2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：与圆有关的最值问题(解析版)

拓展二：与圆有关的最值问题

含'高频考点

考点一圆上动点到定点的距离的最值问题

考点二圆上动点到定直线的距离的最值问/

/考点三圆的切线长最值问题

考点四直线与圆的位置关系求距离的最值

与圆有关的最值问题、

\考点五与圆的弦长有关的最值问题（最长弦、最短弦问题）

\考点六与斜率.距离.截距有关的圆的最值问题

考点七利用对称性求最值

知识梳理

知识点1圆的最值问题

求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为:

第一步：定型第二步：作图第三步：求值

根据题目条根据几何意义，画根据图形，

件确定最值出图形，利用数形利用相关

问题的类型结合思想求解知识求解

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长

度、面积的最值,求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用

圆的几何性质将问题转化

圆的最值类型：

一、圆上动点到定点距离的最值问题

圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于IPCI+r,最小值等于|PC|一八

圆内一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于|PC|+r,最小值等于r-\PC\.

二、圆上动点到定直线的距离的最值问题

圆C上的动点P到直线1距离的最大值等于点C到直线1距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线

/距离的最小值减去半径.

三、圆的切线长最值问题

四、由直线与圆的位置关系求距离的最值

五、过圆内定点的弦长的最值问题(最长弦、最短弦问题)

设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为2尸二)为

六、与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题

处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思

想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

(1)形如“=三的最值问题，可转化过定点(a,加的动直线斜率的最值问题求解.

(2)求形如“=ax+切的最值，可转化为求动直线截距的最值.具体方法是：

①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；

②把“=好+切代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由求得“的范围，进而求得

最值.

(3)求形如“=(%一。)2+。一加2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(丫一。)2+。一刀2看

作是点(a,5)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.

七、利用对称性求最值

形如|四I+IPQI形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个

数.②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

N颔考点精析

考点一圆上动点到定点的距离的最值问题

[^J1-1]圆(x-3)2+(y-4『=1上一点到原点的距离的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【解析】圆（＞3丫+（k4）2=1的圆心为（3,4）,半径为1,

圆心到原点的距离为53?+4?=5，

所以圆上一点到原点的距离的最大值为5+1=6.

故选：C

变式1：已知圆C:x2+y2+2x-2n7y-4-4"z=0Q〃wR）,则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的

距离的最大值为（）

A.0B.6

C.\/5-1D.\/5+1

【解析】根据题意，圆C:/+V+2X-2〃I），-4-4W7=0（MJ€R）,

变形可得（x+11+（y-，"）2=m2+4，"+5.

其圆心为（-1,加），半径为r,贝（］r=机2+4机+5=（帆+2）2+1,

当圆C的面积最小时，必有〃?=-2,此时/=1.

圆C的方程为（x+lf+（y+2）2=l,

圆心C到原点为距离d=+4=＞/5,

则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=石+1.

故选：D.

变式2：已知点PQ,2）,点M是圆。|：/+（＞-1）2=!上的动点，点N是圆。,：*-2）2+丁=！上的动点，

44

则IPNI-IPMI的最大值是（）

A.75-1B.75+1C.2-#＞D.3-75

【解析】圆。1：/+（＞-1）2=；的圆心为«（0,1）,半径为3，

圆。2：（X-2）2+丁=；的圆心为a（2,0）,半径为3,

因为点P（2,2）,点M是圆。上的动点，点N是圆。2：。-2）2+丁=；上的动点，

所以的最大值是

POJ+；—卜£|=|尸0』一归《|+1=2_^7+1=3_逐.

故选：D

变式3：在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=\,点3（2,0）,过动点/,引圆。的切线，切点为T.

若|可|=0|尸网，则I阳长的最大值为()

A.2+V7B.-2+近C.4+WD.4-而

【解析】设尸(x,y),

因为PT与圆相切，7为切点，=

故附|2=2怛8『,

所以忸0『-1=2俨8/，

+y2-l=2(x-2)2+2y2,

整理得(x-4)2+/=7,

所以尸的轨迹是以(4,0)为圆心，以近为半径的圆，8(2,0)在圆内，

所以归用长的最大值为2+近.

故选：A.

考点二圆上动点到定直线的距离的最值问题

【例2-1】已知动点尸在曲线(x-»+(y+l)2=4上，则动点尸到直线》-)，=0的距离的最大值与最小值的

和为.

