专题14 结构不良题型(数列)

nnmnmnn31231nnmnmnn31231111n9专题14

结构不良型（数列）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件目中给出三个，学生可以从中选择个或者个作为条件，进行解题。数列部分主要涉及到数列的求以及与不等式有关的问题。一题选题一、列中求问例1苏南京市届三上学期期初学情调研）已知数列

2的比数列，其前项和为）①n

S，13

，③

aa24

，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中数

n

公式判此时数列

n

条件意mNa

m

n

均为数列

n

中的项，说明理由；（）数列n

n(n

n

，，数列项n

Tn

．注：在第（）中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解）选①，因为S＋＝S＋，132所以S－＝－＋，＝＋，322132又数列a是公比为的比数列，n所以4＝a＋，得a＝，111因此a＝n1

＝

n1．此时任意，∈N*

，a＝m1·2n1＝mn

2，由于＋－∈*，所以aa是列a的第m＋－项因此数a满足条件Pn选②，77因为S＝，即a＋＋＝，33又数列a是公比为的比数列，n71所以a＋a＋a＝，得＝，331因此a＝×23

n1

．2此时aa＝＜≤a，a不数列a中的项，121n12n

nmnmnnnn1nnn－nn－nnn－nnnnmnmnnnn1nnn－nn－nnn－nnnnnknnn因此数a不满足条件Pn选③，因为aa＝a，234又数列a是公比为的比数列，n所以2a＝4×8a，又，＝，11111因此a＝n12n1．此时任意，∈N*，a＝m

1·2n1＝

mn

2，由于＋＋∈*，所以aa是数a}的m＋＋项，因此数a满足条件Pn（）为数列a是公比为2的等比数列，a所以＝，此b＝×2an

n1

．所以＝0＋1＋2

＋＋×2，则T＝1＋2

＋＋n1)×2＋×2，两式相减得T＝21

＋2

＋＋－1－n＝－1－＝－)2－1，所以T＝n－＋．例2北冈地区高三联考已知函数f)log（常数，且k（1在下列条件中选择一个，数列，明理由；①数的比数列；②数的差数列；③数的差数列的前和构成的数列．2（2在（）的条件下，当时，4n2【解析）①③不能使.可以：由题意f，

，求数列

项T.n………1分即

logkn

，得

a

，且

1

4

kn，k2nn

2

.……3分常数k，k为零常数，

n12nn12n数

为首项，

为公比的等比数列．

………4分（）（）a

n

k

，所以当，

a2

.………5分因为abn

24n2

，所以

n

，所以

n

1n

，

………7分1T522n

11n2

.……10分n例3年宁锦州联考）在①，a，，,56这个n条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．a设等差数列{}的n项为S，列{b}为等数列_____b,b．求数列项和T．解：选①：当n时a，时

