全等三角形的应用

全等三角形的应用将两个全等的等边三角形△ABC和△ACD如图所示拼在一起，把含60°角的三角板与这个图形重合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A按逆时针方向旋转。(1)当三角板的两边分别与两边BC、CD相交于点E、F时，如图，通过观察或根据定义你能得出图中有哪几对三角形全等？并说明理由。ABECDF将两个全等的等边三角形△ABC和△ACD如图所示拼在一起，把含60°角的三角板与这个图形重合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A按逆时针方向旋转。(2)当三角板两边分别与两边BC、CD的延长线相交于E、F时，如图，你在①中得出的结论还成立吗？简要说明理由。ABDCEF习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）图1图3图2习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；图4图3习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；图3图5习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH图6图3(1)操作:固定△ABC,将△CDE绕点C顺时针旋转30得到△CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图②）；下图①是边长分别为的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C′重合）(2007年河北省课程改革实验区初中毕业生学业考试.)′′′′′′

探究：在图②中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.(′)D′E′ABCC图①(1)操作:固定△ABC,将△CDE绕点C顺时针旋转30得到△CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图②）；下图①是边长分别为的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C′重合）(2007年河北省课程改革实验区初中毕业生学业考试.)′′′′′′

探究：在图②中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.ABCDEF图②(30

已知:△ABC和△EFG是两块完全重合的等边三角形纸片，O是AC（或EF）的中点，△ABC不动，将△EFG绕O点顺时针转X度（0<

X<120）角(2007江西)（1）试分别说明X为多少时，点F在△ABC外部、BC边上、内部（不要求证明）A(E)B(G)C(F)OABCOABCGEFX。PGEF图1图2Q（2）当点F不在BC上时，在图1和图2两种情况下，分别写出OP与OQ的数量关系，并对图2的情况给予说明。X。PO△OCP≌△OEQQ如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。

问题

⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边DMBN的面积是否发生变化？

若发生变化，请说明

是如何变化的？

若不发生变化，

求出其面积；

问题第25题图图3图2图1NFEBCDAM⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，

请给出证明；

若不成立，

请说明理由；

第25题图图2MADCBEFN⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？

若成立，

请给出写出结论，

不用证明。第25题图图3图2MADCBEFN四边形背景（07．佳木斯）已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕点B旋转到时AE=CF（如图1），易证AE+CF=EF．当∠MBN绕点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（第26题图1）（第26题图2）（第26题图3）ABCDEFMNABCDEFMNABCDEFMN

已知正方形ABCD,现将三块不同的三角板纸片的一个锐角顶点与A重合,适当绕A点旋转该三角形纸片,该锐角的两边分别交直线BC、CD于M、N,且满足AN平分DAM (1)当M、N分别在BC、CD上时，求证：AM=BM+DNABMCNDF1234且满足AN平分DAM(2)当M、N分别在BC、CD所在的直线上时，线段AM、BM、DN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论.ABMCND图2F2134且满足AN平分DAM(2)当M、N分别在BC、CD所在的直线上时，线段AM、BM、DN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论.图3ABMCNDF1234且满足AN平分DAM(3)在图3中,连结BD交AN于K,若CN=4,AM=5,求AK的长.图3ABMCNDK4xDN=AM+BM5x-1x图8-2图8-1（07．四川资阳）已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1)求证：BP=DP；(2)如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；图8-2图8-1(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论图8-2图8-1阶梯式习题

四边形ABCD与四边形CGEF都为正方形，点D在线段CF上，M为AE的中点，且CF＝2AD.

探究：线段MD、MF的关系.MF的关系，并加以证明。

MD=MFMD⊥MF

阶梯1

四边形ABCD与四边形CGEF都为正方形，点D在线段CF上，M为AE的中点，且CF＝2AD.

探究：线段MD、MF的关系

.

究：线段MD、MF的关系，延长DM交FE于N

阶梯1

四边形ABCD与四边形CGEF都为正方形，点D在线段CF上，M为AE的中点.

探究：线段MD、MF的关系.

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

MD=MFMD⊥MF

阶梯2延长DM交FE于N

四边形ABCD与四边形CGEF都为正方形，点D在线段CF上，M为AE的中点.

探究：线段MD、MF的关系.

探究：线段MD、MF的。

阶梯2四边形ABCD与四边形CGEF为正方形，D在线段CF上，

将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；其他条件不变；

探究：线段MD、MF的关系.

连结

FD、

FN

阶梯3

四边形ABCD与四边形CGEF都为正方形，点D在线段CF上，M为AE的中点.将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变；探究：线段MD、MF的关系.

MD=MFMD⊥MF

阶梯4

四边形ABCD与四边形CGEF都为正方形，点D在线段CF上，M为AE的中点。

将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变；探究：线段MD、MF的关系.

延长DM交CE于N，连结

FD、FN.阶梯4方法1

四边形ABCD与四边形CGEF都为正方形，点D在线段CF上，M为AE的中点.

将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变；探究：线段MD、MF的关系.

连结AC、FD，延长DM交CE于N，连结

CM并延长交FE于H.

阶梯4方法2

将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变.

探究：线段MD、MF的关系.阶梯5

方法1：延长DM到N，使MN=MD，连结FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H.

方法2：过点E作AD的平行线交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN.阶梯5

阶梯式习题132GFHEDABC如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．（2）现把△