地时，小越与8地相距的路程.

此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，弄清图象中每个数据的意义,

再利用速度=路程+时间进行计算即可.

9.【答案】A

【解析】解：过点E作EH1BD于H,

由折叠的性质可知，EG=EA,

•••四边形ABC。是菱形，

AD=AB,Z.ABD=乙CBD=-Z.ABC=60°,

2

ABD为等边三角形,

:.AB=BD=AD=6,

设=则EG=4E=6—%,

在Rt△EHB中，v乙BEH=90°-乙EBH=30°,

BH=-x,EH=—x,GH=BD-DG-BH=4--x,

222

在RtAEHG中，EG2=EH2+GH2,即（6—x）2=（费）2+（4一掠齐

解得，％=I，

BE=

2

故选：A.

过点E作于”，根据折叠的性质得到EG=E4根据菱形的性质、等边三角形

的判定定理得到42BD为等边三角形,得到力B=BD,设BE=x根据勾股定理列出方程,

解方程即可.

本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等,

掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和

对应角相等，设BE=x根据勾股定理列出方程是解题的关键.

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10.【答案】B

【解析】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：兀(|+3)2——=72.

故选：B.

直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案.

此题主要考查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程,

正确表示出圆的面积是解题关键.

11.【答案】B

m-5%>2①

【解析】解:｛代<x+果,

由不等式①得xw号，

由不等式②得%>-3.5,

。

***-3.5I-<,%W,-W-I-2,

(m—5x>2

•••关于X的不等式组卜11yl有且仅有四个整数解,

h~~<X+2

八,m—2t

0<—<1,

解得2<m<7,

由2-my一卷=1得、=品

2-y

2-my

•・•关于y的分式方程缶=1有非负数解,

2-y

二品N。且去手2,

解得？n>1且？nH5,

•.2<m<7且?nH5,

符合条件的所有整数加的和为：2+3+4+6=15,

故选：B.

解一元一次不等式组和分式方程，根据已知列出关于俄的不等式，即可解得根的范围，

从而可得答案.

本题考查解一元一次不等式组和分式方程，解题的关键是掌握解一元一次不等式组和分

③由图象可知，％=1时，Q+b+cVO,a+c<-b

x=—1时、a-h+c>0,a+c>b,

•••bV0,

・•.|a+c|V网，

（Q+C）2<♦.故③正确;

④x=l时，y=a+b+cVO,9a+9匕+9c<0,；

当x时，m=4-4-c,

由-1V771V0,得一1VgQ+5b+C<0,

—9<a+3b+9cV0,即0V—a—3b—9c<9

.（9a+9b+9cV0

toV-a—3b—9cV9

两个不等式相加，得8a+6b<9,

由②2a+3/）=0,2a=-3b,

*'•-6bV9,

・•・b>乂b<0,

5

:、——b0.

故④正确.

故选：D.

根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断〃、氏c的正负，根据对称轴判断

“与6的关系式，根据特殊值x=1和—1判断a+b+c与a—b+c的正负，根据—1<m<

0判断〃、仄c的关系，然后综合分析即可.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，应先观察图象得到信息，再进行判断.

13.【答案】3

【解析】解：原式=3-2x：+l

=3-1+1

=3.

故答案为：3.

直接利用特殊角的三角函数值以及零指数基的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并

得出答案.

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

14.【答案吗

第12页，共29页

【解析】解：•••系数八b、C为绝对值不大于1的整数,

二系数可能为0,1,—1；

画树状图得：

开始

b01-101-1

/N/N/N/N/N/N

c01-101-101-101-101-101-1

•••共有18种等可能的结果，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：

(1,0,-1).(一1,0,1)，

二该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：

Io9

故答案为：

9

由系数〃、氏c为绝对值不大于1的整数，可得系数可能为：0,1,-1；然后根据题意

画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角

三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质.注意用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

15.【答案】兀一手

【解析】解：如图，设AO交OE于点T.

,••四边形ABC。是菱形，

•：AB=BC=CD=AD,DE=BE=1,

vAB=BD=BC,

・•・AB=BD=AD=BC=CD=2,

△BCD都是等边三角形，

・•・乙EDT=60°,

•・•ED=ET,

・・.△DET是等边三角形，

••・S阴=2H扇形BAD-S&ABD-（S扇形EDT—5ADET）］

607rx22V3.।607rxI2

=2X[--------------------x22-12）]

L3604'360-TX

3V3

^n~~'

故答案为：7T—

如图，设AO交0E于点7.首先证明△力DB,△DET都是等边三角形，再根据S掰=

扇形BAD-SAABD一（S扇形EDT-S&DET）1,求解即可.

