2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第7讲平面向量的线性运算（解析版）

第7讲平面向量的线性运算

知识一、实数与向量相乘

1.平面向量的相关概念

(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；

(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；

(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作6；

(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量;

(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量;

(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.

2.平面向量的加减法则

(1)几个向量相加的多边形法则；

(2)向量减法的三角形法则；

(3)向量加法的平行四边形法则.

3.实数与向量相乘的运算

设上是一个实数，。是向量，那么々与。相乘所得的积是一个向量，记作Jia.

(1)如果1力0,且那么攵〃的长度卜N=陶・卜卜

版的方向：当％>0时左〃与〃同方向；当々<0时与Q反方向.

(2)如果4=0或〃=0,那么ka=(j.

4.实数与向量相乘的运算律

设机、〃为实数，则

(I)=；

(2)(机+；

(3)、inV\a+b)\=ma+tnh.

5.平行向量定理

如果向量〃与非零向量£平行，那么存在唯一的实数〃?，使〃=〃?£.

6.单位向量

单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.设"为单位向量，则H=1.

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同.

对于任意非零向量a,与它同方向的单位向量记作a。.

由实数与向量的乘积可知：a=|a|ao，«（）

H

@题型探究

题型一、向量的相关概念与平面向量定理

【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量入h，c，下列条件中,不能判定的

是（)

A.W=M；

B.

11__

C.aHc>bHc\D.a=2c，。=4c•

【答案】A

【解析】A.•"飞=例，不能判断£〃石，故本选项，符合题意

B.•••）=」,，人故本选项，不符合题意；

C.aHc'>b//c>a//b<故本选项，不符合题意；

D.-：a=2c>a=4c,：.aHb>故本选项，不符合题意；

故选：A.

（2）（2021・上海九年级一模）已知向量不与非零向量。方向相同，且其模为同的2倍:向量B与。方向相

反，且其模为同的3倍.则下列等式中成立的是（）

2-7-3-3

A.a=—bB.a=——bC.a=—bD.a=——b

3322

【答案】B

【解析】解：由题意可知：a=2e,b=-3e

3

.一“2A

•.a=2e=­b

3

故选：B.

（3）（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量4与5,下列命题是假命题的是（）

A.若/=则同=问B.若同=问，则万=5

C.若则同=阈D.若同=W，则同=卜同

【答案】B

【解析】解：根据向量的概念，知：

A、C、D正确；

B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误.

故选：B.

（4）（2019•上海）下列说法中，正确的是（）

A.如果％=0,2是非零向量，那么乂=0B.如果工是单位向量，那么3=1

C.如果|加=1£1，那么加=£或另=-ZD.已知非零向量入如果向量5=-5%那么£〃石

【答案】D

【解析】解：A、如果k=0,£是非零向量，那么k£=0,错误，应该是"

B、如果）是单位向量，那么"=1,错误.应该是忖=1.

■如果仿1=1£1，那么或B=-£，错误.模相等的向量,不一定平行.

D、己知非零向量如果向量否=-52，那么£〃人正确.

故选：D.

题型二、作图题

【例2】已知非零向量入求作工£,-3a

5

【答案】图见解析.

7___7-

【解析】在平面内任取一点A,做通二a,在射线A8上，取AC=《A3,则AC=彳々；

在射线AB的反向延长线上，取BD=3AB,则=-3a..

更表题型三、向量的表示与相等向量

电【例3】如图，在平行四边形ABC。中，E、尸、G、”分别为各边的中点，EG与尸〃相交于点0.设通=£,

AD=b,试用向量£或坂表示向量。后、OF,并写出图中与Od相等的向量.

BGC

【答案】诙=」£；汴=-酎，与前相等的向量有函;而；而；说;沅.

22

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定

理"I知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以。£?=一月=一,£;。声=-,4)=-1万，与0&相等的

2222

向量有的；衣;而；。，；HC,五个.

