2021年山西省太原市高考数学（一模）模拟试卷（文科）【含答案】

2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科）（一）（一模）

一、选择题（每小题5分）.

1.已知全集。={1,2,3,4,5},4={2,3},8={1,3,5},贝ij/U（QB）=（

）

A.{2,3,4}B.{2}C.{1,5}D.{1,3,4,5}

2.已知复数z满足z・（1-i）=2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）

A.-1-/'B.-1+iC.1-D.1+z

3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄

金分割数2,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现，这一数值也表示为

2,

ab

a=2sinl8°,若加+6=4,则l-cos72°=（）

1遥+1

A.2B.2C.2D.4

4.函数y=cos（sinx）的图象大致是（）

5.在区间［-1,1］上任取一个实数人,则使得直线y=Ax与圆（x-2）2土产=1有公共点的

概率是（）

返返返工

A.2B.2C.3D.2

6.己知a,b为单位向量，且满足|2-网=加，则|2a+b|=（）

A.V3B.V7C.V5D.2V2

7.已知{斯}是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为S”且{£}是等差数列，则下列结

论错误的是（）

A.{a"+S.}是等差数列B.{%•&}是等比数列

sn

C.{a/}是等差数列D.{T}是等比数列

'3x+y-3》0

，2x+3y-9402x+y-3

8.已知实数x,y满足|x-2y-l40,则z=x-2的取值范围是()

A.(-8,]]u(2,4]B.[1,2)U(2,4]

C.[1,2)U[4,+8)D.(-8,1]U[4,+8)

9.已知。=4历3”,b=3bi4n,则下列结论正确的是()

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

10.已知正四面体48C。的棱长为4,点E在棱Z8上，且8£=34E,过£作四面体

488外接球的截面，则所作截面面积的最小值为()

10冗冗返

A.3B.3nC.3D.4

—,0

II.已知过抛物线产=2/?x(p>0)的焦点尸(2)的直线与该抛物线相交于Z,8两

点，若△ZOF的面积与△BOF(。为坐标原点)的面积之比是2,则|“引=()

_91317_

A.4B.4C.4D.4

nK

12.已知函数/(x)=sin(3x+cp)(a)>0,0<(p<2)的图象关于x=-3对称，且

冗n

/(V)=0,将/(x)的图象向右平移?"个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列

结论正确的是()

71

A.<p=3

B.若g(X)是奇函数，则3的最小值为1

71K2

C.若/(X)在［3'2］上单调递增，则36(0,3］

n

D.若g(x)是周期最大的偶函数，则在［0,由上单调递增

二、填空题(每小题5分).

13.函数/(x)=(x-1)炭的图象在点(0,f(0)处的切线方程为

14.某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为夕的等比数列，现采用

分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为

10,则被抽取的初级职工的人数为.

2_

15.已知a,b,c分别是△/8C的内角4,B,C所对的边，3csiM=4bsinC,cosC=3,

点O在线段48上，且&)=2D4,若△ZBC的面积为2依，则“=,CD=_

22---

16.已知椭圆C：ab=1(a>b>0)的左焦点是点尸，过原点倾斜角为3的直线/

2兀

与椭圆C相交于M,N两点，若NMFN=3,则椭圆C的离心率是.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:

共60分.

17.已知数列｛°“｝的前〃项和为数列｛6〃｝满足6,,=%+%+1(/?GN*),再从下面条件①

与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：

(I)证明：步,｝是等比数列;

(II)求数列｛泌力的前n项和T„.

3_

+l

条件①：勾=2,45„+2a„+1=3"(„GN*)；条件

3_

②：。］=。2=2,a”+2=a”+2X3"(〃€N*).

18.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展

旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为

此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从

去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.

满意度老年人中年人青年人

报团游自助游报团游自助游报团游自助游

满意121184156

一般2164412

不满意116232

(I)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向

于选择报团游？

(II)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游

客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.