本题考查扇形的面积，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会利用割补法求阴影部分的面积，属于中考常考题型.

16.【答案】569

【解析】解：设10月份A款的售价为。元/件，E款的售价为6元/件，则8款的售价为

a元/件，C款的售价为(a—50)元/件，。款的售价为(b+40)元/件，

再设A款、8款、C款、。款、E款的销量分别为初，m,2m,2m,4m,

•••10月份A款与8款的销售总额比C款的销售额多1000元，

2ma-2m(a-50)—1000,

解得：m=10,

款、B款、C款、。款、E款的销量分别为10,10,20,20,40,

vE款的销售额比D款的销售额少20元.

•••4bm+20=2m(b+40),

解得：2mb—80m+20=0,

把m=10代入得：b=39,

。款的售价为79元/件，E款的售价为39元/件，

•••11月份A款和8款的售价都降低30元，C款的售价降低20元，D款、E款降低的价

格都为C款降低价格的|,

11月份A款、B款、C款、。款、E款的单价分别为a-30,a—30,a—70,79-20x3=

2

71,39-20xq=31,

A款、B款、C款、。款的销量分别为10x(1+50%),20,20x(1+0.5),40,即15,

20,30,40,2款销量设为p,

双11活动当天销售额为：15(a-30)+20(a-30)+30(a-70)+40x71+31p=

65a—310+31p,

10月份A、B、C款销售总额为10a+10a+20(a-50)=40a—1000,

根据题意得：65a-310+31P=2(40a-1000)+348,

化简得：15a=31p+1342,

・：a为整数，15a末位数字为0或5,

•••31P末位数字为3或8,

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•••11月份销量有所增加，

:.p>40,

当p=43时，15a=2675,a不为整数，

当p=48时，15a=2830,a不为整数，

当p=53时,15a=2985,a=199,

双11促销活动当天购买一套中国航天系列的模型积木(4欧、B款、C款、。款、E款各

一个)需要(a-30)+(a-30)+(a-70)+71+31=3a-28=3X199-28=569(

元).

故答案为:569.

设10月份4款的售价为。元/件，E款的售价为b元/件，则B款的售价为a元/件，C款

的售价为(a—50)元/件，。款的售价为(b+40)元/件，再设A款、8款、C款、D款、E

款的销量分别为m,m,2m,2m,4m,根据题意得2nm—2m(a—50)=1000,4bm+20=

2nl(b+40),解得：m=10,b=39,得。款的售价为79元/件，E款的售价为39元/

件，根据题意表示出11月份A款、B款、C款、。款、E款的单价分别为a-30,a-30,

a-70-79-20x|=71,39-20x|=31,A款、8款、C款、。款的销量分别为10X

(1+50%),20,20x(1+0.5),40,即15,20,30,40,E款销量设为p,双11活动

当天销售额为：15(a-30)+20(a-30)+30(a-70)+40x71+31p=65a-310+

31p,10月份A、B、C款销售总额为10a+10a+20(a—50)=40a-1000,根据题

意得：65a-310+31P=2(40a-1000)+348,化简得：15a=31p+1342,根据a,

p都是整数去分析即可求解.

本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是解不定方程，找出相关量之间的关系.

17.【答案】解：(1)原式=x2—2xy+y2+x2—y2+x2-2xy

=3x2—4xy；

(2)原式=壬*+牛/+/

、'a—3a(a—3)a—2

—(a+2)(a—2)—3)a2

=---------------------------1------

a—3(CL-2)2a—2

—a2—2aa2

a—2+Q-2

2a

-a^2'

【解析】(1)先展开，再分别同类项；

(2)先通分算括号内的，把除化为乘，约分后算同分母的加法.

本题考查整式运算和分式运算，解题的关键是掌握平方差，完全平方公式及分式的基本

性质.

18.【答案】解：（1）如图，点M即为所求:

（可以尺规作出AABC的外接圆与AP的交点M；还可以记AP与CC交于点M在A。

上截取ZR=DN,连接CR交AP于点M）.

■:四边形ABCO是菱形，48=60°

4ACB=60°,AC=AD=CD,

"4AMe=120°,

Z.3=60°,

•••zl+z2=60°,

又乙ACB=60°,

•••Z1+乙CPA=60°,

・•・z2=4CPA,

・•,AC为对角线，

・•・匕CAQ=乙PCA=120°,

・•・△CAQs\PCA,

CA_AQ

**PC--'ACf

-AC=AD=CD,

CD_AQ

正=而'

•・・Z.QAD=乙DCP=60°,

/.△QAD^LDCP,

-Z.AQD=乙CDP,

在AQAD中，^AQD+^QDA=120°,

・・・Z.CDP+Z.QDA=120°,

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4CDP+Z.QDA4-/.ADC=180°,

Z.QDP=180°,

Q,D,P三点共线.

