2021研究生考试数学一真题及答案解析

2021考研数学•真题答案解析

2021考研数学真题及答案解析

数学(一)

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)

e*—1„

(1)函数/(x)=.,在x=0处

l,x=0

(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.

(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.

【答案】D.

/-1

【解析】因为lim/(x)=lim----=1=/(0),故/(x)在x=0处连续;

XTOXTOx

因为=——=limeI-1-X=-,故/(0)=,，正确答案为D.

(2)设函数〃x,y)可微，且-=x(x+l)2,f(x,x2)=2x2]nx,M#(l,l)=

(A)公+方.(B)dx-dy.(Qdy.(D)-dy.

【答案】C.

[解析】f；[x+1,/)+exf^x+1,/)=(x+1)2+2x(x+1)①

(x,x2)+2xf^(x,x2)=4xInx+2x②

x=0[x=1_

分别将八，带入①②式有

y=01y=1

加,1)+月(1,1)=1,工'(1,1)+2/(1,1)=2

联立可得工'(1,1)=0,.4(1,1)=1,df(\,1)=f；(\,\)dx+^(1,\)dy^dy,故正确答案为C.

(3)设函数/(x)=网=在x=0处的3次泰勒多项式为6+加？+“3,则

1+X

,7

(B)。=1,6=0,c=—.

6

…17

(D)a=-l,/?=-1,c=—.

6

【答案】A.

【解析】根据麦克劳林公式有

小)=表=》吟+。(好.[-2+而)1-3+。(/)

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7

故Q==0,C=-q,本题选A.

(4)设函数/(x)在区间［0,1］上连续，则£/(xg=

1

(B)——-

k=\\2n>2n…yI2”"

(Q㈣WO/

【答案】B.

【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成〃份，取中间点的函数值，则

.1"(2左一1

［f(x)dx=limS/---------，即选B.

J(»…*=12〃

222

(5)二次型/(x„x2,x3)=(项+X2)+(X2+X3)-(X3-X1)的正惯性指数与负惯性指数依次为

(A)2,0.(B)l,l.(C)2,l.(D)l,2.

【答案】B.

2+222

(解析】/(x(,x2,x3)=(x,+x2)(工2+x3)-(x3-x,)=2X2+2XJX2+2x2x3+2xtx3

‘011、

所以力=121,故特征多项式为

J10>

2-1-1

\AE-A\=-1-2-1=(2+1)(2-3)A

-1-12

令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.

"1(3、

⑹已知区=0.«2=2.a3=1，记£]=%，=a2-k/31,pi=ai--12/32

若4，%A两两正交，则小乙依次为

5151-515

(A)—•(B)(C)—-(D)

22222222

【答案】A.

【解析】利用斯密特正交化方法知

跖㈤

［综闻

［%,㈤血］

03=J3

V，闻电，即

M㈤=5［%冉=1

故4=,故选A.

[综㈤-22他，勾一2

(7)设48为〃阶实矩阵，下列不成立的是

2

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rAO7AB

(A)r=2尸(%)(B)r=2尸(4)

、。ATA、。AT

BA'AO

(C)r2r⑷(D)r=2尸(力)

AA1T

、o7A

【答案】C.

Ao、

【解析】(A)r=*4)+«47)=2尸(4).故力正确.

O/4

(AAB}7O、

(B)/8的列向量可由4的列线性表示，故r=r(A)+r(AT)=2r(A).

I。刀、0

(C)BA的列向量不一定能由A的列线性表示.

(AB4、7。、

(D)BA的行向量可由A的行线性表示，厂=r(A)+r(AT)=2r(A).

O、0A\

本题选C.

(8)设4，8为随机事件，且0<尸(6)<1,下列命题中不成立的是

(A)若尸(川8)=P(Z),则P(小豆)=P(Z).

(B)若尸(4|8)>P(N),则P(1|月)〉P(彳)

(C)若P[A\B)>P(A\B),则P{A\B)>P(A).