(Ill)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

19.如图，在三棱锥P-N8C中，△P/8是正三角形，G是△PN8的重心，D,E,，分别

是P4BC,PC的中点，点尸在8c上，且8尸=3尸C.

(I)求证：平面。尸，〃平面PGE；

(II)若PBUC,AB=AC=2,8c=2&,求三棱锥P-OEG的体积.

(I)讨论/(x)在2TT］上的单调性；

(II)求函数g(x)=f(x)-4炉-1零点的个数.

ZZ1

22—

21.已知椭圆C：a+b=1(a>b>0)的左、右焦点分别是吊、出,其离心率e=2,

n

点P是椭圆C上一动点，△PQB内切圆面积的最大值为飞二

(I)求椭圆C的标准方程；

IPFJIPF2|

(II)直线尸印，尸出与椭圆C分别相交于点4B,求证：恒*1+|FzB|为定值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.［选修4-4：坐标

系与参数方程］

x4(t4)

22.在平面直角坐标系x0中，曲线G的参数方程为三(f为参数)，以坐标

原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为COS(

(I)求曲线G的普通方程和C2的直角坐标方程：

(II)已知点尸(3,V3),曲线C|与C2相交于4，8两个不同点，求的

值.

［选修4-5：不等式选讲|

2_

23.已知函数f(x)=|x+m|+|x-w|(m>0).

(I)当m=l时，求函数/(x)的最小值：

(II)若存在xe(0,1),使得不等式/(x)W3成立，求实数m的取值范围.

答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知全集。={1,2,3,4,5},A={2,3},B={\,3,5},贝ij4U(QB)=(

)

A.{2,3,4}B.{2}C.{1,5}D.{1,3,4,5}

解：全集U={1,2,3,4,5},N={2,3},8={1,3,5},

所以Cu8={2,4},

所以/U(Cu5)={2,3,4}.

故选：A.

2.已知复数z满足z・(1-i)=2z•(其中i为虚数单位)，则z的值为()

A.~1-zB.-1+iC.1-zD.1+i

2i2i(l+i)-2+2i

解：•复数z满足(1-i)=2i,/.z=l~i=(l~i)(1+i)=2=-1+z,

故选:B.

3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄

金分割数2,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现，这一数值也表示为

2,

ab

a=2sinl8°,若苏+6=4,则l-cos72°=()

1_y+1

A.2B.2C.2D.4

解:Va=2sinl8",若屏+6=4,

.*.6=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,

a2b4sin218°・4cos218生^

/.l-cos720=l-cos720=2sin2360=2.

故选：B.

4.函数y=cos(sinx)的图象大致是()

解：*:f(-x)=cos(sin(-x))=cos(sinx)=f(x),

・・・函数/（x）为偶函数,

-1WsinxW1,

K兀

:.-2+2加WxW2+2Zm,

Ay=cos(sinx)在x=2Hr时有最大值，且y>0,

故选：B.

5.在区间［-1,1］上任取一个实数上则使得直线y=京与圆G-2）2+产=1有公共点的

概率是（）

返返返工

A.2B.2C.3D.2

解：圆（X-2）2^=1的圆心为（2,0）,半径为1.

要使直线卜=履与圆（x-2）2+产=1有公共点，

V3V3

则圆心到直线》=履的距离Vl+k’Wl,解得：-3WkW3.

在区间［-1,1］中随机取一个实数匕则事件“直线'=船与圆（x-2）2+产=1有公共

点”

~r-（r）返

发生的概率为：1-（-1）=3.

故选：C.

6.已知二，E为单位向量，且满足|二石=企，则|22+石=（）

A.MB.V?C.V5D.2V2

解：a,b为单位向量，且满足|a-母=&,

可得a-2a，b+b=2,

解得a*b=0,

-*—*/­♦22l

所以|2a+b|=T4a+4a，b+b=75.

故选：C.

