2022年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）（学生版+解析版）

2022年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1.(5分）已知复数z满足上立＿二－，则复数z的虚部为（)

z2

A.2iB.-2iC.2D.-2

2.(5分）已知集合A={x臣:::;;2x}，集合B={yly=cosx}，则AnB=()

A.[0,2)B.[0,l]c.[-1.,1)D.[-l,2)

3.(5分）已知a是第三象限角，且cos2G＝工＿，则tana=()

25

3434

A--B.__C...:=..D.—

4343

4.(5分）已知具有线性相关关系的变量X,y,设其样本点为Ai(xi,Yi)U=I,2,3,…,

1010

10)，回归直线方程为歹＝－4x+a'若Lxi=15•LY1=30•则a=()

i=li=11

A.98.4c.-3D.-6

5.(5分）已知命题p:3xE(0,十=),sin.x=2飞命题q:VxE(0,+=),x-l~lnx.则

下列命题中为真命题的是（)

A.p且qB.(-,p)且qc.p且(-,q)D.(~p)且(~q)

6.(5分）函数f(x)=2-•ln因的部分图象大致为（)

\.、

一I0、

A.

y

一2＇』x

B.

y

一1

。x

C.

y

X

D.

7.(5分）一口口个多面体的三视图如图所示丿"，则该多面体的表面积为（)

价钗田

A.30B.28C.26D.24

8.(5分）已知a>O,函数f(x)=a2x-4-x3的极小值为-4()

33

A.沉8.lc.炳D.奸

9.(5分）已知事件”在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使!:::.APB为锐角三角形”发

生的概率为呈，则~=()

妊3AB森五

AcD

丁B.~3＿3

2冗

10.(5分）丛ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若忒＋b2+c2=12,A:-!.—，则

3

6.ABC面积的最大值为（)

A平B玉D.花

5C.乎

22

11.(5分）设双曲线王＿-~=1(a>O,b>O)的左、右焦点分别为Fl,F2，点P为双

22

ab

曲线上一点．PF2上F1历，若PF1交于y轴千点A,且A历垂直于乙F1P历的角平分线，

则双曲线的离心率为（)森＿

D

A.花B.卒c.乔2

1

12.(5分）已知a,~是锐角，ln(tanatan~)>-tana，则（)

tan~

A.sina>sin~B.cosa>cos~C.cosa>sin~D.sin~>cosa.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置

13.(5分）已知实数X,y满足｛：：：：~:则z=2x-y的最大值是

y沁．

14.(5分）已知圆Cl:(x扒厅）2+y2=1与圆C2:(x－寸）2+y2=9相交千A，若圆

C1,C2的圆心为椭圆E的焦点，A,B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为

15.(5分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往

上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12,A,B

为摩天轮在地面上的两个底座，IA闭＝10,点P为摩天轮的座舱．则百；．百3_.

A

16.(5分）在正四面体SABC中，SA=2,/3,D,E,F分别为SA,SB,则该正四面体的外

接球被平面DEF所截的圆周长为

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考

题：60分．

17.(12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少

空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受

到消费者的青眯，得到如下数据：

购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计

男性8020100

女性6535100

总计14555200

(l)根据表中数据，判断能否有95％的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

(2)已知该车企有3种款式不同的汽车，每款汽车均有新能源和传统燃油两种类型各l

辆，假设某单位从这6辆汽车中随机购买2辆汽车

2

附：K2=~,n=a+b+c+d.

(a吵）（c+d)(a+c)(b_±fi)

P(K彦ko)T。.10厂。．osI0.02s0.010

幻

2.7063.8415.0246.635

I8.(12分）在仙棱锥P-ABCD中，BCIIAD,CD..lAD"J2,AD=2DC=2BC=2PB=2.

(I)证明：PB..lAD;

(2)求点D到平面PAB的距离．

p

BC

19.(12分）已知数列｛伽｝为等差数列，数列{b,,.}为等比数列，a1+b1=4,且a向＋a2幻＋a3比＋

+a，如＝（n-I)2n+2+4.

