2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第11讲 柱、锥、台的体积(核心考点讲与练)(含详解)

第11讲柱、锥、台的体积（核心考点讲与练）

Q方法技巧

求体积的常用方法

直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算

首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规

割补法

则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算

选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任

等体积法

一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换

Q能力拓展

题型一：柱体体积的有关计算

一、填空题

1.（2021.上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几

何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高

为3,AA垂直于底面，底面扇环所对的圆心角为弧A。长度为弧BC长度的2倍，且。=2,则该曲

3.（2021•上海市徐汇中学高二期中）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数>=丁£下（x>0）的图象上,

1+2V

则此矩形绕X轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为

4.（2021.上海市宝山中学高二阶段练习）圆柱的母线长为4cm,底面半径为2cm,则体积为

_____________cm3.

5.（2021•上海市甘泉外国语中学高二期中）一个正四棱柱的底面边长为2,高为4,则该正四棱柱的体积为

6.（2021.上海.闵行中学高二期中）底面半径为3,高为4的圆柱体积为.

二、解答题

7.（2021・上海浦东新•高二期中）一张A4纸的规格为：21cmx29.7cm,把它作为一个圆柱的侧面，求卷成

的圆柱体的体积.（精确到O.OOOlcmD

8.（2021.上海市进才中学高二期中）正四棱柱A88-4gCQ,的底面边长AB=2,若异面直线AA与

所成角的大小为arctang,求正四棱柱力BCQ-A4GR的侧面积和体积.

G

c

题型二：锥体体积有关计算

一、填空题

1.（2021•上海市建平中学高二阶段练习）若一个四面体各棱长为2或4,且该四面体不^正四面体，在所

有可能的四面体中，计算四面体的体积，请写出朗个符合条件的四面体的体积（不必写出所有符

合条件的四面体的体积）

2.（2021•上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-ABg中，点分别为84、

中点，由点A、M.N所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱

的体积之比为

3.（2021•上海市洋泾中学高二阶段练习）若正四面体的棱长为1,则它的体积为

4.（2021.上海.格致中学高二期中）如图，已知斜三棱柱ABC-A8C的体积是质,点P为棱AA上任意一

点，则四棱锥P-B8CC的体积为

5.（2021・上海中学高二期中）AABC的三边AB=10,BC=\2,CA=\4,D,E、F分别是AB、BC、CA

的中点，沿。尸、EF、EO将AAOF,ACEF,ABED折起，使得A、B、C重合于尸，则四面体尸-OE尸的体

积为______

二、解答题

3

6.（2022•上海市行知中学高二期中）如图，在直三棱柱48C-ABC中，已知4c=3C=2,M=-

AB=2&

（1）求四棱锥A-BCC田的体积;

（2）求直线AC,与平面ABB6所成的角的余弦值.

7.（2021.上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥P-ABCD,PO_L平面ABC。，8C=3,

PO=2.

（1）求正四棱锥P-ABCD的体积;

（2）求正四棱锥P-ABCD的表面积.

题型三：台体体积有关计算

一、单选题

1.（2021•上海大学附属南翔高级中学高二期中）“夫叠棋成立积，缘基势既同，则积不容异”是以我国哪位

数学家命名的数学原理（）

A.杨辉B.刘微C.祖眶D.李淳风

二、填空题

2.（2021.上海中学高二期中）已知正四棱台的侧棱长为3,两底面边长分别为2和4,则该四棱台的体积为

3.（2021・上海交大附中高二期中）如图，ZA=ZB=y,4）=1,BC=2,AB=3,那么直角梯形ABC。绕

直线A3旋转一周形成的几何体的体积为.

-n

4.（2021.上海市行知中学高二期中）已知三棱台ABC-A4G的上底面的面积是8cm2,下

B*----------V

底面的面积是18cmh高是6cm,则三棱锥人-8©（的体积是_cm3.4

三、解答题

5.（2021.上海.高二专题练习）如图，我们知道，圆锥是Rt"OP（及其内部）绕OP所在的直线旋转一周

形成的几何体.我们现将直角梯形4。。0（及其内部）绕。。所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.

设。。的半径为，。。的半径为

R,OOt=h.

（2）若R=2,厂=1,h=>/3>求圆台的表面积S.