7.已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为S“且｛$｝是等差数列，则下列结

论错误的是()

A.｛%+$“｝是等差数列B.｛©,•&｝是等比数列

sn

C.｛d｝是等差数列D.｛k｝是等比数列

解：由｛SJ是等差数列，

可得：2(。|+。2)=〃1+。1+。2+。3，

•・。2=。3,

V｛即｝是各项均为正数的等比数列，

**•做=。2g，可得q=1.

•・〃〃=〃]>0,

，a〃+S〃=(〃+1)・••数列｛册+SJ是等差数列，因此力正确.

22

an=a"｛斯2｝是常数列，为等差数列，因此C正确.

Snsn

n=®>0,.・・｛n｝是等比数列，因此。正确.

2

勾£=〃”1,.・・｛a〃・SJ不是等比数列，因此8不正确.

故选：B.

'3x+y-3〉0

<2x+3y-9<02x-*y-3

8.已知实数x,y满足|x-2y-l40,则z=x-2的取值范围是()

A.(-8,i]u(2,4]B.[1,2)U(2,4]

C.[1,2)U[4,+8)D.(-8,1]U[4,+°°)

解：由约束条件作出可行域如图,

(2x+3y-9=0

联立1x-2y-l=0,解得4(3,1),由图可知，B(1,0),

2x~»y-3y+1

z=x-2=2+M二］，其几何意义为可行域内的动点与定点(2,-1)连线的斜率加

2.

-1-1-1-0

由图可知，kpA=2-3=2,.B=2-1=T,

2x+y-3

，Z=X-2的取值范围是(-8,4-oo).

故选：D.

9.已知4=4/〃3"，6=3/〃4%c=4bm3,则下列结论正确的是()

A.b<c<aB.c<b<aC.h<a<cD.a<b<c

解：•.•。=4037b=31〃4",c=4lnn3,

aln3bln4cIn兀

・・.12兀=亏,12K=~Tf12兀=兀，

lnxlTnx

2-

设/(x)=x(x>0),则/(x)=x,令/(x)=0,则x=e,

当(0,e),f(x)在(0,e)上递增，当(e,+°°),f(x)在(e,+°°)递

减，

ln4In兀ln3

V4>n>3>e,A/(4)</(n)V/(3),即4〈兀V3,

:.a>c>b.

故选：A.

10.已知正四面体45CQ的棱长为4,点E在棱Z6上，且BE=34E,过E作四面体

力8CQ外接球的截面，则所作截面面积的最小值为()

10兀兀返

A.3B.3-rrC.3D.4

解：如图，正四面体的棱长为4,则正方体的棱长为2&,

正四面体的外接球即正方体的外接球，其半径为2R=

d(2加产+(2⑨2+(2加)2=2五,

_AB4=&

7?—V6,cosZOAB=21/63,

OA—R=\[^>,AE—4：AB—441,

.0E2=(V6)2+12-2XV6x1X^_

22==

则截面圆的半径r=VR-OE^6-3V3,

截面面积的最小值为5=r户=3m

故选:B.

—,0

11.已知过抛物线产=2/zv(p>0)的焦点F(2)的直线与该抛物线相交于48两

点，若年的面积与△BO尸(O为坐标原点)的面积之比是2,则|/阴=()

_91317_

A.4B.4C.4D.4

P1

解：由焦点的坐标可得2=2,所以p=l,

所以抛物线的方程为：产=2x,

设直线的方程为：x=fny^-2,设力(元卜力)，B(必，”)，设力在x轴上方，设

加〉0,

2

联立[y=2x整理可得：炉-2叩-1=0,

刈+p2=2加①，yiy2=-1②，

。、|OF|,yi

S/kAOF

由题意$2(^=万触"(-丫2)=2,

返

可得加=-272，代入①②可得：8〃户=1,解得：阳=4,

返

将加的值代入①可得为+”=2,

§

修+、2=机(^1+^2)+1=4,

5_旦

由抛物线的性质可得M8|=XI+M+P=4+1=4,

冗兀

12.已知函数/(x)=sin(u)x+(p)(3>0,0<(p<2)的图象关于x=-3对称，且

7TJT

/(V)=0,将/(x)的图象向右平移飞-个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列

结论正确的是()

