2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展四：立体几何的翻折问题(解析版)

拓展四：立体几何的翻折问题

三目标导航

立体几何是高中数学的重点内容，图像的翻折是立体问题中的一类典型问题，是连接平面几何与空间几何

的纽带，成为立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材，备受命题者的青睐。立体几何翻折问题是指

将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查

空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系。现将翻折问题中的几类常见题型进行剖析，以其

对同学们的复习备考能有所帮助。

立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正

确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形。在解题过程中，往往根据问题的需要

再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程

中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键。

蓍高频考点

之二知识梳理

认知规律:

画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量

关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和

确定翻折前后变与

数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生

不变的关系

变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在

立体图形中解决

确定翻折后关键点所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，

的位置会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面

之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才

能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与

计算

考点精析

考点一翻折后位置关系的判断

解题的前提和必要步骤是分析清楚翻折前平面图形的结构特征，以及翻折前后图形中变与不变的量，

特别要注意不变中的直角。

【例1-1】【多选】如图，"为正方形ABC。的边OC上异于点的一个动点，将沿A/W翻折成

/\PAM,使得平面平面A8CA/,则下列说法中正确的有（）

A.在平面P&W内存在直线与8c平行

B.在平面P8M内存在直线与AC垂直

C.在平面PBC内存在直线与平面PAW平行

D.存在点使得直线PAL平面P3M

【解析】对于选项A,若在平面内存在直线与BC平行，

又因为面尸则BC〃平面P8W,而BC与面网M7相交,

故矛盾，A错误；

对于选项B,设ACc8M=O,过。做AC的垂面a,

因为面a与面PBM有公共点0,

所以平面aC|平面PBA/=/,且Oe/,

则AC_L/,Iu面PBM,故B正确；

延长AM,8c交于点“连接p”，作CK〃PH

P”u平面CKu平面PBC,

CKa平面1ft4",所以CK〃平面R4M,

故存在，C正确；

对于选项D,若PA_L平面则以_L8W

又PNIBM,所以8以_L平面

所以"WL/VW,可知点似在以A8为直径的圆上

又该圆与C£＞无交点，所以不存在，D错误.

故选：BC.

变式1：【多选】在矩形ABC。中，48=2AO,E为边AB的中点，将AADE沿直线翻折成△4OE,若

点M为线段AC的中点，则在AADE翻折过程中，下述选项正确的是（）

A.BM是定值

B.点M在某个球面上运动

C.存在某个位置，使。E1AC

D.存在某个位置，使9〃平面A〃E

【解析】取OC中点尸，连接MF，8F,则MF//AQ,且=

FB〃DEaFB=ED,所以NMFB=DE=NADE,且度数大小为定值,

由余弦定理可得MB"=MF2+FB2-2MF-FB-cosZMFB,

由于户以及N/0/有是定值，故MB为定值，故A正确；

由于8为定点，为定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得B正确；

因为DE?=AQ2+AE2=2信,CE?=BC?+BE?=2BE?,

故DE2+CE2=2AE2+2BE-=4A£2=(2AE)2=CD2DEICE,

假设力ELA。，由于CEnAC=C,CE，ACu平面AEC,

故DE_L平面A|EC,则DE14E,则NDE%=90,

而/。4后=4也46=90,这在A£＞AE中是不可能的，故假设不成立，

即不存在某个位置，使。E_LAC，故C错误；

由M尸〃A。与所〃DE,且时尸08尸=尸，4。0。£=。，

可得平面〃平面A。/ftWu平面M8F,故〃平面，可得D正确；

故选：ABD

变式2：已知梯形ABC。和矩形CDEF.在平面图形中，AB=AD=DE=；CD=1,CD1AE.现将矩形

CQE/沿CZ)进行如图所示的翻折，满足面A3C£＞垂直于面。＞EF.设丽=2近，EP=/dPB,若AP〃面

【解析】

易得CDLDE,CDA.DA,又面ABC£>_L面CQER面48co0面

CDEF=EF,又AZ)u面ABCD,则">JL面CDEF,

又。Eu面CDE/，则A£>_LE>£,以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，则

D（O,O,O）,B（1,1,O）,A（1,O,O）,E（O,O,1）C（O,2,O）,

又丽=瓦+函=瓦+|比=诙+|(觉_码=3诙+|觉=(0,*;),

同理可得而二诙+而=诙+仁丽=-^丽+勺丽/勺，上［一^〕,设面O8N的法向量为

〃=(x,y,z),

n-DB=y=0/、

则］一41,，令y=l,则3=（—又而=而+而=——7,4，々，

ft•DN=—y+—z=0+++

又AP〃面O8N,则/万=」-7+上7--j=。，解得〃=3.