【解析】(1)作NACM=4CPA,即可在线段AP上求作点M,使得乙4MC=120。；

(2)根据菱形的性质证明△CAQs*PCA,可得笈=黑,由AC=AD=CD,所以*=禁，

再由tQAD=NDCP=60。，证明△QZDSADCP,可得N4QD=NCDP,进而可得

Z.QDP=180",即得。，D,P三点共线.

本题考查了作图-复杂作图，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键

是得至以QADSRDCP.

19.【答案】解：(1)如图，设。E=x,

■：AB=DF=4,Z.ACB=30°,

:.AC=8,

•••4ECD=60",

・・・△4CE是直角三角形，

♦:AF//BD,

・・・Z.CAF=30°,

LCAE=60°,AAEC=30°,

AAE=2AC=16,

中，EF=-AE=8,

2

即x-4=8,

解得久=12,

二树OE的高度为12米;

(2)延长交力8延长线于点P,则4M=BP=6,

由(1)知CD=[CE=2x4c=4次，BC=473,

PD=BP+BC+CD=6+4^3+4y/3=6+8V3,

•••ANDP=45°,且ZNPO=90。，

NP=PD=6+8V3,

NM=NP-MP=6+8V3-4=2+8后

•••食堂MN的高度为(2+8遥)米.

【解析】(1)设DE=x，依据4B=DF=4,乙4cB=30°,可得4c=8,进而得到力E=16,

EF=8,依据％-4=8,解得x=12,即可得出树QE的高度为12米；

(2)延长NM交。B延长线于点P,依据CD=：CE=4b，BC=473,可得PD=BP+

BC+CD=6+8V3,进而得到NP=PD=6+86，依据NM=NP-MP=2+88，

可得食堂MN的高度为(2+8百)米.

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边

角关系解直角三角形.

20.【答案】解：(1)108；7；8.5；

(2)乙设计院的平均数和众数都高于甲设计院；

4

(3)80X—+120x15%

=16+18

=34(座)，

答：2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的一共有34座.

【解析】

【分析】

本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答.

(1)根据扇形统计图中的数据可以计算出扇形统计图中。组数据所对应的圆心角，再根

据题目中给出的数据可以得到。、6的值；

(2)根据题目中的数据，可以判断出甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，

然后说出一条理由即可，注意理由的答案不唯一，只要合理即可；

(3)根据题目中的数据可以计算出2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数.

【解答】

解：(1)扇形统计图中。组数据所对应的圆心角是：360°X(1-15%-5%-5%-

20%-25%)=108",

a=7,

20x(25%+20%)=9,则乙组第10个数据和第11个数据是8,9,故b=(8+9)+2=

8.5,

故答案为：108,7,8.5；

(2)根据以上数据，甲、乙两个设计院中乙设计院的桥梁安全性更高，理由是乙设计院

的平均数和众数都高于甲设计院，

故答案为：乙设计院的平均数和众数都高于甲设计院;

(3)见答案.

21.【答案】解：(1)设甲智能设备单价x万元，则乙单价为(14—%)万元,

由题意得：—=^,

x140-x

解得：x=60,

经检验％=60是方程的解,

・•・x=60,140—x=80,

答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台;

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(2)设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，

由题意得：(200-y-100)(350+5y)=36080,

解得：%=12,y2=18,

•••x<200x8%,即x<16,

•••x=12,200—x=188,

答：每吨燃料棒售价应为188元.

【解析】(1)设甲智能设备单价x万元，则乙单价为(14-%)万元，利用购买的两种设备

数量相同，列出分式方程求解即可；

(2)设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度

不超过8%,即可得出售价.

本题考查了一元二次方程及分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列

出方程是解题的关键.

22.【答案】解：(1)•••点4(2,4)在反比例函数y=当上,

Ze2=8,

・•.反比例函数的解析式为y=3

,・•点8(?n,-2)在y=:上，

・•.m=—4,

B(—4,-2),

・・・丫=刈％+力的图象经过4(2,4),8(—4,一2),

(2/q+b=4

A,

1-4fc14-b=-2

解得监

(b=2,

二一次函数的解析式为y=x+2.

(2)对于y=x+2,当x=0时，y=2,

•・•点C坐标为(0,2),

当y=0时，x=-2,

•••点O坐标为(—2,0),

①结论：AACE是等腰直角三角形.