兀

A.(p=3

B.若g(X)是奇函数，则3的最小值为1

n7T2

c.若/co在，上单调递增，则sc(0,7]

JT

D.若g(x)是周期最大的偶函数，则/G)在[0,画上单调递增

兀K

解：由于函数/(x)=sin(3x+(p)((o>0,0<(p<2)的图象关于x=-3对称，

7T兀

/.a)X(-3)+(p=%ir+2,k£Z,①.

7T

,:f(6)=0,

n

6+(p=Air,k£Z,②.

(t)=--

将+3代入①②，无解，故/错，

713兀

将/(x)的图象向右平移飞-个单位长度得到函数g(x)=sin3x-3+(p)的图如

则g(x)的图象关于〉轴对称，故g(x)为偶函数，故8错；

冗.1kl

：由题意，6-(--3-)=(42)T,汽=0,1,2,

；.3=l+2h，则321,C选项错，

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两空的，答对第一空的

给3分，全部答对的给5分.

13.函数/(x)=(x-1)d的图象在点(0,/(0))处的切线方程为v=-1.

解：由题意可得/(x)=xe\则/(0)=0.

因为/(0)=7,所以所求切线方程为＞1=0,即y=-l.

故尸-1.

14.某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用

分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为

10,则被抽取的初级职工的人数为90.

解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q的等

比数列，

且的=10,$3=130,

a】q"=10

所以［ai(i+q+q2)=i30,

消去解得q=W,或(不合题意，舍去)，

当q—3时，°|=90,

即被抽取的初级职工的人数为90.

故90.

_2

15.已知a,b,c分别是△48C的内角/B,C所对的边，3csiM=4bsinC,cosC=3,

点。在线段48上，且若△48C的面积为2依，则a=4,CD=_

2721

3

解：由正弦定理及3csiM=46sinC得3ac=4bc,

4b

故片石，

C2,,22--------------

2a+b-c2b.4b

由余弦定理得cosC=3=2ab=3,

整理得b=c,

_2

因为cosC=3,

返

所以sinC=3,_

1L.c1Y4b八Y店

L,、，A“■田«TrabsmC77x-r-XbX——-r-

因为ZX/BC的面积S=2—233—2\5,

所以b=3,c=3,a=4,

因为8£>=2D4,

所以前=2丞，即而-混=2(左-而),

2-CA-4-CB

整理得CD30

2

4b2a4-*--84

在-^-『VCA,CB：X4X3X

V+fKT,

2亚

故CD=3

2亚

故4,3.

22-----

16.已知椭圆C：ab=1(«>Z,>0)的左焦点是点F,过原点倾斜角为3的直线/

2冗逆一氏

与椭圆C相交于M,N两点，若NMFN=3,则椭圆C的离心率是_2_

解：设右焦点为尸，由题意可得直线/的方程为：y=J§x,设“(沏，为)，

N(-x0,-y0),

2兀

连接用尸，NF,因为NA/FN=3,

71

所以四边形FM尸N为平行四边形，则/必/尸=飞二

nVsie

而6?tan6=3拄=2•少0,(焦三角形面积公式S=〃tan2,3为焦顶角)，

我bb2

所以可得为=2丁，代入直线/的方程可得：的=蕊，

b43b2

9c29c2

22~

将〃的坐标代入椭圆的方程可得：a，+b/=1,

2

整理可得：4a4-14a2c2+。4=0,即e4-I4e+4=O,

解得：e2=7±3述，由椭圆的离心率e€(0,1),

3&一屈

所以e=V7-3V5=2,

3&一布

故2.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:

共60分.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S”数列｛%｝满足%=。“+即+1(«GN*),再从下面条件①

与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：

(I)证明：出“｝是等比数列；

(II)求数列｛〃与｝的前"项和T,,.

