2021年数学高考真题卷-全国甲卷（文）数（含答案解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试•全国甲卷

文科数学

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M={l,3,5,7,9},N={x|2x>7}4iJMClN=

A.{7,9}B.{5,7,9)

C.{3,579}D.{1,3,579}

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如

下频率分布直方图:

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知(l-i)2z=3+2i,贝ijz=

3

AA.-1i—3.1

2

3

C.--+i

2

4.下列函数中是增函数的为

2

A.f(x)=-xB.f(x)吟

C.f(x)=x2D.f(x)=Vx

5•点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为

169

AB-l

4

cD.-

-i5

6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力

数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为

4.9,则其视力的小数记录法的数据约为('阮曜1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三

视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是

正视图

口口口口

8.在△ABC中，已知B=12(r,AC=g,AB=2,则BC=

A.lB.V2C.V5D.3

9.记Sn为等比数列｛aj的前n项和.若S2=4$4=6,则S6=

A.7B.8C.9D.10

10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

11.若ae(0,-),tan2a=的。，则=

22-sinatana

速BfC-fD呼

12.设f(x)是定义域为R的奇函数，且川+x)=").若居)q,则犬|)=

A.上5B.-1iC.i1D.5-

3333

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.若向量a,b满足⑷=3,|a-〃|=5,a-1，则|。|二

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30兀,则该圆锥的侧面积为.

15.已知函数段)=2COS(GX+9)的部分图象如图所示，则年)

22

16.已知Q,B为椭圆C:J+-=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|QE|,则四边形

PFyQFi的面积为.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必

须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(12分)

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台

机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级二级

合计

品品

甲机

15050200

床

乙机

12080200

床

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附:六=____"也立____

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'

P(^>0.050.010.00

fc)001

3.846.6310.8

k

1528

18.(12分)

记S“为数列｛斯｝的前〃项和，已知。〃>0,。2=30,且数列｛店｝是等差数列,证明:｛。〃｝是等差数列.

19.(12分)

已知直三棱柱ABC-ABG中，侧面为正方形4B=3C=2,E,F分别为AC和CG的中点

(1)求三棱锥REBC的体积;

(2)已知。为棱4Bi上的点，证明:8尸，OE.

20.(12分)

设函数.儿丫)=。2/+以-31nx+1,其中a>0.

(1)讨论兀0的单调性；

(2)若y="r)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

21.(12分)

抛物线C的顶点为坐标原点0,焦点在x轴上，直线l:x=l交C于P,Q两点，且0PL0Q.已知点〃(2,0),且。加

与/相切.

(1)求C,。”的方程；

⑵设44A是C上的三个点，直线4A2AA3均与。M相切.判断直线A2A3与。例的位置关系,并说明理由.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4:坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点k轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2V^cos

e.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足万=卷隔，写出P的轨迹G的参数方程,并判断C

与Ci是否有公共点.

234选修4-5:不等式选讲］(10分)

已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.

⑴画出产/㈤和y=g(x)的图象；

⑵若於+“)*(*),求a的取值范围.

12345678910111213141516

BCBDACDDACAc3V239兀-V38

LB【考查目标】本题主要考查集合的表示、集合的运算等知识，考查的学科素养是理性思维.

【解析】由题得集合％={小＞§,所以MCN={5,7,9}.(易错警示:混淆交集与并集的概念出错)

故选B.

2.C【考查目标】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查的学科素养是数学应用,考查逻辑思维能力、

运算求解能力.

【解析】对于A:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为

(0.02+0.04)x1=0.06,正确；

对于B:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为

(0.04+0.02+0.02+0.02)x1=0.10,正确；

对于C:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7

.68(万元)，错误；

对于D:根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为

(0.10+0.14+0.20+0.20)x1=0.64,正确.

【解题妙招】由于C选项计算量较大，可以先判断ABD选项,然后利用排除法得到C选项错误.

3.B【考查目标】本题主要考查复数的运算,考查运算求解能力.

【解析】2=券=苧=?=-1+|］故选B.