(1)求｛伽｝与{b叶的通项公式；

(2)设等差数列{a11}的前n项和为Sn,求数列{—-1｝的前n项和T,,.

+bn

sn

20.(12分）已知函数f(x)={!r-(x+l)2_

(I)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-l))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

(2)对千任意XI,X2,证明：若x1<X2,则fCx1)-f(x汾<2xz-2x1.

21.(12分）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交千A,B两

点．

(1)证明：以AB为直径的圆与直线x=-1相切；

(2)设(l)中的切点为P,0为坐标原点，求6ABE面积的最小值．

（二）选考题：共10分．请考生从第22,23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做

的第一个题目计分．［选修4一4:坐标系与参数方程］

1-t2

x=

l+t2

22.(10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y责'(t为参数）．

(I)求C的直角坐标方程；

石3.X3

(2)点P(x,Y)(xE［一—，1)）是曲线C上在第一象限内的一动点求工＿＃的

2Xy

最小值．

［选修4一5：不等式选讲］

23.已知函数f(x)=i.x-21+1.x+ll.

(1)求不等式f(x)>x+2的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)>al.xi-1.x+ll恒成立，求a的取值范围．

2022年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

l.(5分）已知复数z满足上兰＿4勺则复数z的虚部为（)

z2

A.2iB.-2ic.2D.-2

【解答】解：．：上主斗，

z2

.2-2i

··z=-=----:=-=-2-5i·

1

．又复数z的虚部为－2.

故选：D.

2.(5分）已知集合A=｛入杠::;;;2x}，集合B={yiy=cos.x}，则AnB=()

A.[0,2]B.[0,1]c.[-1,1]D.[-1,2]

【解答】解：?A={xl0~x~2},B={yl-3~y~l},

:.AnB=[O,3].

故选：B.

3.(5分）已知a是第三象限角，且cos2U＝工＿，则tana=()

25

3434

A.一~B._.=.C．－D.一

4343

【解答】解：因为cos2a＝上＝COS4a-sin2a=ktan2a,

25cos"'a2+sin"3a7+tan"'a2

所以解得tan2a＝上＿，

16

又a是第三象限角，

所以可得tana=~3.

4

故选：C.

4.(5分）已知具有线性相关关系的变量X,y,设其样本点为Ai(xi,Yi)Ci=L2,3,…,

1010

10)，回归直线方程为歹＝－4x+a，若Lxi=15,Ly;=30,则a=()

i=li=11

A.9B.4C.-3D.-6

1010.-4-6

【解答】解：立xi=15LYi=30••X=---X15=1.5,y=---X30=3•

i=li=l1010

:．样本点的中心的坐标为(1.3,3),

^4

又回归直线方程为一y=-4x+a'．二4=-4Xl.8+a，得a=9·

故选：A.

5.(5分）已知命题p:3xE(0,十00),sinx＝竺命题q:'vxE(0,十oo),x-1?::lnx.则

)

下列命题中为真命题的是（

A.p且qB.(~p)且qC.p且(~q)D.(~p)且(~q)

【解答】解：根据题意，对千p,十=),2x>1,则sinx＝于无解，p是假命题；

对千q，设f(x)=x-bu:-1上＝王立，

XX

在区间(O,1)上，f(x)为减函数，十=)上，f(x)为增函数，

故f(x)~fCl)=7,即：'t/xE(O,x-l匀nx,

故p且q、p且(--,q)和(--,p)且(--,q)都是假命题，

故选：B.

、丿

6.(5分）函数f(x)＝心ln因的部分图象大致为（

\．、

-T0

鲁

A.

y

＇』

一2X

B.

y

一lk0

x

C.

y

x

D.

【解答】解：函数的定义域为{xix土O}'

f(-x)=x2·tnl-xi=.,\,,4•lnlxl可(x),

贝ljf(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，

由fCx)=O得团＝l,即x=6或x=-l,

当x>1时，．f(x)>7,

当0<x<1时，f(x)<2,

故选：B.