3,

<t+l

条件①：©=2,4S„+2a„+1=3(nGN*)；条件

3_

(2^：。]=敢=2,”“+2=a"+2X3"(〃6N*).

3_

解：选条件①：幻=2,4s,+2。“+]=3"+1(N€N*)；

(1)证明：当〃=1时，4&+242=32,

3_3_

因为Si="i=2,所以“2=2,所以历=。1+。2=3,

当〃21时，4s"+2%+1=3叫①

4S,,+I+2%+2=3"+2,②

②-①可得斯+2+册+1=3叫

即b〃=a〃+a”+]=3〃(〃EN*),

则｛儿｝是首项、公比均为3的等比数列；

(II)由(I)可得b“=3"(〃€N*),

所以T“=l・3+2・32+3・33+…+〃・3",

37；=1・342・33+3・34+…+〃・3"+1,

两式相减可得-2。=3+32+33+・“+3"-

3(卜限)

=1-3-w3n+l,

3_

化简可得Tn=4[(2〃-1)

3_

选条件②：。1=。2=2,a„+2—a„+2X3"(«eN*).

(I)证明：由即+2=斯+2义3"(〃6N*),

口1得。“+2+。"+1=恁+。什1+2X3",

因为b“=an+a„+”所以如i=bn+2X3",

+l

则b„+i-3"=Z>„-3",

所以6"-3"=仇-3=ai+a2-3=0,所以b=3"(”6N*),

则出“｝是首项、公比均为3的等比数列；

(II)由(I)可得b“=3"(〃6N*),

23

所以Tn=1»3+2«3+3•3+-+«»3",

37；=1・32+2・33+3・34+…+”・3日，

两式相减可得-27；,—3+32+33+'"+3z,-«*3,,+|

3(1-3”)

=1-3-w3n+1,

3_

化简可得T„=4[(2«-1)•3n+l].

18.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展

旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为

此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从

去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.

满意度老年人中年人青年人

报团游自助游报团游自助游报团游自助游

满意121184156

一般2164412

不满意116232

(I)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向

于选择报团游？

(II)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游

客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.

(III)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

解：(I)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：

15§30_^22,11

Pi=18=6,P2=40~4,尸3=42-21,

•：Pl>P2>P3,

.♦.老年人更倾向于选择报团游.

(II)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为。，

中年人有2人，记为b,c,青年人有2人，记为d,e,

从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：

(a,b),(a,c),Ca,d),(a,e),(b,c),(Z>,d'),(b,e),

(c,d),(c,e),(",e),

其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),

42_

.•.这2人中有老年人的概率为p=T5=T

cm)根据表中的数据，得到：

12+18+1545

报团游的满意率为P4=15+30+22=67,

1+4+61

自助游的满意率为尸5=3+10+20=京,

•.•尸4>25，；•建议他选择报团游.

19.如图，在三棱锥中，△尸是正三角形，G是△48的重心，D,E,，分别

是P4BC,尸。的中点，点F在上，且即=3FC.

(I)求证：平面。77/〃平面PGE；

(II)若P8_L4C,AB^AC=2,BC=2&求三棱锥尸-OEG的体积.

解：(I)证明：连结8G,由题意可得BG与G。共线，且BG=2GD,

•••E是8c的中点，BF=3FC,二厂是CE的中点，

BG_BE_2

AGD-EF",J.GE//DF,GEu平面尸GE；DFC平面PGE；

〃平面PGE,

•.,”是PC的中点，：.FH//PE,PEu平面「GE,FHC平面PGE；

...正，〃平面PGE,

:DFCFH=F,。尸u平面。EF,FHu平面DEF,

平面。EH〃平面PGE；

(II)'：AB=AC=2,BC=2V2,：.AB2+AC2=8=BCZ,C.ABVAC,

'CPBLAC,ABCPB=B,：.AC±^PAB,

"

•.•△48是正三角形，.•.szy>"=rAB=百，

VVV，AC

...j/F.O£C=r£./)OG=lE-PBD=|E-PAB=^-C-PAB=^g"pAB=^f.