巩固提升

一、单选题

1.（2021・上海•格致中学高二期中）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小

雨(vlOmm),中雨(10mm-25mm),大雨(25mm-50mm),暴雨（50mm-100mm）,小明用一个圆锥形容器

接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（)

B.中雨C.大雨D.暴雨

2.（2021•上海市松江二中高二期中）已知直三棱柱ABC-A4G的各棱长均相等，体积为2月，M为中

点，则点用到平面A4C的距离为（）

A.叵B.撞C.叵D.毡

7573

二、填空题

3.（2021•上海市延安中学高二期中）已知长方体ABCO-A8c2,体积为48,在棱瓦、BC、8⑸分别取

中点区F、G,则三棱锥8-EFG的体积为.

4.（2021•上海市行知中学高二期中）若圆锥的底面周长为2兀，侧面积也为2兀，则该圆锥的体积为

5.（2021•上海市金山中学高二期末）若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积是

（只需写出一个可能的值）

6.（2021•上海师范大学第二附属中学高二期中）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且它们的长度

分别为1，1，夜，则此三棱锥的高为.

7.（2021・上海市吴淞中学高二阶段练习）若圆锥的侧面积为20万，且母线与底面所成角的余弦值为］,则

该圆锥的体积为.

8.（2021・上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数

y=:二（x>0）的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值为__________.

1+厂

9.（2021•上海市亭林中学高二期中）设等边的边长为。，P是AA3C内的任意一点，且P到三边A8,

BC,。的距离分别为4,d2,4,则有4+4+4为定值由以上平面图形的特性类比空间图形：

设正四面体A8CO的棱长为a,P是正四面体内的任意一点，且P到四个面A8C、ABD、ACD,BCD

的距离分别为4，d2,4，〃，则有4+4+4+4为定值.

10.（2021•上海师范大学第二附属中学高二期中）在棱长为。的正方体中，E、尸分别是棱

A3、8c上的动点，且AE=BF,则三棱锥与-8EF的体积的最大值为.

11.（2021•上海市亭林中学高二期末）若正三棱锥底面边长为2,侧棱与底面所成的角为45。，则其体积为

三、解答题

12.（2021•上海市金山中学高二期中）如图，有一块三棱锥形木块ABC。，其中面ABC内有一点P.

A

在线段4c上，且满足E尸与4。垂直，该如何求作？请在图中画出线段EF并说明画法，不必证明.

3

（2）经测量，AB=4C=6cm,AO=5cm,NBAC=60°,/BAD=NCAD=arccos1,若P恰为三角形4BC

的重心，EF为（1）中所求线段，求三棱锥AQEF的体积.

13.（2021♦上海•位育中学高二期中）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于

动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容

（1）如果老师希望得到的容器的尺寸如下如图所示，请问老师事先至少需要购买的铁皮的面积（假设购买的

铁皮能没有损失地利用）；

（2）当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积

水厚度（mm）来判断降雨程度，其中小雨、中雨（10mm-25mm）、大雨（25mm-一50mm）、暴

雨（50mm~100mm）,勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如

图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？并请说明你的理由.

14.（2021・上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知四边形4BCD为直角梯形，

ZADC=90。,AD//BC,△为等腰直角三角形，平面%平面E为姑的中点，

P

£

AD=2BC=2"PA=3PD=3

(1)求证：BE”平面PDC；

(2)求证：AB_L平面

(3)求三棱锥3-的体积.

15.(2021.上海市延安中学高二期中)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧

业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥

与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.

(1)求该蒙古包的侧面积;

(2)求该蒙古包的体积.

16.(2021•上海师范大学第二附属中学高二阶段练习)在长方体ABC。-ABG。中，已知AB=5,4)=4,

(1)求三棱锥C-3OG的体积；

(2)若点。是线段BQ上一点，且用。=2A。，求三棱锥G-08。的体积;

(3)求三棱锥的体积.

17.(2021•上海师范大学第二附属中学高二阶段练习)如图，A8是圆柱OO'的一条母线，BC过底面圆心0,

。是圆O上一点.已知4?=3c=5,CD=3.

(1)求该圆柱的表面积;

(2)求点B到平面AC。的距离;

(3)将四面体A8C3绕母线A3所在的直线旋转一周，求八48的三边在旋转过程中所围成的几何体的体

积.

