2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第20讲正多边形与圆（解析版）

第20讲正多边形与圆

_正多边形的概念：

廿、门小工田正多边形、中心角、半径、边心距

知识梳理

匚正多边形的相关计算

正多边形与圆「求中心角、半径、边心距、边数

题型探究

正多边形有关的周长与面积

课后作业

卷^知识一、直线与圆的位置关系

1.正多边形

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

有〃条边的正多边形（〃是正整数，且〃23）就称作正〃边形.

2.正n边形的对称性

正〃边形是轴对称图形，对称轴的条数=〃.

当”为偶数时，正〃边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点.

3.正多边形的外接圆和内切圆

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称

轴的交点.

正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心.

正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距.

正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.

3600

每一个中心角="=它的每一个外角

4.正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边

数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似

比的平方.

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆

的外切正多边形.

5.正多边形的画法

（1）用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可以等分

圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

（2）用尺规等分圆

对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在。。中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边

所对的弧（即作NAOB的平分线交@于E）就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

十二边形的作法

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在。0中，任画一条直径AB,分别以A、

B为圆心，以。O的半径为半径画弧与。O相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是。O的6等分

点。

显然，A、E、F（或C、B、D）是OO的3等分点。

同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把。012等分……。

要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

@,题型探究

瓦【例1】（1）正十边形有条对称轴，它不仅是对称图形，还是对称图形，它的中

心角是______

【答案】10；轴；中心：36.

【解析】正”边形是轴对称图形，对称轴的条数=小如果〃为偶数，则正〃边形也是中心对称图形，中心

后360°

角tz=------.

n

(2)正九边形的中心角等于。.

【答案】40

【解析】

正九边形的中心角等于：—=40.

9

故答案为：40.

(3)一个正〃边形的中心角等于18。，那么〃=.

【答案】20

【解析】

•••正n边形的中心角为18。，

：•18n=360,

n=20.

故答案为20.

(4)如图，A3、AC分别为。。的内接正方形、内接正三角形的边，3c是圆内接正〃边形的一边，则〃的

值为.

【答案】12

【解析】

解：如图所示，连接AO,BO,CO.

TAB、AC分别为。。的内接正方形、内接正三边形的一边,

3600360°

AZAOB=--=90°,ZAOC=^-=120°,

43

・・・ZBOC=30°,

.・.〃=弛=12,

30°

故答案为：12.

知识二、正多边形的相关计算

设正n边形的半径长为Rn、中心角为an、边长为知、边心距为h则利用等腰三角形OAB,通过解

直角三角形OAH,可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n边形的周长及面积.

③题型探究

风【例2】(1)若正六边形的边长为4,则此正六边形的边心距为

【答案】26；

【解析】

由题知，依据正六边形的性质，如图：

ACB

构造等边三角形OAB:OC为等边三角形OAB的高；

OC即为正六边形的边心距；

又Q4=O8=4,.\AC=BC=2；

由勾股定理可得：oc=y/OA2-AC2=273：

故填：26；

(2)如图，正六边形A8COEF内接于。。，若AB=3cm,则。。的半径为

B

【答案】3cm

【解析】

\/

\\f、//

N、、〃

卜--------

解：连接AO,B0,

:正六边形ABCDEF内接于0O,

，/AOB=60。，

.,.△ABO是等边三角形，

,.•AB=3,

的半径为：3.

故答案为：3.

(3)已知正六边形的外接圆的半径是5cm,则该正六边形的边长是

【答案】5cm.

【解析】

解：如图，AB为。。内接正六边形的一边;

Q

则NAOB二四二60。，

6

VOA=OB,

•••△OAB为等边三角形,

/.AB=OA=5(cm).

故答案为5cm.

(4)一个正六边形的边心距为迈，则这个正六边形外接圆的周长为

2

【答案】6兀

【解析】

解：如图，连接0A,过。作OMJ_AB于M,

•••正六边形为圆内接正六边形，且OM=述，

2

，OA=AB,NAOM=30°,

AOM=OAcos30°=—,

2

OA=3,

即该正六边形外接圆的周长为2兀x3=6兀,

故答案为：6兀.