克1题型四、向量的运算

UL【例4】填空：

AB+BC=；AB+BC+CA=

AB+BC+BA=AE+FC+EF=

AB-AC+BC=OA+BC-OC=

【答案】AC；0；BC-,AC；0；BA.

【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AA-AC=B是利用减法法

则，箭头指向被减数，同时而-/=福+诃=而+4月=丽，这样运算复杂了，但也是一种思路.

叽【例5】计算:

(2)3(2£+5可-2(32-可；

(3)^2a+b-3c]-3^b-c\.

1q-f—>3f

【答案】(1)一与一4;(2)17b；(3)a-b+-c.

222

【解析】(1){ci--b\--a=a-—h-—a=---a--b；

V2J22222

(2)3修£+5司-2(3£-4=6£+以-6£+2万=17"

⑶；(2。+〃-3。)-3/一小〃+/一|"|-I".

Kt【例6】设£、囚是己知向量，解关于向量"的方程2工+3£-3坂=6.

7

【答案】c=—b——a.

72

W：V2c+3iz--Z?=6,**.2c=—^-3tz,a.

7772

【例7】用单位向量《表示下列向量:

（1）〃与e方向相同，且长度为9；

（2）坂与e方向相反，且长度为5；

（3）1与e方向相反，且长度为

5

【答案】a=9e；b=-5e；c---e.

5

□

【解析】此题主要考查用单位向量工来表示已知向量,a=9e；b=-5i；c=--e.

5

^^^题型五、向量的证明

Hl【例8】已知向量入B满足色1^-?=!（3£+%），求证：向量淳得平行.

【答案】证明见解析

【解析】?4（3〃+25）

去分母：2(a+3b)-5(a-b)=2(3〃+2b)

去括号：2a+f)b-5a+5b=6a+4b

移项合并得：7b=9a

系数化1：b=-a

7

所以，向星£和各平行.

【例9】已知3£+2看=4屋2a-b=5c,其中"二。，那么向量£与石是否平行?

【答案】平行.

-_—

3。+2坂=4c，解得“=2：,根据实数与向量相乘的意义，可知£旧石丘

【解析】联立方程组:

2a-b=5ch=-c

所以，向量£与B平行.

/举一反三

1.下列说法中，正确的是（）

A.一个向量与零相乘，乘积为零

B.向量不能与无理数相乘

C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短

D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反

【答案】D

【解析】A选项向量与零相乘，结果是零向量；B选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个

负数，方向与原向量相反，长度不确定.

2.（2021・上海九年级专题练习）已知J］和1都是非零向量，在下列选项中，不能判定二质的是（）

BcD

A.a//~c,b//~c-|a|=|^l-a=-3b-a=-cyb=2c

【答案】B

【解析】解：A.''a//c,b//c>•，-a//b-故本选项不合题意；

B、工|的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；

C、=，力/防故本选项不合题意；

~►I—>—>—►

1

a=-c,b=2cf^a/Zb故本选项不合题意.

故选：B.

3.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知。+5=4万，那么］的值为（）

A.：B.2aC.3aD.4a

【答案】C

【解析】解：:M+5=4万，

,—>—>->->

,,b=4a-a=3a-

故选：C.

4.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）3万与2々+@的长度与方向的关系是（）

A.长度相等，方向相同B.长度相等，方向相反

C.长度不等，方向相同D.长度不等，方向相反

【答案】A

【解析】；25+1=3万

•••3a与25+万相等向量长度相等，方向相同

故选：A

5.（2020・上海九年级专题练习）如果向量£与单位向量；的方向相反，且长度为3,那么用向量。表示向量£

为（）

A.a=3eB.a=-3eC.e=3aD.e=-3a

【答案】B

【解析】解：：向量？为单位向量，向量£与向量。方向相反，

a=-3e.

故选:B.