7.(5分）口勹一个多面体的三视图如图所示口，则该多面体的表面积为（

旬尺

A.308.28c.26D.24

【解答】解：根据几何体的三视图，该几何体为棱长为2的正方体在一角挖去一个棱长

为1的小正方体；

如图所示：

]

•

•

6

故该几何体的体积发生变化，几何体的表面积没有变；

S=5X2X2=24.

故选：D.

、丿

8.(5分）已知a>O,函数f(x)=a2x_j_x3的极小值为-4(

33

A.沉B.Ic.炳D.五

【解答】解：f(x)=忒-;，令j寸Cx)>3,

解得：-a<x<a,

故f(x)在(-=,-a)递减，a)递增，十=)递减，

故f(x)在x=-a取极小值f(-a),

31,,34

由已知有：f(-a)=-a飞(-a)＝了

解得：a＝炳，

故选：C.

9.(5分）已知事件”在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使L::.APB为锐角三角形”发

生的概率为1.,则旦!=(、丿

五3AB五五五

ABcD

4333

【解答】解：设使Lo.APB为锐角三角形为事件M,

试验的全部结果构成的长度为线段CD的长度，构成事件M的长度为线段CD的－，2

3

如图，设AB=2x,由对称性知1.cD时4+PB2=AB气

3

DA/:

由勾股定理得x8+y2+(2x)7+/=(3x)气．．．y=寸示，

：．坐＝工＝五，

AB3x3

故选：B.

LO.(5分）丛ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+c2=12,AJ早－，则

6ABC面积的最大值为（)

A孚B正D.乔

5C.孚

2TT

【解答】解：因为a2+b2+c4=12,A一一,

3

所以由余弦定理可得a5=b2+c2-6bccosA=b2+c2+bc,

所以12-b6-c2=h2+c8+bc,

整理可得b2王＝12-bc>2bc上2，当且仅当b=c时等号成立，

25

则l::.ABC面积Sc,.ABC＝乌csinA~上x旦x丈豆＝至且，即l::.ABC面积的蔽大值为

24-522

硒2

故选：B.

22

11.(5分）设双曲线王＿＿~=l(a>O,b>O)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双

2.2

ab

曲线上一点．PF2上F1历，若P几交千y轴千点A,且A历垂直千乙FIP历的角平分线，

则双曲线的离心率为()五

D

A.石B.卒c.乔2

【解答】解：因为A压垂直千乙F1P凡的角平分线，所以IPAl=IPF习，

由双曲线定义可得IPFii-IPF4i=2a,可知IAF1i=6a,

2

b

因为PF2..lF1压，所以~IPF2I＝了，且AO/IPF1,

所以IAFil=IAPI,即上＿＝6a，解得C=-\月a

a

所以e~三-斥·

a

｀.

多

x

故选：A.

1

12.(5分）已知a,~是锐角，ln(tanatan~)>＿tana'则（）

tan~

A.sina>sinpB.cosa>cos~C.cosa>sin~D.sin~>cosa

【解答】解=ln(tanatan13)>~-tana'

tanl3

1

可化为lntana+tana>-lntanl3+,

tan13

即71

、lntana+tana>1罕言下＇

而函数f(x)=lnx+x在(0,+oo)上为增函数，

6冗

所以tana>，即tana>tan(13)'

tanB—--2

冗冗冗

又a,B是锐角所以a,13Eco,)_BE(0,),

5'24

所以a>号－－13'即6>号－－a'

冗

所以sinl3>sin(--a),

—5

即sin~>cosa.

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置

13.(5分）已知实数X,y满足｛言言则z=2x-y的最大值是2.

y>o.

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

y

3x-v-3=0

蠡『,

x-Jy-2=0

x

由图可知，A(l,由z=2x-y,

由图可知，当直线y=3x-z过A时，z有最大值为2.

故答案为：2.