(5)如图，。。的半径为1,作两条互相垂直的直径AB、CD,弦AC是的内接正四边形的一条边.若

以A为圆心，以1为半径画弧，交。。于点E,F,连接AE、CE,弦EC是该圆内接正n边形的一边，则

该正n边形的面积为一.

B

【答案】3

【解析】解：如图所示，连接E0,作EFLCO交CO于点F

由题意可得〃=12

ZEOC=30°

/.EF=^-EO=y

/•SAEOC=-EF-CO=-x—xl=—

2224

，该正12边形的面积=12SAEOC=3

故答案为：3

举一反二

1.如果一个正多边形的中心角为72。，那么这个正多边形的边数是（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360+72=5.

2.如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为

7

【答案】3n

【解析】

如图所示：设三个圆的圆心为A,B,O,连接AD,AC,BO,

则AD过B,AC过O

且AB=BO=AO=2,即三角形ABO是等边三角形，ZA=ZABO=ZAOB=60°,

AZOBD=ZBOC=120°,

皿人―/口120乃x12

两个小弧长是：二三方

1oO3

rmiz,i60;TX3

弧DC长是=n

1o()

27

阴影部分的周长是"2乂铲=铲

7

故答案为：

3.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求中间正六边形的面积

【答案】史.

2

【解析】

解：如图所示，连接AC、AE,CE,作8GJ_AC、DILCE,FHA.AE,AILCE,

在正六边形A8CDEF中，

•••直角三角板的最短边为1,

...正六边形ABCCEF为1,

...△A8C、△CDE,△AEF为以I为边长的等腰三角形，AACE为等边三角形,

VZABC=^CDE=ZEFA=120°,AB=BC=CD=DE=EF=FA=l,

：.NBAG=NBCG=ZDCE=ZDEC=ZFAE=ZFEA=30°,

：.BG=D1=FH=；,

・••由勾股定理得：AG=CG=Cl=EI=EH=AH=此,

2

:・AC=AE=CE=6,

3

・♦・由勾股定理得：AI=-f

•."—3Qx-1x-\Wjjx—1+上—1x7W3x-3=3下＞»

22222

故答案为：—.

2

4.若圆内接正方形的边心距为3,则这个圆内接正三角形的边长为

【答案】3底

【解析】

解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长.

•••正方形边长为6,

.••正方形的对角线长为6夜，

外接圆半径为3vL

如图所示：作0D_L8C于。，连接

则NBOD=60°,

在放△BO0中，08=3应，/080=30°,

：.BD=cos30°xOB=^-.

2

,:BD=CD,

:.BC=2BD=3瓜.

故答案为：3限■

5.一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径

【答案】4

【解析】

解：设正多边形的边数为n,由题意得

(«-2).180°=360°x2,

解得n=6

,正多边形为正六边形，

•••边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，

...该正多边形的半径等于4.

故答案为：4

6.如图，正六边形A8CDE户的边长为2,则AACE的周长为

【答案】64

【解析】

作BGLAC,垂足为G.如图所示:

则AC=2AG,

\AB=BC,

AG—CG，

•・・六边形ABCDEF是正六边形,

.-.ZABC=120°,AB=BC=2,

：.ABAC=30°,

AG=ABcos30°=2x—=,

2

AC=2x6=2后,

AACE的周长为3x=673.

故答案为6G.

7.如果正n边形的中心角为2a,边长为5,那么它的边心距为.（用锐角a的三角比表示）

【答案】|c“a（或高）

【解析】

分析：根据正多边形的边数，确定正多边形的中心角，然后构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和锐

角三角函数解直角三角形即可.

o

解析：如图所示:

•.•正n边形的中心角为2a,边长为5,

边心距。（或就）,

故答案为（或就

8.已知正三角形ABC外接圆的半径为2,那么正三角形ABC的面积为

【答案】近

【解析】解：如图所示：

连接OA、OB、0C,过。作8人8。于。，

•••正三角形A8C外接圆的半径为2,

:.OA=OB=OC=2,ZABC=60°,，=30°,

■.■ODLBC,

；.NODB=90°,OD=-OB=-x2=\,:.BD=gOD=&

22

BC=2BD=2g,

5«r=-^CXAD=-BCX(AO+OD)=-X2>/3X(2+1)=-X25/3X3=35/3,

1Vt2222

故答案为：3百.