理由：•••CE〃x轴，

.••点E的横坐标为2,

・・,点E在反比例函数y=5的图象上，

・・・E(2,4),

・•・CE=4,

VAC=J22+(4—2)2=2V2,AE=7(4-2)2+(4-2)2=2vL

•••AC2+AE2=(2V2)2+(2V2)2=16=CE2,AC=AE,

：.^CAE=90°,

・•.△ACE是等腰直角三角形.

②如图，由①可知，OC=2,OD=2,

•••CD=2V2,

当点M在x轴的负半轴上时，

•••^CM2O=1z£)CO,4CDO="叫。+ZM2CD,

・•・乙CM2。=乙DCM2,

DM2=CD=2V2,

:.0M2=OD+DM2=2+2V2,

•••点M2的坐标为(一2-2鱼,0),

同理，当点M在x轴的正半轴上时，根据对称性可知点Mi的坐标为(2+2或,0),

综上所述，点〃的坐标为(2+2或,0)或(一2-2四,0).

【解析】(1)利用待定系数法求出心，匕,b即可解决问题.

(2)①结论：△力CE是等腰直角三角形.利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可.

②分两种情形：当点M在x轴的负半轴上时，当点M在x轴的正半轴上时，分别求解

即可.

本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，

勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分

类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

23.【答案】解：(1)112=1/一32,40=72-32；

(2)若10是“雪松数”，

则可设。2-炉=109/均为正整数，且a4b),

则(a+b)(a-b)=10,又10=2x5=10x1,

•••a,人均为正整数，

・•・a+b>a—b,

或

IQ—b=2IQ—b=l

(a=-(a=-

2

解得：L缄L9.

e=2[b=2

与a,人均为正整数矛盾，

故10不是雪松数；

(3)设1=abba(a,b均为正整数，且0<a4bW9),另一个“南麓数”为t'=

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九均为正整数，且0<n<m<9),则t=(10m+n)2—(lOn+m)2=

99(m2—n2)=99(m+n)(m—n),

・•・99(m4-ri)(m—n)=1000a+100b+106+Q=1001a+110b,

整理得(m+n)(m-n)=10a+b+—,

a,b,m,〃均为正整数，

・•・Q+b=9,

旬=2(Q=5

经探究符合题意，

m=8jm=8

<n=6kn=3

・•.t的值分别为：2772,5445,

t'的值分别为：8668,8338,

V862+682>832+382,

F(t)的最大值为：8624-682=12020.

【解析】(1)根据雪松数的特征即可得到结论；

(2)根据题意即可得到结论；

(3)设1=。京矶兄6均为正整数，且0<a#bS9),另一个“南麓数”为t'=

mnnm(m,n均为正整数，且0<n<mW9),根据“南麓数”的特征即可得到结论.

本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是

解题的关键.

24.【答案】解：⑴作。与y轴夹角是60。角的直线％，作PS〃y轴交AE于点5,交，2于

点J,作NT1%于点T,设直线FB与y轴交于点/,连接/E,IE,如图：

y=一争2+等x+百=一号(％+l)(X-3)=一.0-1)2+等,

令y=0得x=—1或％=3,

1,0),8(3,0),

令x=0得y=V3,

AC(0,V3),

•・•抛物线对称轴为直线％=1,C、E关于对称轴对称,

:.E(2,®

设直线AE解析式为y=kx+b,

V3一

3

—k4-D=解得

V3-

,2k+b=VT3

直线AE的解析式为：、=簧+日，

・•.D(0,务

2V3

-'-CD=~-

112V3广

•••SSSSSSS^ACE=2CD'(XE-XA)=2X't2-(-1)]=瓜

(2)7AE//BF,B(3,0)

二直线BF的解析式为：y=~x-V3,

/(0,-V3),

•，•SADEF=ShDEI=|D/-x£=jX(y+V3)x2=

设P(7H,—F??!?+,(—1<771<2),则S(ZH,弓Hl+,

,遍一2,2V5,6、/有一,凤V3_,16一,2凤V3,

:.PnSc=(zn—+-w+V3)—(.—Tn+y)=+-y771+-)=—y(m—

1、2.36

P+h

22

"SJDE=|PS-(xE-xD)=|x[-y(m-i)+^]x2=-y(zn-1)+,

当m时，S&PDE有最大值芋，S幽边形PDFE取得最大值等，此时

•••NMIMG,MG1OG,0G1ON,

：.NNMG=Z.MGO=乙GON=90°,

••・四边形NMGO为矩形，

NO=MG,

PN+NM+^-MG=PN+l+^-NO=PN+1+NO-sin乙NOT=PN+1+NT>

1+PT,

.♦.当P,N,T三点共线且PTl%时，PN+NM+4MG取得最小值，

:直线%过原点且NNOT=