(11-1)-L\LZ

4.D【考查目标】本题主要考查常见函数的图象、单调性等知识，考查的学科素养是理性思维.

【解析】解法一(排除法)取由=-5=0,对于A项有段。=1/2)=0,所以A项不符合题意;对于B项有

心|)=15Ax2)=1,所以B项不符合题意;对于C项有加)=1/2)=0,所以C项不符合题意.故选D.

解法二(图象法)如图,在坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符

合题意.故选D.,\y，尸f

【技巧点拨】暴函数yu)=正的图象和单调性可能不是很熟悉，但利用特殊值或图象都可以迅速排除

A,B,C选项.

5.A【考查目标】本题主要考查双曲线的方程、渐近线、点到直线的距离等知识,考查的学科素养是理

性思维.

【解析】由双曲线的方程知,。=4力=3,焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为产%,即3x-4y=0,由

点到直线的距离公式得，点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为萼缪］.故选A.

【归纳总结】由双曲线的对称性知，坐标轴上的点到两渐近线的距离相等.点(孙州)到直线

Ax+B)，+C=0(42+BV0)的星巨离卷:G

6.C【考查目标】本题主要考查对数、指数的运算，考查运算求解能力，考查的学科素养是数学应用、数

学探索.

【解析】由题意知4.9=5+lgV,得lg丫=-0.1,得V=I0磊乜).8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.

7.D【考查目标】必备知识:本题主要考查三视图.关键能力:空间想象能力.学科素养:数学探索.

【解析】根据已知条件作出图形如图所示，结合多面体的正视图可知，该几何体的侧视图为D选/

项中的图形.於、、

，必)-

8.D【考查目标】必备知识:本题主要考查解三角形的知识.关键能力:通过解三角形考查了逻辑L岂

思维能力和运算求解能力.学科素养:通过解三角形考查了理性思维学科素养.

【解析】解法一由余弦定理AC2=AB2+B<?-2AB-BCcosB,得8G+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).

故选D.

解法二由正弦定理焉=黑，得sin。=密，从而cosC=^C是锐角)，所以sinA-sin[n-

(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinW8c=3.故选D.

21921938sinosinA

【方法总结】已知两边一角求第三边，可以直接用余弦定理求解，也可以用正弦定理求解.用正弦定理求解

时,要用到两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，且涉及角的范围等，较麻烦.

9.A【考查目标】必备知识:本题主要考查等比数列的定义、前”项和公式等知识.关键能力:通过求等比

数列的和考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:通过求等比数列的和考查理性思维学科素养.

【解析】通解因为$2=4,$4=6,且易知公比疔±1,所以由等比数列的前〃项和公式，得

$2==@i(l+q)=4

1-Q，两式相除，(技巧点拨:与等比数列有关的方程组，求解时通常利用两式相

。1(1刃4)

54==«1(1+<?)(1+<72)=6

1-Q

除，达到消元、降次的目的)

U1=4(2-V2)a=4(2+V2)a.6..

得“2=；1,所以夜'"或：但[所以S6=半以=7.故选A.

优解易知S234-S2a-S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6-S4)=(S4-S2)2,即4(S6-6)=22,所以56=7.故选A.

【规律总结】在等差数列中总段卜S*,S3ks2b..(kCN*)构成等差数列，在等比数列中&匈5圆-

S2人..(ZWN*)构成等比数列.

10.C【考查目标】必备知识:本题主要考查古典概型.关键能力:通过求古典概型考查逻辑思维能力和运

算求解能力.学科素养:通过求古典概型考查理性思维、数学应用学科素养.

【解析】把3个1和2个。排成一行，共有10种排法，分别是

00111,10011,11001,11100,01011,01101,01110,10101,10110,11010,其中2个0不相邻的排法有6种,分别是

01011,01101,01110,10101,10110,11010,所以所求概率2=30.6.故选C.(古典概型的概率计算公式是

4事件包含的基本事件数m

P(A)=列举试验结果时要注意不重不漏)

•次试验所包含的所有基木事件数n'

11.A【考查目标】必备知识:本题主要考查三角恒等变换，涉及同角三角函数基本关系、二倍角公式等

知识.关键能力:通过三角恒等变换考查了逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:通过三角恒等变换考查了

理性思维学科素养.