Q

J课后作业

1.如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的亚倍，那么这个正多边形的边数是（）

A.3B.4C.5D.无法确定

【答案】B

【解析】

如图，OA、0C分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，

AOCIAB,

ZOCA=90°,

•.•外接圆半径是其内切圆半径的0倍，

cosZAOC=,

OA2

：.NAOC=45。，

ZAOB=90°,即此多边形的中心角为90°,

...此多边形的边数=360°+90°=4,

AB

故选：B.

2.若一个正〃边形（〃为大于2的整数）的半径为八则这个正〃变形的边心距为（）

A.r.sin^ZB.，3曾c.i幽D.…幽

nnnn

【答案】D

【解析】

解：由题意可得如图:

假设AB为正n多边形的一条边，OCJ_AB,

.4℃,幽=幽

2nn

OA=r,

IQQO

OC=OA-cosZAOC=r-cos-----；

故选D.

3.。。是一个正〃边形的外接圆，若。。的半径与这个正〃边形的边长相等，则〃的值为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】c

【解析】

。。是一个正〃边形的外接圆，若。。的半径与这个正"边形的边长相等，

则这个正n边形的中心角是60°,

3604-60°=6

n的值为6,

故选C

4.已知在正六边形中，AB=6,那么正六边形A8C0EF的面积等于

【答案】54技

【解析】

解：连接。£、OD,如图所示：

六边形ABCDEF是正六边形,

'：OE=OD=6,

.♦.△ODE是等边三角形，

作OHLEDTH,则OH=OE«sinZOED=6ax=3+,

2

・•・SAODE=yDE・OH=gx6x36=9G,

:・S卜六皿ABCDEF=6SAODE=546.

故答案为：54道.

5.如图，。。的半径为6,如果弦48是。0内接正方形的一边，弦4c是。。内接正十二边形的一边，那

么弦3c的长为.

【答案】6百

【解析】

解：连接04、OB、0C,作。。J_8C于点。，

是。。内接正方形的一边，弦AC是。O内接正十二边形的一边,

AZAOB=^-=90°fZA0C=^^=30°,

412

，ZB0C=ZA0B+ZAOC=900+30°=120°,

,:OC=OB,

・・・NOCD=NOBC=30。,

♦・♦OC=6,

OC

：.CD=36,

cos30?

二BC=2CD=66,

故答案为：673.

6.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步

逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积Si来近似估计。。的面积S,设

的半径为1,贝US-S尸.（兀取3.14,结果精确到0.01）

【答案】0.14

【解析】

解：如图，过A作

:。。的半径为1,

.••。0的面积5=%，

360°

•・•圆的内接正十二边形的中心角为亏=30。,

二圆的内接正十二边形的面积，=12x；.O8SC=12xgxlxg=3,

二S-St=^-3»0.14,

故答案为：0.14.

7.正六边形的边长、半径、边心距之比为.

【答案】2:2:6

【解析】

解：如图所示,边长AB=2；

Q

AGB

又该多边形为正六边形，

故/OBA=6()。，

在RSBOG中，BG=1,OG=5/3,

所以AB=2,

即边长、半径、边心距之比为2：2：C.

8.如图，正五边形ABCDE内接于。O,点尸为3c上一点，连接AF,若NAFC=126。，则/BAF的度数

为.

【答案】18°.

【解析】

解：；正五边形4BCOE内接于。。，

•/48C-（5-2）x180。

5

VZAFC=126°,

：.ZBAF=ZAFC-ZABF=\260-108°=18°.

故答案为：18。.

9.如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.

【答案】；

【解析】

连接OA、OF,设OA=R,OF=r；

••,AB与OO相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1,..NAFO=90°,=-

...在中，AF2=AO2-FO1^W=六一/=；

又：S圆环=乃（代-/），

-s圆环=i万.

故答案为了.

4

10.一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4,那么该正多边形的边长等于

【答案】2石-2.