(D)若P(川ZU8)〉尸(牙MU8),则P(A)>P⑻.

【答案】D.

P(Z(/UB))

【解析】P(A\A^B)=P(N)

P(/U8)P⑷+P(B)—P(AB)

P(A\AUB)=P(H.U8))=P(初)=P(B)-P(明

P(A\JB)P(A\JB)P(A)+P@-P(AB)

因为。(川/118)>。(彳|/08),固有P(/)>尸(8)—P(Z8),故正确答案为D.

⑼设区片),(乙,％),…为来自总体N(4MO；㈤;p)的简单随机样本，令

6=从一〃,,灭=，才工,^=上,匕/=又一1则

",=|n,=|

(A)。是。的无偏估计，£)俗)=兀+%

\)n

22

(B)。不是6的无偏估计，£>(1=/+%.

(C)。是e的无偏估计，。伍)=左上二泗生

(D)。不是6的无偏估计，0回=可十%=2。0.%.

【答案】C.

【解析】因为x,y是二维正态分布，所以又与歹也服从二维正态分布，则反一「也服从二维正态

分布，即凤。)=E(X-Y)=E(灭)-E(力=4一〃2=。，

3

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D(0)=D(X-Y)=£>(%)+。(力-cov(元F)=6+吆-2西巴,故正确答案为c

n

(10)设乂,入2…,乂6是来自总体N(〃,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：

:〃>10.①(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为"=｛灭

其中元则〃=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为

16,=1

(A)l-①(0.5)(B)l-O(l)

(C)l-0)(1.5)(D)1-①⑵

【答案】B.

--1

【解析】所求概率为尸｛X<11｝X~N(11.5,—),

4

P{X<\\}=P<」-U-「5:「①⑴

.22.

故本题选B.

二、填空题(本题共6小题，每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置

上.)

fgdx

(11)[---------

J。x2+2x+2

【答案】-

4

[解析[[--------=[-----；——=arctan(x+1)=------=—

J。X2+2X+2J。(x+l)2+l10244

(12)设函数y=y(x)由参数方程|x=2e*+l,：<°确定，则为切=____________

y=4(t-\)e'+t2,x>0dx'

2

【答案】

3

r皈始1山右4te，+2t俎d2y(4d+4b'+2)(2/+1)-(4改+2f)2e'

L解斫J田—=--;----，得—y------------------;---;--------------，

dx2e'+\dx2(2e'+\^

将，=0带入得巴NLO=4.

dx21,-03

(13)欧拉方程/»"+肛，_4y=0满足条件y(l)=l,y(l)=2得解为y=.

【答案】x2.

【解析】令工=",则W=虫,》2/=邑三-空，原方程化为4-4歹=0,特征方程为

dtdxdxdx

22-4=0,特征根为4=2,4=—2,通解为=。仃2+。2厂2,将初始条件

2

XI)=1,/(1)=2带入得C,=1,C2=O,故满足初始条件的解为歹=x.

(14)设Z为空间区域｛(x,y,z)\x2+4y2<4,0<z<2)表面的外侧，则曲面积分

JJx2dydz+y2dzdx+zdxdy—.

E

【答案】4乃.

4

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【解析】由高斯公式得原式二JJJ(2x+2y+Y)dV=J：dzjjdxdy=4).

D

(15)设4=因为3阶矩阵，4•为代数余子式，若力的每行元素之和均为2,且|/|=3,

4i+4i+41=---------------------

3

【答案】

【解析】,A.ci—4a,见—2,a—对应的特征向量为

1(AL4141

*Mln

a=1,Aa=­a而A422，32

4412

1dl3“23“33

41+41+4=-.

(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,

再从乙盒中任取一球.令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与丫的相关系

数.