【解析】解法一因为tan2a=W^=^空^，且tan2a=/，所以警誓=拜，解得sinaW因为

cos2al-2sinza2-smal-2smza2-sma4

a£（0；）,所以cosa=—,tan■二空.故选A.

24cosa15

2sina

hji__.C2tana.„2sinacosa2sinacosa口八cosar-r.2sinacosacosa献"但.

解法一因为tan2"=工^=丁rn瓶（="布瓦=中瓦，且tan2k右京，所H以音莅7=5,解得sm

1cos2a

</=工.因为a£（0「）,所以cosa=—Jana=出巴二组.故选A.

424cosa15

【思维价值】三角恒等变换的目的是化异为同，从函数名、角、次数、运算结构四个角度分析，利用恰当

的三角公式达到已知与所求的转化，一般优先从化函数名入手.

12.C【考查目标】必备知识:本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性等知识.关键能力:通过函数求值

考查了逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【思维导图】

危）是定义域为R的奇函数一犷-*）=处）-1+"一”工，（2+x）7（%）一力|）习（|-2）可（T）=g

【解析】因为火x）是定义在R上的奇函数，所以代用=处）.又川+x）=/（-x）,所以/2+x）=/Il+（l+x）J=/!-

（1+切=川+*）=：/（-x）=y（x）,所以函数加）是以2为周期的周期函数；x|）习（|-2）可（-1）=].故选C.

【真题互鉴】（2018全国I[文,12）已知危）是定义域为（-8,+8）的奇函数,满足/㈤习U+x）.若川）=2,则

加）侦2）侦3）+...450）=

A.-50B.OC.2D.50

答案:C

点评:两道试题命题方式、考查内容相同，只是难度降低了.

13.3a【考查目标】必备知识:本题主要考查向量的概念、向量模的计算等知识.关键能力:逻辑思维能

力、运算求解能力.学科素养:理性思维.

【解析】由|a»|=5得（a-份2=25,即上20"抉=25,结合⑷=3,a力=1,得32-2x1+|砰=25,所以步|=3①

【技巧点拨】求向量模常用的方法有两种:一是利用⑷=必直接求得模;二是构造关于模的方程，通过解方

程求得.本题就是用的第二种方法.

14.3971【考查目标】必备知识:本题主要考查圆锥的体积和侧面积等知识.关键能力:逻辑思维能力、运

算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【思维导图】

由已知一圆锥的高一圆锥的母线长鲤如空当圆锥的侧面积

【解析】设该圆锥的高为则由已知条件可得沁X62x〃=30兀，解得力=|,则圆锥的母线长为

迎2+62=后+36号,故该圆锥的侧面积为兀x6x手39兀

【归纳总结】圆锥的体积公式为丫网谯=呆产〃，圆锥的侧面积公式为5”产兀”,其中/•为圆锥的底面半径,/?为

圆锥的高,/为圆锥的母线长.

15.-V3【考查目标】必备知识:本题主要考查三角函数的图象与性质.关键能力:逻辑思维能力、运算求

解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【解析】解法一（五点作图法）由题图可知射=詈色手（7为於）的最小正周期），即7=兀，所以存兀，即

。=2,（解题关键:由题图中已知零点和相邻最高点的横坐标得到犬x）的最小正周期，进而得到。的值）

故./U）=2cos（2r+p）.点（*）可看作“五点作图法”中的第二个点，故2X"9=?得0=3,（难点突破沐题没有给出

3326

9的取值范围，需要结合图象确定（P的值）

即T（X）=2COS（2X-7）,

所以於）=2cos（2xg-4=-V5.

ZZO

解法二（代点法）由题意知,；T=^3=F（T为小）的最小正周期），所以7=私空=私即3=2.又点邑0）在函数段）

4123433

的图象上，所以2cos（2x?+9）=0,所以2x9+9=9+E（AeZ）,令左=0,则9=-5，所以/U）=2cos（2xT）,所以

33266

心=2cos（2x先）=-2COSM=-V5.