故答案为：3.

考点二翻折后角度的计算

翻折后首先要确定线段的长度与角度中不变的量，再计算变化的量，其次确定关键点的位置。

【例2-1】如图把正方形纸片ABC。沿对角线AC折成直二面角，E,尸分别为AO,BC的中点，0是原正

方形ABCD的中心，求折纸后NEO尸的大小.

【解析】如图，以OB,OC,OD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz.

设原正方形的边长为1,则

1

）

））__OE-7F_8_1

cosCOE,7F=——>——T=-1-7=~T

IOE|-|OF|2X2

.•.ZEOF=120°.

【例2-2］如图(1),平面四边形ABC。中，CD=4,AB=AD=2,N3AZ)=60。，ZBCD=30°,将三角形

48。沿80翻折到三角形PBD的位置，如图(2),平面PBZ>_L平面8C。，E为尸。中点.

（1）求证：PD±CEi

(2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.

图⑴图⑵【解析】(1)证明：由题意△430为等边三角形，则8。=2,

在三角形5C。中，CO=4,ZBCD=30°,

由余弦定理可求得：8c=2巾.

：.CD2=BD2+BC2,BCA.BD.

又平面尸80,平面BCD,

平面尸8Z）n平面BCD=BD,8Cu平面BCD,

：.BCJ_平面PBD=>BC1.PD.

等边三角形尸80中，E为/V）中点,

WBELPD,且BCCBE=B,

平面BCE,：.PDA.CE.

（2）以8为坐标原点，BC,30分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系（图略），则8（0,0,0）,C（25，0,0）,

0(0,2,0),P(0,1,小),£(0,令,CD=(-2^3

,2,0),PD=(O,1,—A/3).设m=(x,y,z)是平面

”CD=0,

PCD的法向量,则，

m'PD=0,

-2V3x+2j=0,「

即Jr取，”=(1,小，1),

U—巾z=0,

则cos〈m,於〉

所以直线5E与平面PCD所成角的正弦值为芈.

变式1:如图（1）,A8CD中，40是8c边上的高，且/ACD=45。，AB=2AD,E是80的中点，将ABCD

沿AZ）翻折，使得平面AC。，平面A8Z）,得到的图形如图（2）.

⑵求直线AE与平面5CE所成角的正弦值.

【解析】（1）证明：由图（1）知，在图（2）中AC_L4O,AB1.AD,

•平面ACOJ_平面45。，平面4CZ>n平面4BZ>=A。，A5u平面A8。，

平面4C0,又CDu平面ACD,：.AB1.CD；

⑵由（1）可知A8_L平面AC。，又ACu平面AC。，：.ABA.AC.

以A为原点，AC,AB,40所在直线分别为x,‘，z轴建立空间直角坐标系,

C(1,0,

0),D(0,0,1),E(0,1，3)，

...泰=(o,l,gj,%=(1,-2,0),而=3

BCn=x-2y=0

设平面8CE的法向量为5=(x,y,z),由_1令y=L得x=2,z=2,则］=(2,

nBE=-y+-z=0

1,2),

设直线AE与平面BCE所成角为巴

则sin6»引cos

故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为延.

15

【例2-3】如图(1),在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABVBC,且8C=CO=；A8=2,取A8的中点

O,连结0。，并将尽。。沿着。。翻折，翻折后AC=26,点M,N分别是线段ARAB的中点，如图(2).

(1)求证：AC1OM；

⑵求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值.

【解析】⑴连接OC,

N

步

QAB//CD,ABA.BC,BC=CD=-AB=2,。为A8中点，

，四边形OOC3为正方形，.•.(％:=2夜，

:翻折后，AC=2y/3,:.OA2+OC2=22+(2>/2^=AC2,:.OA±OC；

又OAJ_O£),OCC\OD=O,OC,O£)u平面OCT),:.OA^^OCD,;CDu平面OC£>,..OA±CD,

又CDLOD,OAr\OD=O,OA,ODcz^OAD,\8人平面。4。，

•jOMu平面。AO,:.CDVOM；

■.■OA=OD,〃为AO中点，:.OMLAD,

又CZ)nAO=O,8,4短<=平面4?。，.・.。加，平面4?£),

•jACu平面ACO,:.AC10M.