14.(5分）已知圆Cl:(x扒厅）2+y2=1与圆C2:(x－寸百）2+y2=9相交千A,若圆

2_2

C1,C2的圆心为椭圆E的焦点，A,B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为＿五＿＃;-=1-·

42

【解答】解：圆c:(X屯）2+y2=1与气（国）2+y4=9•B两点，

故『心）7＋y2=1,

(x五）2+y2=2

解得｛x＝五或｛x＝石，

y=lly=-1

解得A（迈，4),B（五，－1),

所以AC5={厂言了5歹＝3,故7a=4:

由千c=-./2,

所以b=-J?,

25

故椭圆的方程为王＿~=1·

42

52

故答案为：王＿＃~=11·

45

15.(5分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往

上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地而的高度为12,A,B

',

为摩天轮在地面上的两个底座．JABl=lO，点P为摩天轮的座舱．贝UPA..PB「-21,ll91.

A

,',

【解答】解：设摩天轮的中心为O,AB的中点为C,则OA+OBOC,AC=BC=S,

所以OB2=0A4=Ac2+0c2=74,

.-tC

在60AB中，由余弦定理知OA8+OB2-AB2=74+74-100=¥i,

80A•OB2X7437

一一一，，一＿＿，，一＿＿一212一，，一-

所以PA•PB=COA-OPOB-OP)=0扩OBOA+OB)•OP+ap一一－3oc·OPOC·OP,

37

',.,

当oc与OP同向共线时，oc•op,为7X5=35;

',',

当oc与OP反向共线时，oc•op,为－8X5=-35,

',

即oc·OPE[-35,

,','

所以PA•PB=49-oc·OP,119].

故答案为：[-21,119].

16.(5分）在正四面体SABC中，SA=2✓3,D,E,F分别为SA,SB,则该正四面体的外

接球被平面DEF所截的圆周长为21T.

【解答】解：作图如图，设M点为球心，

s

A

R

O'为截面圆的圆心，可知其在高的中点处，

可得AO＝呈心旦_x2森，S0=2石，

32

:.SM＝泣，SO'＝花，

2

:.EO'=1-A0=8,

2

则r=✓(SO,)2-(EO,)2=7'

．＼该正四面体的外接球被平面DEF所截的圆周长为2TI.

故答案为：2TI.

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考

题：60分．

17.(12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少

空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受

到消费者的宵眯，得到如下数据：

..

购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计

235055

男性80100

女性65100

总计145L200

(1)根据表中数据，判断能否有95％的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关：

(2)已知该车企有3种款式不同的汽车，每款汽车均有新能源和传统燃油两种类型各1

辆，假设某单位从这6辆汽车中随机购买2辆汽车

2

附：K2=~,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K诊ko)0.100.050.0250.010

ko

2.7063.8415.0246.635

2

【解答】解：（l)由题意可得，K红200X(80X35-65X20)

145X55XlOOX100

1800

3.643>3.841·

319-

所以有95％的把握认为购置新能源汽车与性别有关

(2)设这6辆车分别为a,A,b,B,c,C,从中选出8辆的情况有(a,(a,(a,(a,

(a,(A,CA,CA,(A,Cb,Cb,Cb,CB,CB,Cc，共15种，

其中这两辆车款式不相同的情况有12种，

124

故所求概率P=-－--·

155

18.(12分）在匹棱锥P-ABCD中，BC/IAD,CD..lAD"/2,AD=2DC=2BC=2PB=2.

（l)证明：PB..lAD;

(2)求点D到平面PAB的距离．

p

BC

【解答】(1)证明：取AD的中点0,连接PO,

则DO=BC,且DOI/BC,

又CD上AD,

则四边形OBCD为矩形，

:.so上AD

·:PA=PD,

:.PO上AD,

又PO,BOc平面POB,

所以AD上平面POB,PBc平面POB,

所以PB上AD.

p

穴了1~才。一＼一一一、D

巴，，，，，

BC

(2)解：连接BD，取BO的中点E,

由(I)可得AD..LPE,且PO=\厅了百飞习＝7,PO=OB=PB=I,

所以OB..LPE,且PE.;:J.森—'

3

又ADnOB=O,则PEJ_平面ABCD.