，n满2所以n．设{}的公比为q，因为aa由b,b

a

，得，，以b

；11由数列{}的前项为n，可知S(nn111数列前项和为，3

，故T

1选②：设公差为

，16,

dad42,

解得

2,所以an．{}公比为，又因为aa由,b以．

a2

，得，，由数列{}的前项为

n

，又可知Snn(n

，数列前项为

111，．23nnn

选③：aa由得所以即ana28a56an,n设{}的公比为q，

．又因为aa由,

a2

，得b所b．由数列

2n{}的前n项为1

n

，又可知Snn(n

，数列

111的前n项和为，3故

1n例4苏扬州届三学期期初学情调研）在①a，，a成等差数列，②a，a，成12123等比数列，③

，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知

n

为数列n

项，

3ann

，n

N

，

01

，且．（）数列

式；（）

a

，求数列项和n

Tn

．

abab题二数中不式题例5省通届三学期期初学情调研①

{b}n

为等比数列,3b,②

{b}n

为等差数列，

b,4③{b}等比数列，1122

bb12

。

这三个条件中任选一个,补充在下面的问题并答。aaa已知数列a满足22

为列

的前项和是存在正整数k,得S成?若在求k的最小值；若不存在请明理由。解：由

aaa22

a2

可得

aaa2

a2

,(n2)两式相减可,

a2

nn,

所以anaaa当由22

a2

可得,

a

,

满足a,

所以n,若选①可得b12

,

所以,

此时

n

,

可得n

,

,

可得n(

)所以存在最小k为45.若选②可

bb12

，所以

bnn

，此时

nn

n可得2n

，

可n

，所以存在最小值若选③可

bb16

，所以4

，此时

2nn所以s

52223n2n1352n2n那么s242nn两式相减得s

，所以不存在整数k例6年北咸阳中学联考）在①，②，SS三条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}公比前项为，若，数列{}满,ab（1求数列{}，{b}的项公式；（2求数列{}的n项T，并证明Tn

13

．解）若选择①2，得aq

q

，化为

，解得2(舍去又因ab，b1

13

，解得a，所a

，；1选择②Sa可得aa，解得a，aa，得a，可得，因为，，解得，以

1，b；选择③S，可得

)(11

)

，即，得q，又因为b，得a，以

，；1（2证明：ab

1，2

99

1111)))222222

，由

2

1

1，得．3例7年湖仙桃中学模）在①S

1，a③Sa这个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}的前n项为，足____，____又知正项等差数列{}满足且，b，成等比数列．（1求{}和{}通项公式；（2证明：a解：选择①②：

326

．（1解：由S

当时有3

，式相减得：a

，即，n2．当n时有3()，a

1a，a，也适合，所以数列{}是首项、公比均a为的比数列以a)，(

设正项等差数列{}公差为db且，b成等比数列，即(2

)解得：或)nn故)

n．（2证明：由（1）可得a)

，a

[1)]1[1)]2627

．选择：②③：（1Sa

当n2时

式相减得2a

1an2当

n时有Saa，a

a1，也适合，所以数{}是项、公比均为a

1的等比数列，所以)3，(b

；设正项等差数列{}的差为d，b，b，b成比数列，1即(2d)得d或)bnn故a)3

n．

1（2证明：由（1）可得)3

，

[1)]1[1)]．27二达训1、在等差数列{}中，已知，36．（1求数列{}的通项公式；n（2若___，数列{}前n项．在①

，②

，b

这三个条件中任选一个补充在第2）问中，并对其求解．解）由题意，设等差数列{}的差为，则

，解得d

，22，nN*．（2方案一：选条件①由（1）知，

a

1，nnn

11(

2

nn

．方案二：选条件②由（1）知，b

n，(i)当为偶数时，2，8)nn]

n，

n，ii)当为数时，n为数

n，4)n

n2

n，n为偶数数方案三：选条件③

；由（1）知，b

n4，S

，S

，两式相减，可得

)

n

n

n8．3

2(3n．2、在①S，S，三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解．已知等差数列{}的项和为，足：，n*．（1求的最小值；

（2设数列{

a

}的n项T，明：．解）①若选择②③；由题知：，又因为

5(a)2

a，以所以d解得d．所以n6)．所以a，所以S

②若选择①②；由题知：a又因为

5(a)2

a，所以所以2dd．所以ndn．所以，所以S

③若选择①③；由题知：由题知：

6(a)24()2

，以ad，所以a2所以a，．所以a．所以a，所以S

．证明（）为，所以

1(nn所以T

111．3nn

3、从条件①2Sna，②

(③，

中选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{a}的项和为，a，_____．a，a，

成等比数列，求k的．解：选择①2a，

，相减可得：2a

na

a，

aa，nn

aan

，得：．

(k(k2)(k2

．a，，Sk

成等比数列，a

，k

(k2)(k

，*，得k．选择②S

(形：S

)(S

)为SS

，数{}是等差数列，首项为1，差为1．

Snn，得．n，

．

(k2)(1

k2)(k，a，

成等比数列，

，

k

，

*

，解得选择