2021北京丰台高二（上）期中数学（B）（教师版）

16/162021北京丰台高二（上）期中数学（B）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（4分）直线的倾斜角是A． B． C． D．2．（4分）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为A． B． C． D．3．（4分）已知向量，1，，，，，若与共线，则实数的值为A． B． C．1 D．24．（4分）同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是A． B． C． D．5．（4分）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．6．（4分）如图，在长方体中，化简A． B． C． D．7．（4分）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是A．至少一次中靶 B．至多一次中靶 C．至多两次中靶 D．两次都中靶

8．（4分）如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则)A．1 B． C． D．29．（4分）已知向量，0，，，2，，，4，，若向量，，共面，则实数的值为A． B． C．1 D．310．（4分）已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为A． B． C． D．二、填空题：每小题5分，共25分.11．（5分）已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为．12．（5分）在空间直角坐标系中，点，3，在平面内的射影的坐标为．13．（5分）已知事件与互斥，且（A），（B），则，．14．（5分）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则．

15．（5分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图．结构为戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如右下图，若从五个阳数中随机抽取三个数．（1）试验的样本空间包含个样本点；（2）使得这三个数之和等于15的概率是．492357816三、解答题：共6小题，共85分.16．（13分）已知的三个顶点坐标分别为，，．（Ⅰ）求边所在直线的方程；（Ⅱ）求边的垂直平分线所在直线的方程．17．（14分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和，2个绿色球（标号为3和，从袋子中依次不放回地摸出2个球．（Ⅰ）写出试验的样本空间；（Ⅱ）求摸出的2个球颜色相同的概率．18．（14分）已知向量，2，，，1，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）若，求的值．