(2)以。为坐标原点，而，而，而正方向为x，>，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则0(0,0,0),M(1,0,1),N(OJl),.•.南=(1,0,1),丽=(0,1,1)；

：z轴_L平面OBCD,平面088的一个法向量w=(0,0,1)；

设平面OMN的法向量〃=(x,y,z),

OM-n=x+z=0.,一/<\

则—八，令x=l,解得：y=l,z=-l,/.H=(1,1,-1)；

ON-n=y+z=0v7

gsG储卜器=

/.cos<myn>

H-H

即平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值为立

3

变式1：如图，在等腰直角三角形PA。中,44=9()',A£>=8,45=3,B、C分别是以、户口上的点，且

AD//BC,M、N分别为BP、CD的中点，现将ABCP沿8c折起，得到四棱锥P-A8CD,连接用N.

(1)证明：MN"平面PAD;

⑵在翻折的过程中，当必=4时，求二面角B-PC-。的余弦值.

【解析】(1)在四棱锥P—MCD中，取AB的中点E,连接

因为"，N分别为BP,C。的中点，ADHBC,

所以ME〃PA,EN//A。，

又A4u平面PA。，平面PAO,所以ME〃平面PAD,

同理可得，E7V//平面PAO,

又MECEN=E,ME,ENu平面MNE,所以平面MNE〃平面PAO,

因为MNuMNC平面MVE,所以MN//平面PAO.

(2)因为在等腰直角三角形PA。中，44=90°,49//8C,所以8C_L以，

在四棱锥尸—ABCO中，BC±PB,BCrAB,

因为AO//8C,则AQ_LPB,AOJ_AB,

又P8nA8=8,P8,A8u平面E3,所以A£)_L平面

又叫<=平面AW,所以

因为AO=8,AB=3,PA=4,4£>//8(7,则依=5,BC=5,

所以AB'PA'PB),^LPAA.AB,

所以以点A为坐标原点，分别以钻,A。,”所在方向为x轴，)，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

A-xyz,如图所示，

M3A(0,0,0),3(3,0,0),C(3,5,0),P(0,0,4),£>(0,8,0),

所以而=(3,(),-4),斤=(3,5,-4),PD=(0,8,-4),

设而=(X1,%,Z|)为平面PBC的一个法向量，则

m-PB=0(3x,-4z.=0

in-PC=013X|+5y-4Z1=0

令占=4,则y=0,Z1=2,»j=(4,0,3),

设方=52，%小)为平面尸8的一个法向量，则

m-PD=0[8y2-4z2=0

m-PC=0[3x2+5y2-4z2=0

令)，2=1,则/=1*2=2,3=(1,1,2),

设二面角5-尸C-O所成角为a,贝IJ

|4xl+0xl+2x3|10V6

cosa=---———----

V42+02+32X712+12+22-5x^6-3

因为二面角B-PC-。的余弦值为-也.

3

DE

变式2：如图1,在等边“1BC中，点O,E分别为边AB,AC上的动点且满足OE//BC,ifi—=A.^AADE

沿OE翻折到△MDE的位置并使得平面平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.

(1)当EN〃平面MB。时，求2的值;

(2)试探究：随着义值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请

求出二面角8-加£)-£的正弦值大小.

【解析】⑴取例8的中点为P,连接。尸,

因为MN=CN,MP=BP,所以N尸〃BC,

又OE〃8C,所以NP〃。瓦即N,E,D,尸四点共面,

又EN〃平面3M£>,ENu平面NEZJP,

平面NEOPCI平面MBD=DP,

所以EN//PD,即NEDP为平行四边形，

所以NP=DE,贝!jQE=g8C,即

(2)取DE的中点。，连接M。，贝!]MO_LOE,因为平面MDE_L平面

MDEAYffiDECB=DE,且MO_LOE,所以MO_L平面OEC5,

如图建立空间直角坐标系，

C不妨设8c=2,则M(0,0,四),*0,0),

fi(l,x/3(l-/l),0),

所以砺=(20,-&),DB=(l-A,x/3(l-A),0),

MDin=Ax-6九z=0X='J?>Z,

设平面即仍的法向量为£=(x,y,z),则｛——r即＜

DB/n=(l-2)x+V3(l-A)>>=0X=一岛

令x=也,即，"=1).