【解析】设曲线(x-l)2+(y+l)2=4的圆心A坐标为半径r=2,

|lxl+(-l)x(-l)|

圆心A到直线x-y=o的距离为"==血,

动点尸到直线x-y=0的距离的最大值为"+r=2+0

动点尸到直线X—丫=0的距离的最小值d-r=2-正，

所以动点P到直线X-y=0的距离的最大值与最小值的和为2+6+2-近=4.

故答案为：4

变式1：P为。C:/+y2-2x-2y=0上一点，。为直线/：2%-2)，-7=。上一点，则线段尸2长度的最小值

为()

A.逑B.空C.逑D,2夜

433

【解析】圆C的标准方程为(x—l)2+(y—l)2=2,圆心为C(U),半径r=&,

则圆心c到直线/的距离为d=等二3=、=坐,

6+222&4

所以圆C上的点P到直线/上的点。的最小距离|PQ|"“n=[-「=乎-&=乎，

故选：A.

变式2：圆C：（犬-4）2+（丫-5）2=4上的动点尸至!]直线，：，nr+y—〃，-1=0的距离的最大值是（）

A.6B.7C.8D.9

【解析】直线g+y-帆-1=0所过的定点坐标为（1,1）,圆c：（x-4y+（y-5）2=4的圆心坐标为C（4,5）,

半径为2,当圆上的动点尸到直线，nr+y-〃-1=0的距离最大时，即为圆上的动点尸到定点（1,1）的距离最

大,已知圆心C（4,5）到定点（1,1）的距离为J（4-l）2+（5-l）2=5,所以距离的最大值为5+2=7.

故选：B

变式3:阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德.欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发

现：如果一个动点尸到两个定点的距离之比为常数2（2>0,且4"）,那么点尸的轨迹为圆，这就是著

名的阿波罗尼斯圆.若点C到A（T,0）,8（l,0）的距离之比为由，则点C到直线》-2），+8=0的距离的最小值

为（）

A.2>/5-V3B.75-73C.2#）D.由

【解析】设C（x，y）,则螺=△,即忙二百,化简得（x-2）?+y2=3,

|CSI必-炉U+丁

所以点C的轨迹为以。（2,0）为圆心，厂=石的圆，则圆心。到直线x-2y+8=0的距离

J=|2-2X0+8|=2^

所以点C至IJ直线x-2y+8=0的距离的最小值为2人-g

故选：A

变式4：瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条

直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作AABC,AB=AC=4,点8（-1,3）,点

C（4,-2）,且其“欧拉线”与圆M:（x-a）?+（y-a+3>=/相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距

离的最小值为（）

A.272B.3V2C.472D.6

【解析】因为在AABC中，AB=AC=4

所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其"欧拉线”为△ABC边的垂直平分线A。，因为点

B(-1,3),点C(4,—2),所以

3+2

因为直线的斜率为一「=-1,所以8C的垂直平分线的斜率为1

-1-4

13

所以8。的垂直平分线方程为y—3=即x-y—1=0

因为"欧拉线"与圆“：0-。)2+0-。+3)2=/相切所以可得圆心(。,。-3)到“欧拉线”的距离为

|U,—Q+3-1|r.r-5/2

。一。+3+31

圆心(。,a-3)到直线y+3=0的距离为372

由圆的对称性可知，圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为30-&=2J5

故选:A

【例2-2】已知点A(T,0),B(0,2),点尸是圆C：(xT)2+y2=i上任意一点，则面积的最大值与最

小值分别是()

A.2,2—乎B.2+坐,2一坐C点,4-y[5D坐+1,坐一1

【解析】由题通知|48|=最(-1)2+(_2)2=邓,

IAH：2x~y+2=0,由题意知圆C的圆心坐标为(1,0),

圆心到直线的距离＜z='~/|=，.

W+i5

:.S^PAH的最大值为3Xy[5X停$+1)=2+坐

SA/M”的最小值为:义邓义3^-1)=2一卓故选B

变式1：直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,3两点，点尸在圆(工-2)2+y=2上，则△ABP面积的

取值范围是()

A.[2,6]B.[4,8]C.[g,3^2]D.[2^2,3^2]

【解析】设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点尸到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r

12+21

二小,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为工?=2限，

可得dmax=2S+r=Wi,dmin=2巾一r=巾.

由已知条件可得|4阴=2、隹，

所以面积的最大值为3|ABMma、=6,AABP面积的最小值为;35卜麻山=2.

综上，△A8P面积的取值范围是[2,6].故选A

变式2:已知点4(一2,0),3(0,2),若点C是圆好一加工+产+/一i=o上的动点，△ABC面积的最小值

为3—\[1,则a的值为.