18.(2021.上海市西南位育中学高二期中)如图，在斜三棱柱ABC-A8c中，AC=BC,。为AB的中点,

。为44的中点，平面446，平面488八，异面直线B£与4互相垂

(1)求证：平面A。。“平面B。©；

(2)若CG与平面ABBA的距离为x,AC=A&=6,三棱锥A-AC。的体积为y,试写出V关于x的函

数关系式；

(3)在(2)的条件下，当CG与平面A8B出的距离为多少时，三棱锥A-AC。的体积取得最大值？并求

出最大值.

19.(2021・上海师范大学第二附属中学高二期中)某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐(如

图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.

（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2,则制作一个油罐所需费用为多少万元？（7取3.14,结果

精确到0.01万元）

（2）己知该油罐的储油量为0.95吨/nP,则一个油罐可储存多少吨油？（万取3.14,结果精确到0.01吨）

第11讲柱、锥、台的体积（核心考点讲与练）

名称

体积

几何体

柱体

V=s&h

（棱柱和圆柱）

锥体

底h

（棱锥和圆锥）3------

台体

（棱台和圆台）o

Q方法技巧

求体积的常用方法

直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算

首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规

割补法

则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算

选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任

等体积法

一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换

Q能力拓展

题型一：柱体体积的有关计算

一、填空题

1.（2021.上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几

何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高

为3,AA垂直于底面，底面扇环所对的圆心角为弧A。长度为弧BC长度的2倍，且。=2,则该曲

池的体积为

【答案】9万

【分析】利用柱体体积公式求体积.

【详解】解：不妨设弧4。所在圆的半径为R,弧8c所在圆的半径为r,由弧40长度为弧8c长度的2倍

可知R=2r,CD=R—r=r=2,即r=2、R=4.故该曲池的体积V="7'（穴--产）乂3=9%.

故答案为：9万

2.（2021・上海奉贤区致远高级中学高二期中）若圆柱的底面半径是1,母线长为2,则这个圆柱的体积是

【答案】2乃

【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.

【详解】解：圆柱的母线长即为圆柱的高，

则这个圆柱的体积丫=打乂12、2=2万.

故答案为：2万

3.（2021.上海市徐汇中学高二期中）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y=^^（x>0）的图象上,

则此矩形绕X轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为

【答案】叵

16

Y

【分析】由题意知该几何体是圆柱,A（x„yi）,B（x2,y2）,设/（》）=丁彳I（x>0）,则/（7―,利用

复合函数的单调性得出/（X）的单调性，得出最大值，设/（为）=/（々）=。，则0<。<立，”2是方程八%）=。

的两个解，由韦达定理求得阮-七|,然后可用。表示出圆柱的体积，从而求得最大值.

【详解】如图，由题意知该几何体是圆柱,A（再,必）,8（X2,必），记/。）=丁==（x>0）,则/（占）=/（%）,

11QV-*-

诙二=，由勾形函数性质知产2叱似0,字上递减，在净+8）上递增，乂

y=2x+—>0,

x

所以〃幻在（0,孝）上递增，在（等,+00）上递减，所以0<%<*

/（K）max=/（¥）=设/（%）=/（/）=。，则0<4<手»

得2d—x+a=0»

%+超=或，内弓=；，B2一3|=也+件『―你々={/-2=[,

圆柱体积为V=乃/k一切=囱2.正豆=盛W=-j-8(«2-^)2+-，

1'-12a22v1632

所以/=J，即a=J时，Km=—-

164max2V3216

故答案为：—K.

（2021•上海市宝山中学高二阶段练习）圆柱的母线长

为4cm,底面半径为2cm,则体积为cm3.

【答案】16%

【分析】利用圆柱的体积公式直接计算即得.

【详解】因圆柱的母线长为4cm,底面半径为2cm,则圆柱的体积V=不、22x4=16万（cm?）,

所以所求体积为16万cm5.

故答案为：16%

5.（2021•上海市甘泉外国语中学高二期中）一个正四棱柱的底面边长为2,高为4,则该正四棱柱的体积为

【答案】16【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可.

【详解】由题可得该正四棱柱的体积为2x2x4=16.

故答案为：16.

6.（2021•上海•闵行中学高二期中）底面半径为3,高为4的圆柱体积为

【答案】36万

［分析】直接根据圆柱的体积公式计算可得;

【详解】解：因为圆柱的底面半径为3,高为4,所以圆柱的体积丫=》.内^^/32x4=36万

故答案为：36万

二、解答题

7.（2021•上海浦东新•高二期中）一张A4纸的规格为：21cmx29.7cm,把它作为一个圆柱的侧面，求卷成

的圆柱体的体积.（精确到O.OOOlcmD

【分析】分以21cm的边为高，和以29.7cm的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆

柱的体积公式即可得解.