20.已知函数/(x)=cosx+xsinx.

(I)讨论/(x)在［-2TT,2TT］上的单调性：

工

(II)求函数g(x)=/(x)-4x2-1零点的个数.

解：(I)因为/(-x)=cos(-x)-xsin(-x)=cosx+xsinx=/(x),xGR,

所以/(x)是&上的偶函数，也是［-2m2ir］上的偶函数，

当x€［0,2TT］时，/(x)=xcosx,

K3KH37r

令/(x)》0,则OWxW2或2WXW2TT,令，(x)<0,则2<x<2,

713K713K

所以y(x)在［0,2］和［2,2n］上单调递增，在22上单调递减，

3兀K

因为一(X)是偶函数，所以/(X)在［-2m--5一I和［--T,0］上单调递减，在(-

3兀71

一^―，-T)上单调递增.

3打冗兀3九

综上所述，/(X)在［-如，-2］、［-2,0］和22上单调递减，

3兀兀九3兀

在(-2,-2)、［0,2］和［2,2n］上单调递增.

(II)由(I)得g(-x)—f(-x)-4(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上

的偶函数，

工

(1)当xe［O,2TT］H寸，g1(x)=x(cosx-2),

715兀715兀

令g'(x)>0,贝Ijo<x<3或3<x<2m令g'(x)<0,则3<x<3,

K5兀兀5兀

所以g(x)在［0,飞-］和［亍，271］上单调递增，在33上单调递减,

冗5冗5冗返1_5几

因为g(3)>g(0)=0,g(3)=3x(-2)-4(3)

2-2<0,g(2TT)=-n2<0,

5兀

所以g(x)在(0,)上有一个零点，所以g(x)在［0,2TT］上有两个零点；

1_工

(2)当x6(2n,+8)时，g(x)=cosx+xsinx-4x2-1-4x2<0,

所以g(x)在(2TT,+8)上没有零点.

由(1)(2)及g(x)是偶函数可得g(x)在R上有三个零点.

ZZ1

22—

21.已知椭圆C：a+b=1(a>ft>0)的左、右焦点分别是吊、出,其离心率e=2,

n

点尸是椭圆C上一动点，△尸尸正2内切圆面积的最大值为飞二

(I)求椭圆C的标准方程；

IPFJ|PF2|

(II)直线PF1，尸尸2与椭圆c分别相交于点4B,求证：.送1+|FzB|为定值.

解：(I)设内切圆的半径为r,

W|Jf（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）r=SApFiFz

2SS

APF1FZAPF1F2

.'.r—2a+2c——a+c,

...当的面积最大时，MFR内切圆的半径r最大,

显然当点尸为椭圆的上顶点或下顶点时，△PQF2的面积最大，最大值为

yX2cXb

=bc,

bebe北

二厂的最大值为a+c,即a+c=3,

be

a+c3

a=2

7"?*^>=5/3

.2八2工2

由（a-b+c,解得：Ic=l,

・・・椭圆。的标准方程为：

（II）设P（沏，泗），A（X]fy｝）,B（M，竺），

①当"WO时，设直线PQ,尸&的直线方程分别为工=如厂1,工=加*+1,

x=m1y-l

22

Xy_1nO

"4-3T得：（3叫+4）y-6my-9=0^

由1

g

y（）y;Sm^+4

xo+1y。5+2xo

IU]=----------o~~

；xo=机口-1,；•y0,yl,

+

x=m2yl