【解析】因为圆的标准方程(x—a)2+y2=i,圆心0),半径r=l,

所以圆心M(a,0)到直线A8:x-y+2=0的距离罟.

则圆上的点到直线A3的最短距离为＜/一，=叵普一1.

又|4阴=隹”=2啦，

故(SA"C)mm=；X26X出土苗&=3—

解之得a=l或a=~5.

变式3:已知直线3x-4y-1=0与圆C:(x-l)2+(＞+2)2=16相交于A,5两点,P为圆C上的动点,则△R48

面积的最大值为()

A.8百B.106C.12A/3D.16x/3

【解析】由C:(r-评+(y+2)2=16可知:圆心。(1,_2),半径为4,

圆心C到直线AB距离d=艮土|二U=2,

叫431=26一]=2J16-4=4址＞，

田(SmB)max=；IABMr+")=；x4^x6=12月.

故选：C

【例2-3]已知线段A8是圆C:x2+y2=4的一条动弦，且|AB|=26,若点P为直线x+y-4=0上的任意

一点，贝川西+丽|的最小值为()

A.2V2-1B.2V2+1C.4丘-2D.4夜+2

【解析】取A8中点为M,连接月0,OM,

因为A3是圆C:/+）『=4的一条动弦，且|阴=26,所以|0阂=卜一（粤）=1，

又|丽+丽|=2［两］,\PM\+\OM\>\OP\,即闫0"—1

因此，|用+国取最小值，即是|雨取最小值，所以只需10Pl取最小，

又点p为直线*+y-4=o上的任意一点，

所以点。到直线*+y-4=o的距离，即是|。凡疝,,

|-4|-

即|0P|.=J।=20,

因此|PMLn=Wxl=20_l,

即I而+而I=2\PM\=4>/2-2.

IminIImin

故选：c.

考点三圆的切线长最值问题

【例3-1】设P为已知直线/：x+y+4=0上的动点，过点P向圆C:（x-2y+（y+l）2=4作一条切线，切点

为Q,则|PQ|的最小值为.

【解析】圆（7:（尸2）2+（尸1）2=4的圆心为"2,-1）,半径为“2,

由题意得当归2|最小时，CP连线与直线/：x+y+4=0垂直，所以|CP|=余黑=乎,

由勾股定理得IPQ\=7lCP|2-22=J}-4=字，

所以|PQ|的最小值为当，

故答案为：叵.

2

变式1：若圆的半径为1,且圆心为坐标原点，过该圆上一点P作圆(x-4)2+(>-3)2=4的切线，切点为Q,

则|PQ|的最小值为()

A.GB.2百C.2D.4

【解析】由题意可知，点尸在圆V+y2=l上，圆(x-4)2+(>-3)2=4的圆心C(4,3),半径/*=2

过点尸作圆(x-4)2+(y-3)2=4的切线，切点为。，则|PQ|=J|PCT-4

当|PC|最小时，|PQ|最小

又由点P在圆Y+y2=l上，则|P点的最小值为|OC|-1=，9+16-1=4

则IPQ\的最小值为J16-4=V12=2>/3;

故选：B.

变式2：若圆C:f+y2-2x+4y+3=0上总存在两点关于直线26+勿，+6=()对称，则过圆C外一点(。/)向

圆C所作的切线长的最小值是()

A.V6B.2C.3D.4

【解析】圆C：(x-iy+(y+2)2=2,圆心为C(l,—2),半径「=0.

依题意知，直线2以+勿+6=0过圆心C(L-2),所以。_2+3=0,即动点A(",6)在直线/：x—y+3=0上

移动.

..11—(―2)+3|1—

所以，当C4与直线/垂直时，|。|最小，从而切线长最小，%=3,2.

此时，切线长的最小值为小@&丫乂&丫=4.