6.（2021・上海九年级一模）已知或、2是两个单位向量，向量£=3不，石=-31，那么下列结论正确的是（

A.2B.a=-bC.W=WD.同=-忖

【答案】C

【解析】解：Yl、1是两个单位向量，方向不一定相同，・•・1与］不一定相等，选项A错误；

:q、6是两个单位向量，方向不一定相同，与-B不一定相等，选项B错误；

•••口=岗=3,M+3以=3,二口=收，选项C正确,选项D错误；

故选：C

7.如图，己知£,求作（提示：利用三角形的重心）.

3

【答案】图见解析.

【解析】作乱=£,过点。作线段BC,使得。是BC中点，联结48、AC.取AC中点，则A。、BE分别

是三角形A8C的中线，根据三角形重心的性质可知：方存=-l£为所求作向量.

3

8.如图，已知点。、E分别在AA8C的边48、AC上，DE//BC,AO=4,BD=1,试用向量表示向量诙.

【答案】DE=±BC.

【解析】VAD=4,BD=1,—

AB11

npAri

又：DEIIBC、—

BCAB

―-4—•

・•・DE=—BC.

11

9.计算：（-3）x5。=

7(a+-4(〃-®+3a=

如+@-杷-〃)=

【答案】-156f；6«+1\h；—a+—b.

66

【解析】（l）（一3）x5〃=一15〃；

(2)7(a+坂)-4(a-+3a=7a+7〃-4“+4b+3a=6a+1区；

(3)—(a+b\--(a-b\=—a+—b--a+-h=—a+—b.

2、,3、,223366

10.在四边形ABC。中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.

求证：四边形ABC。为梯形.

【答案】证明过程见解析.

【解析】VAb=AB+BC+CD=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b.BC=-4a-b,

：.AD=2(-4a-b)=2BC,

二AD//BC.

二四边形48。是梯形.

知识二、向量的线性运算

1.向量的线性运算

如果。、行是两个不平行的向量，x、y是实数，那么加+还叫做。、〃的线性组合.

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.

如2£+5万、a-3h,2«+3b）、等，都是向量的线性运算.

2.向量的合成与分解

如果。、〃是两个不平行的向量，c=ma+nb（/n>n是实数）,那么向量c就是向量ma与〃〃的合成；也

可以说向量。分解为"2。、/7〃两个向量，这时;向量ma与〃方是向量c分别在。、坂方向上的分向量，ma+nb

是向量"关于£、B的分解式.

平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.

题型探究

题型一、作图题

【例10］已知两个不平行的向量£、求作：3a+26。-2尻

【答案】图像见解析.

【解析】如图，在平面内任取一点。，作砺=£,OB=b^OC=3a,OD=2b.

以OC、OD为邻边，作平行四边形OCED,则a=32+2尻

作向量方，则DA=a-2b

&L＞【例111已知两个不平行的向量"、B.求作：(£+/；)-

【答案】图像见解析.

［解析］(a+-(ga-2〃卜a+6-ga+力=3$-ga.

如图，在平面内取一点O,作04=*£,。月=3庆再作A氏则

2

AB=OB-OA=3b--a.

2

A

y题型二、向量的线性组合

W,【例12】⑴（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，。为△ABC内一点，点D、E分别

An1Api

在AB、AC±,且三=：,黑=：；若砺=1，灰=6,求：用向量入5表示品.

AB4EC3

[T]T

【答案】BEFF

An]AE

【解析】解：.•3“耘—3

.AD_AE_1

…~AB~~AC~4

:.DE〃BC

.DEAD_\

**BC-

>.->TT

•BC=b-a

_1->1-

^DE=-b--a-

44

（2）（2020.上海九年级一模）如图，在梯形43C。中，AD//BC,3c=24）,对角线AC、相交于点。,

设而=£,通=5.试用3、B的式子表示向量而.

—«1-2

【答案】AO=§b+］万

【解析】

\AD//BC,BC=2AD

._AD_1

'0C_BC-2

,\—=-^AO=-AC

AC33

vAD=a，

及与而同向，:.BC=2a

vAC=AB+BC=b+2a

,AO=-b+—a

33

君题型三、向量的分解

【例13］如图，已知向量函、而和p、q,求作:

(1)向量方分别在。4、o方方向上的分向量;

(2)向量G分别在。豆方向上的分向量.