又平面的法向量)=(0,1,0),

工

所以8sM/----〃\”丽mn飞-1

5

即随着2值的变化，二面角石的大小不变.

且sin(m,n

所以二面角8-河。-£的正弦值为手.

考点三翻折后距离的计算

处理翻折问题时，一定要将翻折前后的图形相对照进行分析，找准翻折前后中的不变量，弄清哪些要

在原平面图形中进行计算，哪些要在翻折后的立体图形中进行计算，这是处理翻折问题的一般性方法。

【例3-1】已知四边形AC8O中，AC=2EAB=2®BC=2,E为线段4B上靠近8的三等分点.现沿AB将

四边形进行翻折，使得平面ABOJL平面A3C,得到四棱锥并使。ELAC.

DD

(1)求证：DE±BC；

(2)若ND48=45。，求点B到平面D4C的距离.

【解析】(D证明：连接CE,；BC2+AC2=12=AB2,二ACLBC.

...2也.BE>/3BC

・DDCE.=-----9••----=---=----9

3BC3AB

■:NEBC=NCBA,：.AfiEC:ABC4,AZBEC=ZBC4=9()°,ACEVAB.

又•.・平面A8£>J_平面ABC,工CE_L平面ZM8,故E>E_LCE,

又：£)E_LAC,AC[}CE=C,二£>E_L平面ABC,故DE1.BC.

_________277_________

在RrZ\8E中，CE=y/BC2-BE2=—,DC=>JDE2+CE2=141=AC,

3

872

故SADAC

-3-

设8到平面D4C的距离为d,V^B-DAC=^D-ABC，

11.SARrXDEfT

­---S^DAC-d=--S△生DE,：.d=芳6•

J30^DAC

故点B到平面DAC的距离为73.

变式1：如图，已知菱形48co的边长为3,对角线9=2,将△88沿着对角线80翻折至△3DE的位

置，使得A£=4,在平面4BCD上方存在一点M,且M4_L平面ABC。，MA=4Io.

⑴求证：平面£B£>_L平面

⑵求点M到平面ABE的距离；

(3)求二面角E-AB-M的正弦值.

【解析】⑴过E作EO垂直于80于0,连接A0,

因为=£,£>=3,故E0=2&，同理AO=2&，又AE=4,所以E02+40?=46,即EO_LAO.

因为48C。为菱形，所以EOLBD,又B£)cAO=O,

所以E0_L面48。，又EOu面EBD,

所以面EBD_1_面480.

⑵以。为坐标原点，以粉，0A,灰分别为x轴，y轴，z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),M(0,272,710),A(0,272,0),8(—1,0,0),£>(1,0,0),

£(0,0,272).

所以而=卜1,—2夜,0),荏=(0,-2&,2&)，M4=(0,0-V10).

n-AB=-x-2y/2y=0A_/厂\

面的法向量为元=(x,y,z),所以，卜金-20+2缶=。’令10，则丑2"7，T・

又必=(0,0,-9)，则点必到面4BE的距离为W*

⑶由⑵得：面48E的一个法向量为为=0夜且丽=(1,2夜,0),W=(1,272,710).

,、it-BA=x.+142y,=0

若面MR4的法向量为用=(4，X，zJ,贝"一°，令x=2近，贝U4=(2应,7,0卜

n,-BM=x1+272^+7102,

所以|cos值,用〉日喀Jl=坐，故二面角M—8E-A的正弦值为•

''V10-V910W

变式2：如图，在梯形ABCQ中，AB//DC,AD=DC=2,AB=4,现将AADC沿AC翻折成直二面角

P

c

(1)证明：CB,平面PAC；

⑵记—的重心为G,若异面直线PC与A8所成角的余弦值为:,在侧面PBC内是否存在一点"，使

得GML平面PBC,若存在，求出点M到平面ABC的距离；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)证明：取A8的中点E,连接CE,

因为/W=4,CD=2,

则Af=/X7,AE//DC,

故四边形ADCE为平行四边形，

所以C£=AD=2

贝!JCE=AE=E8,

故NACB=90。，即C3LC4,

又平面PACJ_平面ACB,且平面PACpI平面ACB=AC,C8u平面ACB,

故CB_L平面PAC,

AK_________/E/1K5

/\/(2)解：取AC的中点0,

连接OE,则OE〃C8,

DC

所以OELAC,且OPLAC,

则OC,OE,OP两两互相垂直,

故以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设［0。=4（。＞0），则C（。，0,0）,尸（0,0,，4-勤）,A（-a,0,0）,8（a,2/4-Y,0）,

故》=（a,0,通=（24244-a）0）.