变式3：直线x+y-4=0平分圆C：f+y2-2W-2"-5+〃2=0的周长,过点网-1,询作圆(7的一条切线,

切点为。，则|尸。=()

A.5B.4D.2

【解析】圆C:+)"-Ibx-2by—5+b"=0的圆心为C(b,b),半径为厂=d/+5)

因为直线x+y-4=0平分圆0一+/-2"-2勿-5+〃=0的周长，

所以直线x+y-4=0经过C(6,0),所以。+6-4=0,故b=2,

由已知尸(-1,一2),C(2,2),|PC|=j3?+42=5,圆的半径为3,

所以|PQ|=JPC2-产=4,

【例3-2】已知圆C的方程为(x-3/+(y-4)2=l,过直线

/：3x+冲-5=()(«>0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为加，则直线/的斜率为

【解析】设切线长最小时直线上对应的点为P,则PC，/

erm|3x3+4a-5||4+4a|

又।处g=E,因为切线长的最小值为历

'|4+4叫2

故（旧＞+1=解得〃=4,故直线’的斜率为一%

、必2+9,

3

故答案为：一“

变式1：已知直线/：*-y+l=O,若P为/上的动点，过点尸作。C：(x-5『+y2=9的切线P4、PB,切点

为A、B,当|PC|・|48|最小时，直线的方程为.

【解析】0c:(x-5『+y2=9的圆心C(5,0),半径/

四边形PAA仍面积S=1|PC||AB|=25/HPA||AC|=3|PA|=3Mq29,

•.要使IPCHABI最小,则需|PC|最小，

当PC与直线/垂直时，IPCI最小，此时直线PC的方程为y=-x+5,

联立]=x+l解得p(2,3),

[y=-x+5

则以PC为直径的圆的方程为(X-+2+(y-♦24，

则两圆方程相减可得直线AB的方程为x-V-2=0.

故答案为：x-y-2=0.

【例3-3】设尸为直线3x-4y+U=0上的动点，过点尸作圆C：始十产一21一27+1=0的两条切线，切点

分别为A,B,则四边形R1C5的面积的最小值为.

【解析】圆的标准方程为(x-l)2+(j-l)2=l,圆心为半径r=l,根据对称性可知，四边形

的面积为2sAsc=2X%%|r=|叼=y附|2一户,要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最

小时为圆心到直线/：3x-4j+ll=0的距离d=?14+1£="=2.所以四边形PACB面积的最小值为

\32+(—4)23

7(|PC|min)2—户=，4-1=小.答案:事

考点四直线与圆的位置关系求距离的最值

【例4-1】已知直线(：米+y=0(«eR)与直线小工一6+2%—2=0相交于点A,点B是圆

(x+2)2+(y+3)2=2上的动点，则|钻|的最大值为.

【解析】因为直线4：米+y=0(让R)恒过定点0(0,0)，直线公X-崖+2L2=0恒过定点CQ2),且4皿，

所以两直线的交点A在以OC为直径的圆D上，且圆的方程为。:(x-1)2+(y-1)2=2,

要求|他|的最大值，转化为在。:(》-1)2+(丫-1)2=2上找上一点人，在(x+2/+(y+3)2=2上找一点8,使

|明最大，

根据题意可知两圆的圆心距为J(l+2)2+(l+3)2=5，

所以|AB|的最大值为5+2&,

故答案为：5+20

【例4-2】已知尸是直线/：x+y-7=0上任意一点，过点尸作两条直线与圆C：(x+iy+y2=4相切，切

点分别为A，a则|ABI的最小值为()

A.714B.半C.2百D.上

【解析】圆C是以C(_l,0)为圆心，2为半径的圆，由题可知，当Z4CP最小时，IABI的值最小.

cosZACP==-A_j,当IPC|取得最小值时，cosNACP最大，N4CP最小，点C到直线/的距离

II1*^1

d=与空=4&,故当|PC|=4夜时，cosNACP最大,且最大值为—,此时sinZACP=上*=上回=—

7242|AC|44

故选：A

变式1：已知圆C：x2+/-4x-2y+l=o,点尸是直线y=4上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为

A,B,则|A用的最小值为()

A•半2石

D.

—75

【解析】圆C：*2+9-4》-2>+1=0化为标准方程：(X—2丫+()，-1)2=4,其圆心C(2,l),半径-2.

过点P引圆C的两条切线,切点分别为点4、B,如图:

在MAC中，有S.c=gx|C4|x|AP|=gxL^x|CP|,即|AP|=呼lx|CP|,

变形可得：\AB\=^^.

设|CP|=x,则"=逃三=4，三.

4

所以当ICP的值即x最小时，三的值最大，此时|A8|最小.

x

而ICP|的最小值为点c到直线y=4的距离，即ICP京=3,

所以IAB11nM=4,1.

