一元二次不等式的解法（第一课时）【知识精讲+备课精研+高效课堂】 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

3.3.2第一课时一元二次不等式的解法课标要求素养要求1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.新知探究某项体育活动中，甲小组有n人(n>5)，游戏规则是每人在规定时间内，从A地跑到B地可得(n－4)分，经测试甲小组至多有5人不能在比赛时完成这个任务，如果甲小组在比赛中得分要多于56分，问至少应有多少人参赛？问题列出怎样的关系式求解？提示(n－5)(n－4)>56，即不等式n2－9n－36>0.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重要依据Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

{x|x<x1或x>x2}R{x|x1<x<x2}∅∅基础自测[判断题]1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.()

提示当a≠0时，ax2＋x－1<0是关于x的一元二次不等式.2.如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解.()

提示当a>0时，解集为R；当a<0时，解集为∅.3.x2－1>0与1－x2<0的解集相等.(

)4.不等式x2>1的解集是{x|x>1或x>－1}.(

)

提示解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).××√×[基础训练]1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(

) A.1个 B.2个

C.3个 D.4个解析②④一定是一元二次不等式.答案

B2.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.答案{x|x>3或x<－2}3.不等式x2<2的解集是________.[思考]一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).解

(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}.(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}.(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.规律方法解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零.(2)计算对应方程的判别式.(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.【训练1】解下列不等式：(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.题型二“三个二次”间对应关系的应用∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0，即x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3.∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2<x<3}.规律方法三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式.(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.解得a＝－6，c＝－1.题型三解含参数的一元二次不等式角度1讨论两根大小【例3－1】解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).解原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)当－1－a<－1＋a，即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；(2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.角度2讨论二次项系数【例3－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；角度3讨论判别式【例3－3】解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R).方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根，方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R.方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R.规律方法解含参数的一元二次不等式的步骤【训练3】设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.解

(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.即原不等式的解集为∅；一、课堂小结1.从函数观点认识不等式，感悟“三个二次”之间的关系，提升数学抽象素养和数学运算素养.2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是： (1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类. (2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小. (3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.3.三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.二、课堂检测1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(

)解析原不等式可化为(3x＋1)2≤0，答案D2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是(

) A.1 B.2 C.3 D.4答案C3.不等式x2－3x－10<0的解集是________.解析由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－2<x<5}.答案{x|－2<x<5}4.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是______________.解析x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或