自旋与全同粒子

自旋与全同粒子第一页，共十六页，2022年，8月28日第2节

电子的自旋算符和自旋函数电子自旋是纯量子特性，不能用经典力学解释。它与电子的坐标和动量无关，是电子内部自由度的表征。电子自旋也由算符表示。由于它是角动量，因此电子自旋算符满足或写成分量形式由于电子自旋在空间任意方向上都只能取两个数值，因此为方便起见，通常引入无量纲算符——Pauli算符来描述电子自旋角动量Pauli算符满足的对易关系Pauli算符满足的反对易关系证明例题(p2407.1题）证明第二页，共十六页，2022年，8月28日第2节

电子的自旋算符和自旋函数电子自旋与电子的坐标和动量无关。我们可以考虑自旋空间。取表象Pauli矩阵矩阵的本征矢完整描述电子状态需包括电子自旋量子数。因此电子的波函数的一般形式为表示电子自旋向上（下）并出现在位型空间dV体积中的概率考虑了电子自旋的归一化条件变成算符的一般形式变成矩阵形式的算符平均值的一般形式变成第三页，共十六页，2022年，8月28日第2节

电子的自旋算符和自旋函数例题(p2417.5题）氢原子处于状态求的平均值波函数已归一化了方法1：状态函数已按这些算符的本征态展开方法2：第四页，共十六页，2022年，8月28日第3节

简单（正常）塞曼效应考虑氢原子或类氢原子处于外磁场（不失一般，假设磁场沿z方向）电子磁矩在外磁场中的能量如果磁场足够强（），外磁场引起谱线分裂现象就称为简单（正常）塞曼效应否则就称为复杂（反常）塞曼效应电子轨道-自旋相互作用能量氢原子或类氢原子处于z方向强外磁场（忽略轨道-自旋相互作用）时的哈密顿量为能级分裂由有多少不同值决定即nl固定（l=1)的一个能级变成5个子能级光谱线分裂总是1->3原子（偶极）选择定则第五页，共十六页，2022年，8月28日第4节

两个角动量的耦合电子既有轨道角动量又有自旋角动量，需要考虑角动量相加（耦合）。下面考虑两个角动量相加的问题。这两个角动量可以是一个粒子的轨道角动量和自旋角动量，也可以是两个粒子的轨道（或自旋）角动量，等等。两个独立角动量之和也是角动量，即满足还可证明彼此对易=>这四个算符有构成完全集的共同本征矢集已知彼此对易=>它们有构成完全集的共同本征矢集展开式Clebsch-Gordon系数的个数第六页，共十六页，2022年，8月28日第4节

两个角动量的耦合两个独立角动量之和也是角动量是耦合表象的基矢两者联系Clebsch-Gordon系数是无耦合表象的基矢例题1：电子的轨道角动量和自旋角动量的耦合例题2：两个电子的自旋角动量之和容易推广到多个独立角动量之和的情况例题3：两个电子的轨道角动量之和L-S耦合J-J耦合第七页，共十六页，2022年，8月28日第5节

光谱的精细结构由相对论效应产生的电子轨道-自旋相互作用氢原子或类氢原子利用微扰理论考虑它对能级的修正——导致能级和光谱的精细结构零级结果无耦合表象由于用耦合表象可避免简并微扰理论中的矩阵对角化过程用耦合表象表示零级结果简并微扰——一级能量修正一级能量修正显式结果第八页，共十六页，2022年，8月28日第6节全同粒子的特性前面主要讨论的是单个粒子情况，也涉及到了多粒子系统，例如氢原子或类氢原子。经典物理：全同粒子可以通过它们的不同轨道来区分——编号在演化时保持不混淆现在讨论一种特殊的多粒子系统——全同粒子系统全同粒子——质量、电荷、自旋等内秉（或称固有）性质相同的粒子。例如，所有的电子，所有的质子，所有的中子，等等量子物理：无轨道概念,区分全同粒子有困难——编号在演化时可能混淆(玻函数重叠时)它的推论再互换一次全同性原理(量子力学基本假定):交换任意两个全同粒子不改变全同粒子系统的状态全同性原理导致状态必须是对称或反对称波函数描述第九页，共十六页，2022年，8月28日第6节全同粒子的特性全同粒子系统必须是对称或反对称波函数描述这种对称性不随时间演化而变化注意全同粒子系统的哈密顿量在经典和量子物理中都具有下列不变性显然，某时刻是对称（反对称）的波函数在任何时刻都是对称（反对称）波函数实验发现（实际上在相对论性量子场论可证明由于因果率要求导致下列结论）全同玻色子(自旋为整数的粒子)系统由对称波函数描述；它们遵从玻色—爱因斯坦统计全同费米子(自旋为半整数的粒子)系统由反对称波函数描述；它们遵从费米—狄拉克统计自旋为整数（半整数）是指自旋量子数s的取值为整数（半整数）电子、质子、中子都是自旋1/2的费米子光子是自旋1的玻色子第十页，共十六页，2022年，8月28日第7节全同粒子体系的波函数下面讨论全同粒子体系的波函数怎样用单个粒子的波函数来构成先考虑无相互作用情况并以两个粒子为例说明记归一化对称波函数归一化反对称波函数对称波函数反对称波函数注意表明此时不能有合理的反对称函数=>Pauli不相容原理：不能有两个(或以更多的)费米子处于相同的状态归一化条件例如无相互作用时它们是能量本征态第十一页，共十六页，2022年，8月28日第7节全同粒子体系的波函数N个全同粒子的波函数归一化对称波函数归一化反对称波函数注意：1）行列式转置后的值不变2）行列式交换2列或行反号=>上式是反对称函数显然，当态指标中有两个或两个以上相同时，上述反对称函数变为零。因此仍有Pauli不相容原理：不能有两个(或以更多的)费米子处于相同的状态无相互作用时它们是能量本征态存在相互作用时，它们不是能量本征态，但是可作为对称（反对称）空间的基矢无自旋-轨道相互作用时，波函数可写成形式第十二页，共十六页，2022年，8月28日第8节两个电子的自旋函数——也适用于质子和中子等其它自旋1/2粒子单电子自旋函数归一化对称波函数归一化反对称波函数注意还可证明两个电子的自旋函数和以及上述公式，可证明例题：证明组成正交归一系正交是显然的，厄米算符属不同本征函数正交第十三页，共十六页，2022年，8月28日两个自旋1/2粒子交换能的概念两个自旋1/2的全同粒子的自旋函数1）粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出3个最低能态的波函数

两个质量为μ，自旋1/2的全同粒子处于一维无限深势阱

中，忽略自旋相关力。2）粒子间有相互作用势能这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第2和第3个最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。一维无限深势阱的定态能量和定态波函数是1）粒子间无相互作用，两个自旋1/2的全同费米子体系的波函数是两个自旋1/2的全同粒子的位型空间对称和反对称函数是自旋三重态自旋单态3个最低能态的波函数基态-自旋单态自旋三重态自旋单态第一激发态第2激发态-自旋单态相应能量第十四页，共十六页，2022年，8月28日两个自旋1/2粒子交换能的概念两个质量为μ，自旋1/2的全同粒子处于一维无限深势阱

中，忽略自旋相关力。2）粒子间有相互作用势能这可作为微扰。以一阶微扰理论计算第2和第3个最低能态的能量（结果写出积分形式即可）。自旋三重态自旋单态第一激发态第2激发态-自旋单态交换能第2最低的能态在零级近似中是四度简并，用简并微扰理论。由于相互作用能量与自旋无关，