故选：B

考点五与圆的弦长有关的最值问题(最长弦、最短弦问题)

解题方略:

(1)经过圆内一点最长的弦

直径是圆中最长的弦，我们可以将圆中的弦分为两类：一类是经过圆心的弦(即直径)；另一

类是不经过圆心的弦，如图1,AB是。O中的任意一条不经过圆心的弦，连结OA,OB,根据三角

形的三边关系都有OA+OB>AB,即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。当

然，经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径。

(2)经过圆内一点最短的弦

如图2,点P是。O内一点，经过点P的无数条弦中哪一条是最短的弦

呢？我们可以将经过点P的弦分为两类，一类是经过点P且与经过点P的半

径OA垂直的弦，如，弦BCLOA；另一类是经过点P且与经过点P图1的半径

OA斜交的弦，如弦DE。

弦BC与弦DE哪一个较短呢？

连结OC。因为BC1OA,所以BC=2CP,在RtAOCP中，CP=^OC2-OP2,所以BC=2

-Joe2-OP2.作OGJ_DE于G,连结OD。则DE=2DG,在RtAODG中，DG=J5万二3^,

所以DE=2JorP-OG?在RtAOPG中，斜边OP大于直角边OG,所以OP2>OG2,又因为OC=OD,

所以CP<DG,BC<DE,所以弦BC是过。O内点P最短的弦。

所以，经过圆内一点的最短的弦是过该点且与过该点的半径相垂直的弦。

由此可见，过圆内一点的弦的长度是有范围的。

【例5-1］若直线Z：y=kx+l被圆C：x2+y2-2x-3=0截得的弦最短，贝恒线I的方程

仁〉)是------------------

【解析】依题意，直线/：y=fcr+l过定点尸(0,1).圆c：x2+y2-2x-3=0化为标准方程

图2

为(x-l)2+y2=4.故圆心为C(1,O),半径为r=2.则易知定点P(O,1)在圆内.由圆的性质可知当PCJJ时，直

1—0

线/:y=Ax+l被圆C:一+中-2*—3=0截得的弦最短.因为A/>c=f[=-1,所以直线/的斜率A=l,

即直线/的方程是x-j+l=O.

答案：X—j+l=O

变式1：已知点"(1,0)是圆C(x-2)2+()-1)2=5内一点，则过点时的圆的最短弦在直线的方程是.

【解析】当点“是弦的中点时，此时弦长最短，七“=言=1，此时弦所在直线与CM垂直，所以弦所在

直线的斜率％=-1,

所以最短弦所在直线方程是y=-(x-i),即x+y-i=o.

故答案为：x+y-l=0

变式2：已知圆C的方程是/+了2—8x—•2y+8=0,直线/：y=a(x—3)被圆C截得的弦长最短时，直线/

方程为.

【解析】圆C的标准方程为(1-4)2+@—1)2=9,

所以圆C的圆心坐标为C(4,1),半径r=3.

又直线/:y=«(x—3)过定点/>(3,0),

则当直线y=a(x-3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.

1—0

因此a・Acp=〃b二]=-1'所以a=-1・

故所求直线I的方程为y=—(x—3),即x+j—3=0.

变式3：已知直线/：曜-y-3m+1=0恒过点过点。作直线与圆C：1尸+(y-2)2=25相交于A,B

两点，则|A6|的最小值为()

A.4石B.2C.4D.26

【解析】由皿*—3)—y+l=0恒过尸(3,1),

X(3-l)2+(l-2)2=5<25,即P在圆C内，

要使|回|最小，只需圆心C(l,2)与尸的连线与该直线垂直，所得弦长最短，

由|CP|=石，圆的半径为5,

所以|AB|=2xj25-5=4B

故选：A

变式4：已知圆C:/+y2-2x-3=0,直线/：y=丘+1与圆C交于A,8两点，当弦长最短时k的值为

()

A.1B.&C.-1D.-V2

【解析】据题意直线/：y=^+i恒过定点E(O,I),圆心c(i,o),

当直线/与CE垂直时，弦长最短，

变式5：在平面直角坐标系X。)，中，直线/的方程为y=Z(x+l)+3,以点(1,1)为圆心且与直线/相切的所

有圆中，半径最大的圆的半径为()

A.2B.2后c.4D.8

【解析】由直线方程y=+1)+3可得该直线恒过定点(-1,3),

又由相切可得该圆的半径r等于圆心到直线的距离d,

最大值为r=d=.^(1+1)+(1—3)=2^2,

故选：B.

【例5-2】过点(-2,1)的直线中，被圆产+户2*+4尸0截得的弦最长的直线的方程是()

A.x+j+l=OB.x+j-l=OC.x-j+l=OD.x-j-l=O

【解析】由题意得，圆的方程为(x_l『+(y+2)2=5,团圆心坐标为(1,一2).