13戎1石

所以v＝一·PE.·S=—XX—X6X1=

P-ABD3AABD34—2—·5

在丛APB中，PA迈，PB=LAB五，则s.D..APB➔x2x{厂]了；孚

设点D到平面PAB的距离为h,

因为VP-ABD=VD-PAB,所以1x—森森h=--，解得h:J丈五，

-344..7

即点D到平面PAB的距离为趴历了．

7

19.(12分）已知数列｛彻｝为等差数列，数列{bn}为等比数列，a1+b1=4,且a中＋a2幻＋a3幻＋

+a，如＝（n-I)2n+2+4.

(I)求｛伽｝与｛加｝的通项公式；

(2)设等差数列(a,,)的前n项和为s,,,求数列{+-+bn}的前n项和T,,.

sn

【解答】（l)解：因为a1b1+a4b2+a3b6十--·+anbn=(n-1)2n+3+4,

当n=l时，a珈＝4,

由m+b1=4,解得as=b1=2,

又由a7b1+a2b3+a3b广飞bn=(n-3)2n+2+2•

当n~2时，可得a1b5+a2b2+aab3十·--+an-lbn-7=(n-2)2n汾＋4,

两式相减得a_b_=n·2n-ttl2n汾,n:>2•

nn

当n=l时，a珈＝4适合上式，所以abn+1,

nn=n·4

因为{an)为等差数列，也）为等比数列，所以{bII)的公比为2,

所以bn=b6qn-1=2·3n-1=2n,所以an=2n.

(2)解：由bn=2n,可得数列｛切的前n项和为~=2n+l=2-6,

1-7

又由an=2n,可得数列｛伽｝的前n项和s_=n2吓＇

n

71414

则、：：=＝一－，

Sn-n2+n-n(n+l)-nn+l

1171111

所以数列{—-}的前n项和为4-－-+--－－＋··+--~＝1-~，

2·2nn+34n+3

sn4

所以数列{」-+b}的前n项和T=2叶6-2+1-~=2祜6_....L_

nn5

snn+l-n+l

20.(12分）已知函数f(x)=er-(x+l)2.

(1)求曲线y=f(x)在点(-1.f(-l)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

(2)对千任意XI,迈，证明：若XI＜立，则f句）－J(迈）<2x2-2x1.

【解答】（I)解：因为f(x)=t?-(x+I)2=t?-x6-2.x-I,所以f(x)=er-4x-

2,

所以切线斜率为f'(-L)=e-8-2X(-I)-7=＿1，又因为f(-I)=e-4-(-l+l)

e

3_=_1,

e

所以切线方程为y－上＝且[x-(-1)］上x＋旦、y轴交点坐标分别为（－2,co，且），

eeeee

所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为主呈

2e

=8_;

e

(2)证明：构造函数g(x)=f(x)+2.x=et-x2-3,

g'(x)=c-2x,g''(x)=c-2,g'''(x)=c>S,可知g'I(X)在R上

单调递增，

所以g'(x)在(-=,ln2)上单调递减，＋CX)）上单调递增，

所以函数g(x)=f(x)+2.x在R士单调递增，所以若x5<x2,时fCx1)+7x1<J(x2)

+2;立

即若x1<x8，则j句）-f(x汾<Sx2-2x6成立．

21.(12分）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交千A,B两

点．

(I)证明：以AB为直径的圆与直线x=-]相切；

(2)设(1)中的切点为P,0为坐标原点，求6-ABE面积的最小值．

【解答】（1)证明：抛物线y2=4x的焦点为F(3,0).

设A(xi,Y7),B(x2,.Y2），可得因Bl=~F旧BFI=(2+x1)+Cl+xs)=2+(x什立），

x1+x2Y1+Y2

弦AB的中点｝｛（,)'

48

x1+x2x6+x2|ABI

则M到准线x=-1的距离为-(-1)=~+3二———,

222

所以以AB为直径的圆与直线x=-1相切；

(2)解：由题意可知直线l的斜率不能为2,设直线l的方程为x=my+l,

寸：my+1,整理得沪－8my-4=0,

y-=4x

又A(x2,y1),8(x2,y4),

则YI予＝?m,y1Y2=-3,

所以IAB1=2+(x1+x6)=m(y1+y2)+3=4m2+7

点P的坐标为(-1,2m),

千是直线OP的方程为y=-7mx,代入y2=4x