【答案】（1）。爪oE是向量万分别在方、砺方向上的分向量.

（2）oGoy是向量G分别在丽、丽方向上的分向量.

【解析】（1）作向量方=万;再过点P分别作尸£〃OA,PZM08,E为直线PE与直线0B的交点，。为

直线PD与直线OA的交点.

作向量历、床.

则。方、。后是向量〃分别在砺、OB方向上的分向量.

（2）作丽=1;再过点。分别作。尸〃OA,QG//OB,尸为直线。尸与直线08的交点，G为直线QG与直

线OA的交点.

作向量0&O尸.

则0C、0户是向量［分别在。4、0B方向上的分向量.

“举一反三

1.（2020上海九年级课时练习）如图，在平行四边形4BCZ）中，E是边A0上一点，CE与8。相交于点0,

CE与8A的延长线相交于点G,已知OE=2AE,CE=8.

（1）求GE的长；

（2）若两=£,AD=S＞用2、石表示丽；

1--

（3）在图中画出5。+人（不需要写画法，但需要结论）

G

A,D

Bc

_33

【答案】⑴GE=4；(2)OB=-a--b,(3)而即为所求，作图见解析

【解析】(1)•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

:.AGAES4GBC、

*：DE=2AE,

.GEAE

^GC~~BC~3

VCE=8,

.GE1

**GE+8-3

：.GE=4.

经检验：GE=4符合题意.

(2)^BD=BA+AD=b-a,DE//BC,DE=2AE9

:ADOES^BOC,

,DEOD2

**OB-3

.OBOB3

“BD~OD+OB~5

:,OB=A(b-a]=-a--b；

5、155

(3)如图，延长CD到H,使得OH=AG,连接AH.

■:AE//BC,

:AAGES&BGC,

.GA_AE1

GB-BC-3

.GAGA1

…AB~GB-GA~2

——•一.1—.1_

DH=AG=-BA=-a

22

：.-a+b=AD+DH=AH

2

二丽■即为所求.

2.（2021・上海九年级一模）如图，四边形ABC。是平行四边形，点E是边A。的中点AC、BE相交于点O.设

BA-a,CB=b'

（1）试用入B表示丽；

（2）在图中作出西在无、而上的分向量，并直接用£、石表示由.（不要求写作法，但要保留作图痕

迹，并写明结论）

__21__79

【答案】⑴BO=-a--b..（2）见解析，CO=-b+-a

【解析】解（1）,/AD//BC

.OEAE

.・.BO=-BE

3

・・.丽=2诙=2(而+码=21a-b]=-a--b,

33、，312J33

(2)・・・AE〃BC,

.AO_AE

^~C0~~CB~2y

：.CO=-CA,

3

・・.cd=lcA=l(cB+BA]=l(b+a}=-b+-a

如图所示，函在丽、丽上的分向量分别为由和两.

Q

课后作业

1.（2020.上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与初是相等向量的是（）

A.45+2aB.6a-2aC.2b+bD.J（5M+1）

【答案】D

【解析】解：A选项4万+25=6彳，不符合题意；

B选项6〃-25=44,不符合题意；

c选项25+5=35；不符合题意;

|T->1TT

D选项]（5q+a）=]-6a=3a,符合题意.

故选：D.

2.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（）

A.如果砺=丽，那么A与B重合B.若丽=2而，则B是OA的中点

C.若。4=203,则若丽=2丽D.B是OA的中点则OA=2OB

【答案】C

【解析】因为丽=而且方向相同，所以A与B重合，此选项正确；

B、因为况=2而且方向相同，所以B是OA的中点，此选项正确，

C、因为。4=203,但方向不明确，所以3=2而或丽=-2而，此选项错误；

D、因为B是OA的中点，所以函=2而，此选项正确，

符合题意的选项是C,

故选：C.

