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专题06动点引起的等腰三角形（菱形）存在性问题图1单动点：如图1，A、B为顶点，P为动点，△ABP为等腰三角形，P点轨迹为两圆一线.双动点：坐标平面内以定点A、定点B、动点P（若在x轴上运动）、动点Q（坐标平面内任一点）为顶点的四边形是菱形的问题：转化为单动点问题，第一步先隐去一个动点，通常隐去无运动轨迹的点（点Q）；第二步，按单动点问题求解△PAB为等腰三角形的情形；第三步，找到Q点位置，利用坐标平面内平行四边形规律求得Q坐标（对角线上两组顶点的横坐标、纵坐标的和相等）.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·山西省中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·黑龙江绥化中考）如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标.

【多题一解·典例剖析】例题2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．例题3.（2021·湖南湘潭中考）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【多题一解·对标练习】练习2.（2021·内蒙古鄂尔多斯中考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习3．（2021·湖北恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线CD交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直

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