297

【详解】解：①如果以21cm的边为高，2孙=29.7,{=告，

24

（2972/

此时圆柱体的体积为匕=町、21=21”1474.0843（cm3）.

21

②如果以29.7cm的边为图，271r2=2、，5=—，

24

此时圆柱体的体积为匕=》/小29.7=万・尸■•210々1042.2818卜0?）.

8.（2021.上海市进才中学高二期中）正四棱柱A88-44CQ,的底面边长钻=2,若异面直线AA与4c

所成角的大小为arctang,求正四棱柱ABC。-AgCQ的侧面积和体积.

【答案】5=32,丫=16.【分析】首先根据异面宜线所成的角，求BB-再

【详解】•:AAJ/BB、,

BC1

面宜线AA与B,C所成角是/CB/,.-.tanZCBB

}DD,L

•;BC=AB=2,A

.•.正四棱柱ABC。-A4GA的侧面积S=4x2x4=32,体积口_°乂4_

V一乙人乙入4t—1D

题型二：锥体体积有关计算

一、填空题

1.（2021.上海市建平中学高二阶段练习）若一个四面体各棱长为2或4,且该四面体不晕正四面体，在所

有可能的四面体中，计算四面体的体积，请写出可个符合条件的四面体的体积（不必写出所有符

合条件的四面体的体积）

【答案】勺叵，马叵（答案不唯一，口叵，勺叵，马叵三个任写两个即可）

33333

【分析】2和4可以构成的三角形有：边长为2的正三角形，边长为4的正三角形，边长为2,4,4的三角

形，则四面体可以是：一个底面边长为2的正三角形，侧棱长均为4的正三棱锥；四个2,4,4的三角形

拼成的三棱锥；两个边长为4的正三角形和两个2,4,4的三角形拼成的三棱锥.

【详解】解：①若底边长为4,4,4,侧棱长为4,4,2；

设43=2,AB的中点为则ABACE,ABA.DE,

平面。E,

CE2+DE2-CD27

•・・CE=DE="2-E=屈,8=4,/.cosZCED=

2CE.DE15

4Vn

sinNCED

15

:.V=^S^CDE>AB=

设底面中心为。，则OB=gx|=孚，.•・棱锥的高为42-（苧）2=智,

.“1C,1V3_22加2而

V=/Z=XX2x----=----

•--\BCD*-—V33

③若底面边长为4,4,1,侧棱长为4,4,1,

CE2+DE2-CD213

设AB=CD=2,其余各棱长均为4,由①可知|cosNCED=

2CE.DE15

sinNCED=n@

15

2V14

V=-S»AB=-x—xV15xV15x2

3,8rnEF3215x3

.（答案不唯一，2叵，生叵，2叵三个任写两个即可）

333

（2021.上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱A3C-44G

中，点M、N分别为BB］、4G中点，由点A、M.N所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则

较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为

（分析］延长与CC,的交点为P，与CB的交点为。，连结AP交AG为D,连结DN,得到截面为DNMA,

由题意得AQ=2£>G，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比，即可得解.

【详解】解：延长MN与CG的交点为P,与的延长线交于点为。,

连结AP交AG为。，连结DV,

即可得到截面为小例，由题意得A4=2OQ,

因为三棱柱是直三棱柱，不妨设ABL8C,且A8=8C=A4,=2,

•.3=1,MB=1,NC=l,PCt=\,棱柱体积卜=5X2X2X2=4,

•1•下部分体积％=%-A(2c

23

=—x—x3x2x3—x—x1x2—x—xlx—x1=——，

32323239

731?

上部分体积匕产…卜=4-5得，

13

V一913

-上==--

••・较小部分与较大部分的体积之比为:V23

下23

一9

所以较大部分的体积与原三棱柱的体积之比为=子

23+1336

23

故答案为：

36

3.（2021.上海市洋泾中学高二阶段练习）若正四面体的棱长为1,则它的体积为.

【答案】叵

12

【分析】求得正四面体的高，由此求得正四面体的体积.