【解析】

根据题意作图，：一个正多边形的对称轴共有10条，

这个正多边形为正十边形，故每个内角为144。，

则图中ZOAB=ZOBA=72°,

故/AOB=36。，

在BO上找一点C,使AC=CO,贝Ij/OAC=/AOB=36。，ZBAC=ZOAB-ZOAC=36°,

二ZACB=180°-ZCAB-ZABC=72°.

.♦.△ACO、△ABC都为等腰三角形.

ZBAC=ZAOB=36°,

•,.△ABO^ABCA,

设AB=x,可知OC=x,BC=4-x,

.AOAB01.4x

ABBCx4-x

解得x=26-2,（-2非-2舍去）

则正多边形的边长2石-2

11.已知正多边形的边长为“，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是.（用

含字母。的代数式表示）.

【答案】2

2

【解析】

设这个正多边形的一个外角为x,则正多边形的一个内角为2x,

x+2x=180,

解得x=60

即这个正多边形的一个外角为60。，

•••这个正多边形的边数为：毁=6,

60

即这个正多边形为六边形.

己知这个正多边形的边长为a,即可求得此正多边形的边心距是立

2

故答案为YI小

2

12.已知正方形的边长为2cm,那么它外接圆的半径长是cm.

【答案】a

【解析】•.•正方形的边长为2,

由中心角只有四个可得出：幽=90,

二中心角是：90,

AT

正方形的外接圆半径是：sin〃OC=M，

♦：AC=2=1,ZAOC=45。,

2

OA=—L=-=V2.

夜

故答案为正.

13.如图，AB,AC分别为。。的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接〃边形的一边，则〃等

于.

【答案】12

【解析】

连接AO,BO,CO,如图所示:

•••AB、AC分别为。。的内接正六边形、内接正方形的一边,

.,.ZAOB=^=60°,ZAOC=^=90°,

604

.•./BOC=30°,

故答案为12.

14.正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于度.

【答案】540

【解析】

解：：正多边形的中心角为72度，

二边数为:360。+72。=5,

.•.这个正多边形的内角和=(5-2)•180°=540°.

故答案为：540.

15.正十边形的中心角等于度.

【答案】36

【解析】

正十边形的中心角等于360。+10=36。

故答案为：36.

16.一个正〃边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则”=_.

【答案】6

【解析】

二正”边形的一个内角和=(n-2)-180°,

180°x(n-2)

.♦•正〃边形的一个内角二

n

•.•正〃边形的中心角=随,

n

180°x(n-2)360°x2

-----------------=-----------,

nn

解得:n-6.

故答案为6.

17.如果一个正多边形的中心角为36。，那么这个多边形的对角线条数是.

【答案】35

【解析】

解：由题意可得：

边数为360。+36。=10,

所以这个多边形的对角线条数是吆*2=35(条)，

故答案为：35.

18.据《汉书律历志》记载：“量者，畲(yue)s合、升、斗、斛(hu)也”斛是中国古代的一种量器，"斛

底，方而圜(huan)其外，旁有庞(tiao)焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是

一个同心圆”，如图所示.

问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“魔旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内

圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的周长为_______尺.(结果用最简根式表示)

【答案】4&

【解析】

解：：四边形CDEF为正方形，

，ND=90°,CD=DE,

，CE为直径，/ECD=45。，

由题意得AB=2.5,

.\CE=2.5-0.25x2=2,

/.CD=CE.cosZECD=2x—=>/2,

2

二"ECD=45。，

正方形CDEF周氏为4&尺.

故答案为：4夜

19.

我们规定：一个正n边形（n为整数，n>4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特

征值”，记为心，那么址=.

【答案】迫

2

【解析】

解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O,连接EC.

B（

易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线,

VAOBC是等边三角形

ZOBC=ZOCB=ZBOC=60°,

VOE=OC

AZOEC=ZOCE,

ZBOC=ZOEC+ZOCE

・・・ZOEC=ZOCE=30°

・・・ZBCE=90°,

•••△BEC是直角三角形

.♦.生330。3,

BE2

20.如图，已知圆。是正六边形A8COEF外接圆，直径BE=8,点G、”分别在射线C。、EF±(点G不

与点C、。重合)，且NGBH=60。，设CG=x,EH