所以辰回砌=的府=噩七

因为异面直线PC与AB所成角的余弦值为!,

4

所以寸=1,解得a=l,

44

故4-1,0,0）,5（1,2石,0）,C（l,0,0）,尸（0,0,我,

则重心G（0,半,亭）,

假设在侧面PBC内存在一点M,

设AM=/l方+〃隔刃值）,〃0,2+“？1）,

所以M。2房Y九一岛）,

因为MG_1_平面PBC,

又砺=（-彳-ju,--2®也+0+6〃），BC=（（）,一2石,（）），PB=（1,2月，-石）,

33

_26.（竽_2回）=0

MGBC=0

所以即，

MGPB=0,

—A-〃+25/3•（--2>/3^）—+&+电）=0

A=-

3

解得

1

//=6

所以在侧面PBC内存在一点M,使得G",平面P8C,

此时点M到平面A8C的距离为回|=*

考点四翻折问题的综合应用

【例4-1】【多选】如图，直角梯形ABCO中,AB//CD,ZABC=90",CO=2,AB=BC=1,E是边8中点,

将^ADE沿AE翻折，得到四棱锥ABCE,在翻折的程中，下列说法正确的是（

B.AE1CD,

C.三棱锥。「ABC体积的最大值是；D.点C到面A8R距离的最大值是日

【解析】由题意，CE=^CD=AB=\,且AB//CE,

二四边形A8CE是平行四边形,

又VZABC=90，二四边形AfiCE是正方形.

VBC//AE,且8C<Z平面AZ)[E,AEu平面ARE,.,.BC〃面ARE,即A正确;

在梯形中ABCO中，AE1CD,翻折过程中AE，CE,AE，E〃,

:CE1ED、=E,二平面CER,

•.•CRu平面CER,

；.AE±CDt,即B正确;

在翻折过程中，当平面ABCE时，三棱锥R-A8C体积最大，

所以该三棱锥体积的最大值为丫=155.3也=1*（〈*以1卜1=:，

故C错误；

作RM_LCE于M,作仞V_LAB于N,连接RN,

由4EL平面CER,可得AEJ.RM,

•:AEcEC=E,且AE,ECu平面ABCE,

：.RM_L平面43CE,

VABIYffiABCE,

:.D.M±AB,

又VAB1MN,且MN,RMu平面MND、,

:.AB_L平面MND、,

,：ABlABCE,

：.平面。।MNJ_平面ABCE.

在AMNR中，作MH，RN于“，

•••平面RMNn平面ABCE=D、N,

二平面4AB,

由题易知C£〃平面2A8,可知MH即为点C到面AB2的距离，

设贝（jOcxVRE,BPO<x<l,

…，RM•MNx1

在△RMN中，ND、MN=9U,MN=l,RN=777i,工D、NFj

1

v——.

易知函数.R］在（0』上单调递增，

1__1_V2

,rr->/22,当x=i时，取得最大值.

变式1：【多选】已知边长为2的菱形A8CQ中，NARC=60。（如图1所示）,将AA“C沿对角线AC折

起到AAOC的位置（如图2所示），点尸为棱BO上任意一点（点P不与8,。重合），则下列说法正确

的是（）

四面体A8CD体积的最大值为1

B.无论如何翻折，都有BOJ.AC

C.当"时，点C到平面的距离为名叵

5

D.三棱锥P-AC/）的体积与点尸的位置无关【解析】

设。是4c的中点,连接08,OD,根据题意知，。。J_4C,

OBLAC,0B=0D=y/3,当折到平面AC。_L平面ABC时，四面体4BCD的体积最大,

此时四面体48co的最大体积丫=gsAMcO£>=gx；x2x6xG=l,故A正确;

因为。£>J_AC,OBVAC,OBC\OD=O,OB,0£>u平面800,

所以AC_L平面50。，因为班>u平面50。，所以AC_LB£>,故B正确.