3.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（）

ULIULllULILIIULllIU

A.AC+BC=0B.AC-BC=0

c.AC+BC^OD.AC-BC^O

【答案】C

【解析】解：由题意，

•.•点C是线段AB的中点，

/.\AC\=\BC\

:祕与而为相反向量，

•••AC+BC=O;

故选：C.

4.（2021・上海九年级专题练习）已知非零向量£、b，且有£=-25,下列说法中，不正确的是（）

A.|a|=2|S|；B.a//b\C.a与B方向相反；D.a+2b=0-

【答案】D

【解析】

\.'：a=-2b,表明向量£与-2万是同一方向上相同的向量，自然模也相等，，而|=2历该选项不符合题意

错误；

B.-：a=-2b，表明向量£与-2很是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然-2石与B方向相反,

但还是相互平行，.该选项不符合题意错误；

C.：£=-2心而-2坂与坂方向相反，与B的方向相反，该选项不符合题意错误；

D.只表示数量，不表示方向，而£+涕是两个矢量相加是带方向的，应该是：+2；=；，该选项符合题

意正确；

故选：D

5.（2020・上海九年级一模）已知心坂和"都是非零向量，下列结论中不能判定£〃坂的是（）

A.“〃c，bHcB.a=-c,b=2cC.a=2bD.卜，|=卜|

【答案】D

【解析】

解：A.«//c,B〃c,故本选项错误；

a=；c,万=2c；.£〃B,故本选项错误.

C.,**a=2h>**•ab故本选项错误；

D.：W=向，.•.£与.的模相等，但不一定平行，故本选项正确；

故选：D.

6.（2020・上海九年级专题练习）若不=2々，向量5和向量。方向相反，且出|=2伍|,则下列结论中不正确

的是（）

一一1-

A.\a\=2B.\b|=4C.b=4eD.a=--b

【答案】C

【解析】A、由"二22推知|0=2,故本选项不符合题意.

B、山5=-4巨推知|5|=4,故本选项不符合题意.

C、依题意得：b=~4et故本选项符合题意.

。、依题意得：”名,故本选项不符合题意.

故选C.

:\CA\^BD\.

CA=BD.

二平行四边形ABC。是矩形.

故选：A.

A._____________,D

7.（2021•上海中考真题）如图，已知平行四边形ABCQ中，而=落而,E为AB中点，求;B=（）

D,

.1/B

A.ECB.CEC.EDD.DE

【答案】A

【解析】；四边形A8C。是平行四边形，E为中点，

1-1一一一一一

：.-a+b=-AB+BC^EB+BC=EC

22

故选A.

8.(2021.上海九年级二模)如图，在△ABC中，点。、E分别是边BC、AC的中点，A£＞和BE交于点G,

设阳=a,AE=h，那么向量而用向量。、E表示为()

乙r乙一N乙—•1[I]JL-

A.—aH—bB.—dH—bC.—uH—bD.-u-\—b

33332222

【答案】A

【解析】W：AB=a»AE=b>

/.BE=BA+AE=-a+b,

'：AD,BE是△ABC的中线，

二6是4ABC的重心，

JBG=^BE,

3

故选A.

9.（2021・上海九年级一模）已知点M是线段A3的中点，那么下列结论中，正确的是（

A.AM=BMB.AM=-AB

2

C.BM=-ABD.AM+BM=0

2

【答案】B

【解析】解：A、AM=MB，故本选项错误;

-----1-

B、AM=­AB,故本选项正确；

-----1—

C、BM=-BA,故本选项错误；

D、AA/+3A/=。，，故本选项错误.

Z----------------------------■B

10.（2021.上海）以下说法错误的是（）

A.如果％4=。，那么〃二6；

B.如果彳=一沙，那么|词=2出|；

一2一

C.如果。（5为非零向量），那么£/区；

in_»

D.如果如不是与非零向量£同方向的单位向量，那么@=|刖％.