NZOO

解法三（平移法）由题意知,>=誓3=9（7'为段）的最小正周期），所以7=兀,空=兀，即。=2.函数y=2cos2的图

象与x轴的一个交点是（*0）,对应函数加）=2cos（2r+3）的图象与X轴的一个交点是（扣）,所以段）=2cos（2x+0）

的图象是由y=2cos2x的图象向右平移若咤个单位长度得到的,所以段）=2cos（2x+0）=2cos2（x*）=2cos（2x-

所以/（9=2cos（2x共）=-2COS?=-VT

OZZOO

16.8【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的几何性质和几何图形面积计算等知识.关键能力:逻辑

思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.

【解析】解法一由椭圆C:^=l可知|FF2|=4A&.由P,Q为C上关于坐标原点对称的两个点，且

164

|PQI=|FE|,得|PO|=|QO|=2旧（0为坐标原点），所以P,Q既在椭圆盘用=1上,又在圆x2+y2=12上.不妨设点P在

164

y2

第一象限，则由森+了=1，可得P畔，乎)，所以由对称性，可得四边形PBQF2的面积

(x2+y2=1233

S四边形PF]QF2=2SAPFiF2=2xgx|F|F2|xyp=2xgx4V5x手=8.

解法二由椭圆方程知,a=4,b=2,则c=V^^=28.由点P在椭圆上，得|PB|+|PF2|=8,(易错警示:不要与双曲线

定义混淆)

所以|PBF+|PF2F+2|PFIHPF2|=64①.由椭圆的对称性及|PQ|=|FR|知,四边形PBQF2是矩形，在RtAPFR中，

由勾股定理得|PFIF+|PF2|2=|FF2|2,所以|PFIF+|PF2|2=48②.由①-②得|PBHPF2|=8,所以

S四边形PF】QF2=IPFIHPF2|=8.

光速解由椭圆的对称性及|PQ|=|FR|知,四边形PBQF2是矩形，且NBPF24结合b?=4,及椭圆焦点三角形的

==2

面积公式，得S四边形PFiQF22SAPF1F22btan—:--=8.

22

【二级结论】已知椭圆a+左=13>〃>0)的焦点为为椭圆上一点，则焦点三角形PFiB的面积

SAP&FZ42tan*其中。利用此结论可实现快速解题，如本题光速解.

【解后反思】本题求四边形面积时，可将四边形面积转化为三角形面积来求解，而三角形面积的求解则需

要利用坐标系这个特殊环境，转化为SAP&F2=：X|EF2|XW，这里面既包含了利用椭圆的对称性，又给出利用坐

标系计算图形面积的特殊性.

17.【考查目标】必备知识:本题主要考查样本频率、独立性检验等知识.关键能力:通过求频率和计算群

考查了运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【解题思路】(1)利用公式求解频率;(2)利用K2的计算公式求出烂,结合临界值表，得到结论.

解:(1)根据表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是黑=0.75,乙机床生产的产品中一级品的频率是

—=0.6.

200

(2)根据列联表中的数据可得群=把黑黑黑料=詈10.256.

因为10.256>6.635,所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.【考查目标】必备知识:本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的证明等.关键能力:逻辑思维能

力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【解题思路】由已知求出数列｛店｝的公差，写出数列｛图｝的通项公式，得到S“,利用""=｛£[二：22求

出数列｛如｝的通项公式，最后利用等差数列的定义即可得证.

解:由题意可知，数列｛遥｝的首项为何，设等差数列｛店｝的公差为d,

则d=yl~S2-yl^i=V^1a2~V^7=V^1，

所以7^=^^7+(〃-1)7^7二〃7^7,艮口Sn=ai,〃,

所以“"=｛££；(2n-l)ai,n>2,即斯押〃〃)心

所以如+「斯=2即所以数列｛〃“)是以s为首项2“为公差的等差数列.

19.【考查目标】必备知识:本题主要考查空间中点、线、面位置关系，直三棱柱的性质等知识.关键能力:通

过几何体体积的求解和线线垂直的证明考查逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性

思维、数学应用、数学探索.