当8。="时，因为。外+。0=（6尸+（6）2=8。2,所以a5_L8,

所以。4,OB,0。两两垂直，

以。为原点，OA,0B,0。所在直线分别为x,y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（1,O,O）,B（0,V3,0）,C（-1,O,O）,。（0,0,6）,

贝!］而=（-1,6,0）,45=（-l,O,G）,AC=（-2,0,0）,

-X+>/3y=0

设庆=（x,y,z）为平面ABD的一个法向量,则

一X+V3z=0

令y=L得玩=（/」/）,

仲臼卜2四j后

所以点。到平面D4B（即平面A80）的距离d=

闷-J3+1+15

故C正确;

对于选项D,显然随着点P的移动，该三棱锥的高（点P到平面ACO的距离）发生变化，因而其体积也发

生变化，不是定值，故D错误，

故选：ABC.

变式2：【多选题】如图，四边形ABC。中，AB=BC=AC=2,DA=DC=42,将四边形沿对角线AC折

起，使点。不在平面A8C内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）

TT7T

A.两条异面直线48与CD所成角的范围是

rr

B.P为线段上一点（包括端点），当CO_LAB时，ZAPB<-

C.三棱锥O-45C的体积最大值为祖

3

D.当二面角。-AC-8的大小为?时，三棱锥O-43C的外接球表面积为华

63

【解析】对于A,以。为坐标原点，过z轴垂直平面A8C,建立如图所示的空间直角坐标系，所以

A（1,O,O）,C（-1,O,O）,8（0,6,0）,设。（x,y,z）,

DA=yfl+y1+z1=2^[x=Q

所以草）

DO=1x2+y2+z2=1[V2+z2=1

所以O（0,y,z）,而=（-l,/0）,①=（l,y,z）,

所以设两条异面直线A8与C。所成角为氏

ABCD-1+Gy

cos0=|cosAB,CDl=

AB||CD2x72

当y=-i时，COS0=瓜+近，此时。=二，但丁二-1时，0在平面A3。内.

412

故A不正确;

对于B,CDJ_45时，CD=（1,z）,AB=（-1,>/3,0j,CD-AB=0,

解得：y=A,又因为V+Zj所以zM,所以

33I33

尸为线段CO上一点（包括端点），设方=2①（04注1）解得P"1,

而序=2-A,-^-A,-^-A\,PB=4+1,退一乎九一半兀，

E4-PB=223+2-42=2（A-l）2>0,所以故B正确；

对于C,当平面D4C_L平面A8C时，三棱锥D-4BC的体积最大，且连接。。,

DO±AC,则DO_L平面ABC,所以V=1S•。。='x走x4xl=走.

3""343

故C正确;

对于D,取AC中点0,连接。B,取AABC的外心q,过。作一条

垂线垂直平面DAC,

过。2作一条垂线垂直平面A8C,两条垂直相交于点H,则”为三棱锥D-48C的外接球的球心，且二面角

O-4C-6的大小为M即所以在直角三角形O//O,中，oo,=3，所以tan生=毁=正，

6623602H3

则Q”=l，所以B42=R2=O2B2+O2“2=(¥)+1=1,所以三棱锥O-ABC的外接球表面积为

故选：BCD.

变式3：【多选】在矩形A8C。中，AB=28C=2,E是CQ的中点，将ABCE沿的翻折，直至点C落在边AB

上.当ABCE翻折到△P8E的位置时，连接ARDP,如图所示，则下列说法正确的是()

P

E

DC

A.四棱锥P-A5ED体积的最

大值为变

4

B.设A8的中点为F,当=：时，二面角P—8E—。的余弦值为1

C.不存在某一翻折位置，使得PALPE

D.M是尸B的中点，无论翻折到什么位置，都有〃平面PAO

【解析】对于A,当平面P3E_L平面45ED时，四棱锥P-ABED的体积最大，此时四棱锥P-Afi即的高

为点C到BE的距离.直角梯形ABED的面积为；（AB+£>E）XAO=|,四棱锥P-Afi£D体积的最大值为

、，也=老，故选项A正确.

3224

对于B,取照的中点G,连接PGFG,族，则/G_L3E,PG，8E,所以NPGF为二面角P—3E—。的平

面角.在APGF中，PF=-,PG=FG=~,cos/PGF=一一+/G--P尸=3故选项B正确.