【答案】A

【解析】A、如果历=6,那么故该项错误,

B,如果2=-2」，那么|1|=2|5|,故该项正确;

C、如果。（5为非零向量），那么Z//B,故该项正确；

D、如果［不是与非零向量£同方向的单位向量，那么d■万|耳，故该项正确；

故选：A.

11.（2021・上海九年级一模）已知日是非零向量，b=-2a，下列说法中错误的是（）

A.5与不平行B.B与2互为相反向量

C.\b\=2\a\D.&=-修

【答案】B

【解析】解：A.因为力=-2=（万视），则5与G平行，故此结论正确；

B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；

C.因为力=一2:，则|刈=2|万|结论正确；

D.5=_2彳两边同除以二，则a=故此结论正确.

故答案为：B.

12.（2020•上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）

①3（&-5）-（31-35）=0；

②若同=3忖，则,巾;

③若机、”是实数，则（点）=（«!〃）］;

④如果非零向量5与非零向量不平行，那么存在唯一的实数优，使得B=MZ；

⑤如果非零向量4=,宓，则行与5所在的直线平行;

⑥如果I与后分别是G与5的单位向量，则］/区

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】①3,-5）-（3a—35）=3仅-5）—3R-5）=o,该选项正确：

②若同=3忖，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；

③若机、”是实数，则”2（〃々）=（〃加）万，该选项正确；

④如果非零向量5与非零向量值平行，那么存在唯一的实数机，使得石=〃应，该选项正确;

⑤如果非零向量a=,序，可得d、8方向相同，则万与5所在的直线平行，该选项正确；

⑥如果a与万不平行，则1与K也不平行，该选项错误.

综上，①③④⑤正确，共4个.

故选：C.

13.（2021.上海九年级一模）计算：4a-3（a-2h）=.

【答案】a+6b

【解析】解：4a-3（a-2b）

=4a-3a+6b

=a+6h

故答案为：a+6h.

14.（2020.上海市位育初级中学九年级期中）化简：3（商+；力-2（6-5）=.

7一

【答案】@+

1--337-

【解析】解：3(a+-b)-2(a-b)^3a+^b-2a+2b^(3-2)a+(1++2)b^a+-b

7-

故答案是：&+万6.

15.(202卜上海九年级专题练习)已知向量3与2方向相反，长度为6,则&=e

【答案】-6

【解析】•••向量£与工方向相反，长度为6,

二£=-6工，故填：6.

16.(2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习)化简：

(1)AB+BC+CD=-

(2)AB-AD-DC=.

(3)(AB-CD)-(AC-Bl5)=.

【答案】ADCB0

【解析】解：(1)AB+BC+CD=AC+CD=ADi

UUUUUUUUUHIMIUllUuu

(2)AB-AD-DC=DB-DC=CB;

(3)(AB-CD)-(AC-BD)

=AB+BD-CD-AC

=AD+DC+CA

=0：

故答案为：AD■丽；0.

17.(2021・上海九年级专题练习)己知向量满足关系式3a+4(B-x)=6,那么可用向量3,6表示向量x

【答案】—+h

4

【解析】解:3a+4(fe-x)=0,

3〃+4坂=4不

-3〃7

x=—+b.

4

故答案是：—+b.

4

18.(2021•上海松江区•九年级二模)如图，已知nABCQ,E是边8的中点，联结AE并延长，与BC的

延长线交于点尸.设丽=d,而=6,用方,5表示/为

【答案】a+2b

【解析】解：在。A8CO中，CD//AC.

是边CD的中点，

.^.CE是△ABk的中位线，

：.BC=CF.

在四边形ABCD中，AD=BC,AD=b,贝U丽12阮=2而=25.

,:AB^a,

AF=AB+BF=a+2b-

故答案是：a+2h.

19.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE〃AC,DF〃AB,BD：DC=2：5,设

AB=a,BD=b.。力表示：CD,DF,AC,DE.