回直线被圆截得的弦长最大，回直线过圆心(1,-2),又直线过点(-2,1),

所以所求直线的方程为誉=二二，

即x+y+l=0.

故选:A.

考点六与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题

(-)斜率型最值问题【例6-1]已知实数x,y满足方程炉+产―4工+1=0,求:的最大值和最小值.

【解析】原方程可化为(X-2)2+V=3,表示以(2,0)为圆心，曲为半径的圆.

*的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设即3=人.

当直线y=kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值,

此时阜六旦=/，解得k=±\[3,

Vk2+1

所以?的最大值为,，最小值为一审.

变式1：已知M为圆C：炉+中-4%-14/+45=0上任意一点，且点Q(—2,3).

⑴求|MQ|的最大值和最小值；

n-3

(2)若M(,〃，〃)，求^^的最大值和最小值.

【解析】⑴由圆C:x2+y2—4r—14j+45=0,

可得(X-2)2+(J-7)2=8,

所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2，l

又|QC|=^/(2+2)2+(7-3)2=4^2>2隹

所以点Q在圆C外，

所以|颂|,鹏=4&+2g=6也，

附Q|min=46-2g=2隹

(2)可知表示直线MQ的斜率，

设直线MQ的方程为y—3=A(x+2),

fi—3

即Ax—y+2A+3=0,则〃]+2=A.

因为直线MQ与圆C有交点，

aJ2A-7+2&+3Ir-

所以环W25

可得2—小WkW2+小,

所以嬴4的最大值为2+小，最小值为2一5.

(-)截距型最值问题

【例6-2】已知点P(x,y)在圆C：x2+j2—6x—6j+14=0_b,求x+y的最大值与最小值.

【解析】(转化为截距的最值问题求解)设x+y=/>,则6表示动直线y=-x+8在y轴上的截距，显然当动

直线y=—*+，与圆C相切时，力取得最大值或最小值，

|3+3一用

如图所示，由圆心C(3,3)到切线x+y=O的距离等于圆C的半径，可得=2,即|方一6|=2加,解得

*=6+2^2,所以x+y的最大值为6+2、口，最4、值为6—2巾.

变式1：已知MQ",〃)为圆C：炉+产―4x—14y+45=0上任意一点.

求m+2n的最大值；

【解析】因为3+产一4b-14.+45=0的圆心C(2,7),半径r=2，i,

设，〃+2"=f,将,〃+2〃=f看成直线方程，

因为该直线与圆有公共点,

所以圆心到直线的距离d=1*

712+2?

解上式得：16—2、师近/W16+2加，

所以m+2n的最大值为16+2标.

(三)距离型最值问题

【例6-3】已知实数x,y满足方程好+)2—标+1=0,求产日2的最大值和最小值.

【解析】如图所示，始十步表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与

圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为卜(2—0)2+(0—0)2=2,

所以*2+y2的最大值是(2+{5)2=7+4噌，

/+y2的最小值是(2一巾)2=7—4小.

变式1：已知点P(x,y)在圆=1上，则J(x-l)2+(y-l)2的最大值为

()

A.V2B.2血D.72+1

【解析】J(x-l)2+(y-l)2可看作圆上的点(x,y)到定点(U)的距离,根据圆的几何性质，其最大值为(U)

到圆心(0,0)的距离与圆的半径之和，即7(1-0)2+(1-0)2+1=0+1.

故选：D.

变式2：已知圆C：(1-3)2+。-4)2=1,设点尸是圆C上的动点.记d=|P8F+|%F，其中4(o,i),

8(0,-1),则d的最大值为.

【解析】设P(x«,jo),d=|P8F+|%F=^+5)+l)2+蝙+(jo—l)2=2(xj+yd)+2.x3+yd为圆上任一点到原

点距离的平方，；.(蝴+W)max=(132+42+1)2=36,.，.rfmax=74.

(四)综合应用

【例6-4】已知实数X、y满足方程丁+>2_4*+1=0.求：上的取值范围为的最小值为

X

；f+y2的取值范围为

【解析】圆V+.F-4x+l=0的标准方程为（x-2y+y2=3,圆心为（2,0）,半径为后.

设q=%,可得丘-y=0,则直线丘7=0与圆（x-2『+y2=3有公共点，

则解得一币4k46,则?的取值范围为卜石,6］;

^y-x=h,可得x—y+8=0,贝！J直线x_y+6=0与圆（X_2）2+/=3有公共点,

贝!~解得一2-迷404-2+布，贝!I了一x的最小值为—2—布