222PGFG4

对于C,设抬J_PE,在"4£中，PE=1,AE=6,PA7AE。-PE^=1，即当P与A8的中点重合时,

PA±PE.故存在某一翻折位置，使得PA±PE,故选项C错误.

对于D,当尸与A3的中点重合时，EMu平面PAD,故选项D错误.

故选：AB

工?分层提分

题组A基础过关练

1.如图，将一张三角形纸片沿着8C边上的高AO翻折后竖立在桌面上，则折痕40所在直线与桌面a所

成的角等于（）

【解析】依题意可知AD工BD,AD上CD,BDcCD=D,

所以AD_L平面a,

所以折痕AD所在直线与桌面a所成的角等于90°.

故选：C

2.如图所示AMR为等腰直角三角形，C为斜边《鸟的中点，PH=4亚,B、。分别落在边相、偿上,

且满足==若分别将ACBP、沿着CB、CO翻折时点1、?能重合（两个三角形不共面），

则x满足条件（）

A.0<x<1B.0<x<2C.0cx<3D.1<X<2

【解析】由为等腰直角三角形，C为斜边的中点片鸟=4五,

所以A《=Ag=4；

又AB=AD=x,将ACBP、GCDP?沿着CB、8翻折时使点片、g重合,

若两个三角形共面时，当匕、鸟与点A重合时x=2,当B、。与A重合时X=0;

所以ACBP、AC。鸟不共面时，x的取值范围是0＜工＜2.

故选：B.

3.已知菱形A8CZ）边长为8,N8AO=60。，对角线AC与80交于点0,将菱形ABCO沿对角线80翻折

成平面角为。的二面角，若。仁[90。，120°],则翻折后点0到直线AC距离的取值范围为（）

A

AD

/A.[^,2局B.[26，2提1

---A

c

C.[273»3病［6，3娓］

【解析】,：AO1.BD,CO1,BD,

由二面角的定义知N40C=〃，〃G［90。，120。］,

・•'菱形ABC。的边长为8,ZBAD=60°,

：.AO=CO=4>/3,

二点。到AC的距离d=4AQXcos」NAOC,

2

当N40C=，=90。时，d取得最大值4.=4行、孝=2#,当N4OC=，=120。时，d取得最小值

4向=4百xg=2G,

...点到直线AC的距离的取值范围为［26，2^1.

故选：B.

4.如图，已知四边形ABC。，△BCD是以8。为斜边的等腰直角三角形，△A3。为等边三角形,BD=2,

将沿对角线BO翻折到△「比＞在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（）

BDA.PCB.1Pp与8c可能垂直

C.直线勿与平面BCO所成角的最大值是45。D.四面体尸58的体积的最大是g

【解析】如图所示，取BO的中点M,连接

△8CZ）是以为斜边的等腰直角三角形,.•.BZUCM

△ABD为等边三角形,.•.次）J_PM

面PMC,:.BD±PC，故A正确

对于B,假设OPLBC,又BCLCD

:.BCV^PCD,:.BC±PC,

又？8=2,8C=&,PC=0€[g-l,G+l],故DP与3c可能垂直，故B正确

当面「形）_L面BCO时，此时PMJ_面BCD,NPD3即为直线DP与平面BCD所成角

此时NP£>B=60",故C错误

当面面BCD时，此时四面体PBCO的体积最大，此时的体积为：

V=-5gm-PM=-x（-xy/2x^2）xy/3=—,故D正确

3包323

故选：C

5.已知正方形A3Q9中E为43中点，”为4。中点，尸,G分别为BC,CD上的点，CF=2FB,CG=2GD,

将△ABD沿着8。折起得到空间四边形A/C。，则在翻折过程中，以下说法正确的是（）.

A.EF//GHB.Ef与GH相交

C.E尸与G”异面D.与FG异面

2

【解析】由CF=2EB,CG=2GD,则FG//CD且FG=§C。

由E为A8中点，//为40中点，则EH//CD且EH=；CD

所以EH//FG且EH丰FG,则四边形EFG”为梯形.

梯形EFGH的两腰EF,HG延长必交于一点

所以EF,G"相交，EH与/G平行

故选项A,C,D不正确，选项B正确.

故选：B

6.在矩形ABC。中，A3=6,3C=8,现将4MC

沿对角线AC翻折，得到四面体D45C,则该四面体外接球的体积为（）

1961000c400500

A.——7tB.-------nC.7iD.4

3333

【解析】设AC的中点