A

BxDAC

=&；AClbDE=-^a-b

【答案】CD=­b；DF=;

727

【解析】VBD：DC=2：5

ACD=--BD=--bBD：BC=2：7,CD：BC=5：7,

22f

VDF/7AB,

.DFCD5

•(-----------——,

ABBC7

—•5—•5—

・・・DF=——AB=——a,

77

VBD：BC=2：7,

:.BC=-b,

2

_________7

・・・AC=AB+BC=a+-b.

2

VDE//AC,

.DEBD2

•.----------——,

ACBC7

__227

・,.DE=——AC=——Q+-b)=~a-b.

772

20.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知£、B都是已知向量，［、了都是未知向量，且］

+=0»4元-y+M+2S=0,求1、y.

【答案】x=-2a;y=-la+2b

【解析】解：,「X+2M=6，

x=-2a;

***Ax-y+a+2b=6,

-Sa-y+a+2h=69

；・y=-la+2h；

21.（2021・上海九年级一模）如图，在oANCD中，AE平分44D,AE与8。交于点/，AB=1.2,BC=1.8.

（1）求所：。尸的值；

（2）设而=£,BC=b,求向量反（用向量入B表示）.

BEC

二

___33

【答案】（1）BF:DF=2：3,（2）DF=-a--b.

【解析】（1）在口ABCD中，

•:BC//AD

：.ZBEA=ZDAEf

又,：4BFE-DFA,

:.bBFE~\DFA,

.BEBF

•.---=---«

ADDF

又丁A£平分

：.ZBAE=ZDAEf

，NBAE二NBEA,

：.AB=BEf

.BEAB

••茄―茄

又・・・AB=1.2,AD=BC=1.8.

.BFAB1.22

**OF-L8-3

：.BF:DF=2：3

(2)二BF:DF=2：3

3

：.DF=-DB

5

__3___3______

：.DF=^DB=^(AB-AD)

'.,BC//AD,BC=AD,AB=a>^C=h»

AD=BC=b

——-3--3-3-

/.DF=-(a-h)=-a--h.

555

22.(2021.上海九年级一模)如图，一个3x3的网格.其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点.

r

(1)在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由;

(2)设通=a,BC=b,写出向量而关于点B的分解式.

【答案】(1)点N和点A、B所构成的三角形与相似，理山见解析；(2)2a-3b

【解析】解：(1)点N和点A、B所构成的三角形与AABC相似，理由如下:

设网格中小正方形的边长为

则BC=a,AB=Ca2+q2=0q,AC=J/+(2不=6,其中BC<AB<AC

如下图所示，连接BM、AM

则BM=J/+(2a『=瓜，AM=J(3a『+(2a)2=岳a，其中AB<BM<AM

.ABy/2anrBM亚a屈

•・----=------=\J2f--------=-r----------

BCaAByj2a2

.ABBM

••—卢---

BCAB

/.AABM和AABC不相似；

如下图所示，连接AN

贝ijBN=2a,AN=J(3a)2+/=Ma,其中AB<BN<AN

.♦.组=叵=应，处=半=五,则=胆=0

BCaAB-JiaAC亚a

.ABBNAN

"'~BC~\B~~AC

:./\NBAs4ABC；

则BP=J/+（2q）2=6,AP=3,其中ABVBPVAP

.AB丘a/-BP45aVTo

••--=------=72,-----=~~=------

BCaAB&2

.AB,BP

••-7^---

BCAB

，AABP和AABC不相似；

如下图所示，连接BQ、AQ

则BQ=J（2a『+（2a）2=2亿，AQ=J（3a），“2=而。，其中ABVBQVAQ

.AB41ar-BQ2亿、

・・=---=yjl,=-r=-=2

BCaABy[2a

・竺/里

,,诙‘AB

：./\ABQ和AA6c不相似;

综上：点N和点A、B所构成的三角形与AA8c相似;

使BE=AB,根据正方形的性质可知，点E正好落在格点上，如下图所示

AE=