19．（14分）某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵．设甲、乙两种大树的成活率分别为和，两种大树成活与否互不影响．（Ⅰ）求甲种大树成活两棵的概率；（Ⅱ）求甲种大树成活一棵的概率；（Ⅲ）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率．20．（15分）在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求点到平面的距离．21．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2021北京丰台高二（上）期中数学（B）参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线，设其倾斜角为，其斜率，则有，则．故选：．【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，涉及直线的斜截式方程，属于基础题．2．【分析】设与直线平行的直线的方程为，把点代入方程解得，即可得出．【解答】解：设与直线平行的直线的方程为，把点代入可得：，解得，直线的方程为，故选：．【点评】本题考查了直线方程、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【分析】由向量共线的性质求解即可．【解答】解：向量，1，，，，，若与共线，则，解得．故选：．【点评】本题主要考查向量共线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．4．【分析】等可能事件的概率，需求出基本事件的个数和该事件发生的次数，再相除即可得到结果．【解答】解：由题知，本题是一个等可能事件的概率．同时抛掷2枚质地均匀的硬币，共有正正，正反，反反，反正四种情况，而两枚硬币均为正面朝上有一种，所以两枚硬币均为正面朝上的概率为．故选：．【点评】该题考查古典概型及其概率计算，属于基础题．5．【分析】直接由直线的倾斜角与斜率的关系得答案．【解答】解：由图可知，直线，的斜率大于0，直线的斜率小于0，且的倾斜角大于的倾斜角，结合正切函数在上为增函数，可得，故选：．【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查数形结合思想，是基础题．6．【分析】由空间向量的线性运算即可求解．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．7．【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：某人打靶时连续射击两次，对于，至少一次中靶与事件“只有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故错误；对于，至多一次中靶与事件“只有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故错误；对于，至多两次中靶与事件“只有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故错误；对于，两次都中靶与事件“只有一次中靶”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故正确．故选：．【点评】本题考查互斥而不对立的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．8．【分析】根据正方体结构特性，用向量数量积定义计算判断．【解答】解：连接、，因为是棱长为1的正方体，所以，所以，故选：．【点评】本题考查了正方体结构特性，考查了向量数量积的性质及其运算，属于基础题．9．【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对，使，列出方程组，即可求出的值．【解答】解：向量，0，，，2，，，4，，若向量，，共面，存在唯一的实数对，使，即，4，，0，，2，，，，，解得，，实数的值为．故选：．【点评】本题考查了空间向量共面的基本定理的应用问题，考查运算求解能力，属于基础题．10．【分析】经随机模拟产生了20组随机数，利用列举法求出4件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，据此能估计4件产品中至少有3件合格品的概率．【解答】解：经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，49834件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，分别为：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，5336，2937，9507，4983据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为．故选：．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：每小题5分，共25分.11．【分析】满足条件的直线斜率不存在，进而得出方程．【解答】解：直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查了直线斜率不存在时的直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．【分析】一个点在平面内的射影的坐标与该点坐标的横纵坐标均相等，竖坐标变为0，由已知中点，3，的坐标，易得到答案．【解答】解：，3，在平面内射影为则与的横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标为0故的坐标为，3，故答案为：，3，【点评】本题考查的知识点是空间中的点的坐标，其中解答的关键是一个点在平面内的射影的坐标与该点坐标的横纵坐标均相等，竖坐标变为0．13．【分析】利用对立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】解：事件与互斥，且（A），（B），（A），（A）（B）．故答案为：0.6，0.9．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】由向量的线性运算和数量积运算求解即可．【解答】解：因为点，分别为，的中点，所以，又因为四面体的所有棱长都等于2，所以．故答案为：1．【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．15．【分析】（1）五个阳数为1，3，5，7，9，从五个阳数中随机抽取三个数，利用列举法能求出基本事件的个数．（2）从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的基本事件有2个，从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的概率．【解答】解：（1）五个阳数为1，3，5，7，9，从五个阳数中随机抽取三个数，基本事件有：，3，，，3，，，3，，，5，，，5，，，7，，，5，，，5，，，7，，，7，，共10个，故答案为：10．（2）从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的基本事件有：，5，，，5，，共2个，从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的概率为．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题：共6小题，共85分.16．【分析】（Ⅰ）利用斜率计算公式可得直线的斜率，利用点斜式即可得出．（Ⅱ）利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得的垂直平分线的斜率，利用点斜式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线的斜率为，所以直线的方程为，即线段的中点坐标为，的垂直平分线的斜率为，的垂直平分线的方程为，即．【点评】本题考查了斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出试验的样本空间．（Ⅱ）设事件“摸出的两个球的颜色相同”，利用列举举求出（A），，由此能求出摸出的2个球颜色相同的概率．【解答】解：（Ⅰ）试验的样本空间为：，，，，，，，，，，，．（Ⅱ）设事件“摸出的两个球的颜色相同”，所以，，，，（A），，所以．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．【分析】（Ⅰ）由空间向量数量积的坐标运算，即可得解；（Ⅱ）由，展开，结合（1）中结论，得解；（Ⅲ）由，展开运算，即可．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因为，2，，，1，，所以，，所以；（Ⅲ）因为，所以，解得．【点评】本题考查空间向量数量积的坐标运算，遇到模长问题，一般采用平方处理，考查运算求解能力，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式能求出事件“甲种大树成活两棵”的概率．（Ⅱ）利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出设事件“甲种大树成活一棵”的概率．（Ⅲ）设事件“乙种大树成活一棵”，事件“乙种大树成活两棵”，事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，利用（E）（A）（C）（B）（D），由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设事件“甲种大树成活两棵”，则．（Ⅱ）设事件“甲种大树成活一棵”，则．（Ⅲ）设事件“乙种大树成活一棵”，则，设事件“乙种大树成活两棵”，则，设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，则（E）（A）（C）（B）（D）．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．【分析】建立空间直角坐标系，用向量求解比较容易，求出向量的坐标表示，证明垂直即可，求出直线的向量与平面的法向量，求夹角即可，利用点到平面的距离公式求解即可．【解答】解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，，2，，（Ⅰ），，，，；（Ⅱ）设平面的法向量为，，由，令，则，，平面的一个法向量为，由，设直线与平面所成角为，，直线与平面所成角为，（Ⅲ）点到平面的距离．【点评】本题考查线线垂直，线面角，及点到平面的距离，利用向量法求解比较容易，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，再求出平面的一个法向量及，由向量公式可得法向量与垂直，进而得证；（Ⅱ）平面的一个法向量为，再利用向量的夹角公式