【答案】

5

'(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)1'01、<01]

【解答】联合分布率(x,y)〜31_3,X~\_\_Y-11

<To5510><22>52>

cov(x,y)=A，0/=；,。丫=：,即2*丫=；

三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(17)(本题满分10分)

1+[edt1

求极限lim—久------------

1。ex-1sinx

\7

【答案】

2

»X2

sinx-1-e1dt

【解析】解:=lim---------------------

xx

XTOe-1sinxXTO(e-l)sinx

又因为J；J力=工(1+/+0«2)劝=工+$3+003)，故

(x-----+o(x3))(l+x4—%3+o(—))—x--------x~+o(x~)

原式=lim----------------------------------------------------------------------

XTOx

—X2+6>(x2)]

=lim--------------=—.

XT。X2

5

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(18)(本题满分12分)

18

设明(')=""+——x"i(〃=l,2,…)，求级数»“(x)的收敛域及和函数.

-—+(l-^)In(l-x)+x,xe(0,l)

【答案】S(x)=~

-^―,X=1

le-1

【解析】

s㈤.所苧口磊山收敛域(。川巨㈤斗…

力1&«+1.n+1

s2(x)=^~；~--r"+l=^------%二7=--vln(l-x)-[-ln(l-x)-x]

ZT»(w+l)M〃ZF/J+1

=(l-x)ln(l-x)+x,xe(0,1)

S2(l)=limS2(x)=l

XT「~

e~x

----—+(1-x)ln(l-x)+x,xe(0,1)

S(x)=Je

,x=l

,e-l

(19)(本题满分12分)

y2i2v2—7=6

已知曲线C：1,一,求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.

4x+2y+z=30

【答案】66

【解析】设拉格朗日函数£(x,y,z,Z〃)=z2+A(x2+2/-z-6)+//(4x+2y+z-30)

Lt=2x2+4〃=0

Ly=4yA+2〃=0

Lr=2z—2+w=0

x2+2y2—z=6

4x+2y+z=30

解得驻点：(4,1,12),(-8,-2,66)

C上的点(-8,-2,66)到xoy面距离最大为66.

(20)(本题满分12分)

设DUR?是有界单连通闭区域，1(D)=jj(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为£>,.

(1)求/(OJ的值.

(xex+4r+y)dx+(4ye"~x)dy

⑵计算［

其中SR是。的正向边界.

x2+4y2

明

【答案】一乃.

【解析】(1)由二重积分的几何意义知：/(D)=JJ(4—》2—当且仅当4一x2-必在。上

D

大于。时，/(D)达到最大，故D：丁+/44且/0)=［，。］：(4一/»诵=81.

⑵补322+4/=/(厂很小)，取。2的方向为顺时针方向,

r(xev+4r+y)dx-h(4yex+4v-x)dy

Lx、4-

6

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(xev+4v+y)dx+(4ye'+'-x)dyr(xev+4vy)dx-v(4yex44'-x)dy

x2+4y22x2+4y2

5D|+0D1，CL)2J

r

Jxdx+4ydy-\ejydx-xdy=-2da=-7i.

rr

dD2dD2D2

(21)(本题满分12分)

1

已知力a

-1-1a)

(1)求正交矩阵P,使得P7/P为对角矩阵;

(2)求正定矩阵C,使得。2=5+3)£-A.

1I1

一

耳pf

l

1

⑵c

一=

正

【答案】(1)P=店

百

2

。

国

【解析】

九一Q—11

(1)由4|=—1A—ci1=(2—tz+1)2(A—a—2)=0

A,-ci

得4=Q+2，4=4=a—\

当4=0+2时

'2-11101](1、

((a+2)E-A)=-1211的特征向量为e=1

J12,0oo)[T

当4=4=a-l所

"-1-111—1)1

((a-})E-A)=-1-1000的特征向量为。2=1

11

000;、。

-lv

11)

v1i一正飞

/\

aa-国

令p2-311

及

=J及J=,则尸"=A

k7-1正忑

aX

32~)

0

瓜，

(\

(2)PTC2P=PT(a+3)E-Z)P=((a+3)E—A=4