【解题思路】⑴取8c的中点M,连接EM由三角形中位线性质结合8尸，481推出8b，EM进而推出

平面BCF,将求三棱锥尸-E8C的体积转化为求三棱锥E-F8C的体积，再利用三棱锥的体积公式求解即

可;(2)要证明线线垂直只需证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，连接证明平面

EMB\A\即可证得结果.

解:⑴如图，取BC的中点为M连接EM,

由已知可得EM〃AB,AB=8C=2,C尸=l,EM=l8=l,AB〃4Bi,

由BF_LA^^^EM_LBF,

又EM^CF,BFC\CF=F,

所以EM_L平面8CF,

故V:梭徘F-EBC=y滋他E-FBC=!xT8CxC7?XEM=!xTx2xlXl=1.

(2)连接A|E,B|例，由(1)知EM〃AB,

所以££＞在平面EMB\A\内.

在正方形CCiBiB中，由于分别是CG,8c的中点，所以由平面几何知识可得

又8F_LA|8i囚所以BF_L平面EMB\A\,

又OEu平面EMB/i,所以BF1DE.

【规律总结】(1)三棱锥体积计算一般都要用等体积法,本题通过转换三棱锥的顶点将求解三棱锥F-EBC

的体积转化为求解三棱锥E-FBC的体积.(2)证明线线垂直的思路:可通过证明其中一条直线垂直于另一条直

线所在的平面，即证线面垂直，要证明线面垂直可通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直.

20.【考查目标】必备知识:本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识.关键能力:通过讨论函

数的单调性和求参数的取值范围考查逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【思维导图】

(1次x)T(x)的定义域/QOTtv)的单调性

(2)由(1)知"X)的最小值为”色的图象马,“轴没有合共点次》>0恒成立―”的取值范围

解:⑴由题意内0的定义域为(0,+8),

,〃、「32a2x2+ax-3(ax-l)(2ax+3)

f(x)=2a-x+a--=-----------=---------------,

则当x3时/(x)>0於)单调递增;当074时/(x)<O«x)单调递减.

故函数_Ax)在(09上单调递减，在6+8)上单调递增.

(2)由(1)知函数_/(x)的最小值为人》，

要使y=/U)的图象与x轴没有公共点，只需_/U)的最小值恒大于0,即聆>0恒成立，

故於(》2+4.；_3|若+1>0,得67>p

所以。的取值范围为&+8).

e

【难点突破】将y=Kx)的图象与x轴没有公共点进行等价转化是解决本题的难点，也是关键点，利用第(1)问

函数兀v)的单调性将问题转化为Ar)的最小值恒大于0,归结为函数最值问题.

21.【考查目标】必备知识:本题主要考查抛物线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等

知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.

【解题思路】(1)根据题意得出P,Q的坐标，由P在C上得到p的值，即可得到C的方程，由。M与/相切得

到。M的半径，即可得到0M的方程;(2)设出AI/243的坐标，分两种情况判断直线4必3与。M的位置关系.

解:(1)由题意，直线x=l与C交于尸，。两点，且OPLO。,设C的焦点为广尸在第一象限，

则根据抛物线的对称性,NPOF=NQOF=45。，

所以尸

设C的方程为y=2px(p>0),则1=2p,p=g,

所以C的方程为产=工

由题意，圆心M(2,0)到/的距离即。例的半径，且距离为1,所以OM:(X-2)2+)2=I.

(2)设A1(X1方1)A(X2,y2)A(X3,y3),

当4,A2,A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时AA2AA3均与。M相切，此时直线A2A3与

。“相切.

当即孙2次尤3时，直线A\Ar.x-(y\+y2)y+yiy2=0,

则|2+尸的=1,即（yf-Oyz+2yi”+3•资=0,

1（%+尸2）2+1

同理可得1）资+2yiy.3+3-yi=0,

所以)明”是方程(y%l)a+2yi/+3-y/=0的两个根,

则yi+j3=-77^3=TTT-

直线42A3的方程为无-⑴+乃川+丁2y3=0,