【详解】设尸是正四面体A-BCD底面的中心，则AF_L平面BCD,RBF:FE=2:1,

所以8尸=且*2=且，AF=J『-（且］=旦,所以正四面体的体积为，x&x/x逅=在.

233丫（31334312

故答案为：立

12

4.（2021・上海•格致中学高二期中）如图,已知斜三棱柱ABC-AMG的体

积是12,点P为棱AA上任意一点，则四棱锥P-8BCC的体积为

【答案】8

【分析】利用等体积法证明四棱锥尸-BBCC的体积与斜三棱柱ABC-的体积的关系，即可得解.

,,I2

=

【详解】Vp_BB£c^A-B^CICuqBC-Asq—匕-A4G=XBC-A4G-=4匕8C-&S1G

2

=§xl2=8故答案为：8

5.（2021・上海中学高二期中）AABC的三边A8=10,BC=12,C4=14,D、E、F分别是AB、BC、CA

的中点，沿。F、EF、EZ）将“AT肥，ACEF,ABED折起，使得A、B、C重合于P,则四面体P-OEF的体

积为______

【答案】2屈

【分析】由折起成四面体的过程知，四面体PDEF相对棱等长，将其补形成长方体，利用割补法即可得解.

【详解】因四面体PZ）瓦■相对棱等长，则该四面体的每一组相对棱可作为一个矩形的两条对角线，从而把

四面体PDEF补形成长方体D.EP.F-DE/F、,如图:

设%，尸耳=z,

x2+y2=25x2=19

贝|J有/+Z2=36,解得，y2=6xyz-6\/95.

z2+x2=49z2=30

所以四面体PDEF的体积V=VRERF-DEFF_4Vp_aEF=xyz-4•*xyz=gxyz=2夜.

故答案为：2x/^

二、解答题

3

6.(2022•上海市行知中学局二期中)如图，在直三棱柱ABC-A&G中，已知AC=BC=2,M=->

AB=2近.

(1)求四棱锥A-BCC蜴的体积;

(2)求直线AG与平面A88出所成的角的余弦值.

【答案】(1)2；(2)孚.

【分析】(1)由题意可证AC_L面BCCRi，则四棱锥A-BCC内的体积为匕_8e4=；/屿45<^即可得到

答案.(2)取的中点为。，连接G。，AD,可证得NRAO为直线AG与平面ABBM所成的角，设为。，

cAD

贝I]COS9=77R,即可得到答案.

ACxi

(1)由题意知，三棱柱ABC-ABG为宜三棱柱,

故C|CJ■面48c

ACu面A5C

GC_LACAC=8C=2,AB=20

:.ACA-BCClCHBC=C,CgBCu面BCC向

.•.4八面以工旦

3I1

SJJCC向=2x^=3V;_BCG4=§S8CC,4,AC=§x3x2=2⑵取A4的中点为。，连接CQ，AD

由题意知AA，面ABC,G。u面AgG

A

MictD•••ABC为等腰直角三角形，。为4片的中点

.-.QDIA^例DAB]=U面

G。，面ABBtAtZCtAD为直线AC.平面的8必所成的角，设为。

3，=当=晅

故直线4G与平面A88M所成的角的余

AC,5

弦值为恒.

5

7.(2021•上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习)如图为正四棱锥P-A3C。，P。，平面ABC。，BC=3,

PO=2.

(1)求正四棱锥P-ABC。的体积;

(2)求正四棱锥P-ABCD的表面积.

【答案】(1)6；(2)24.

【分析】(1)根据题意，结合锥体体积公式，即可求解;

(2)根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.

(1)根据题意，得匕)-ABCD=,^ABCD-0/>=^x3x3x2=6.

(2)如图所示，作3c的中点E,连接OE,PE,

则PE=y]OE2+OP2=J-+4=-,

N42

BCPE

故正四棱锥P-ABCD的表面积S=4S+S,\BCD=4X型卢+BC=24.

题型三：台体体积有关计算

一、单选题

1.（2021.上海大学附属南翔高级中学高二期中）“夫叠棋成立积，缘事势既同，则积不容异”是以我国哪位

数学家命名的数学原理（）

A.杨辉B.刘微C.祖晅D.李淳风

【答案】C

【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖随原理.

【详解】“夫叠棋成立积，缘幕势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于

这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面枳仍然相等，那么这两个几何体的体枳相等”，这就是以

我国数学家祖唯命名的数学原理，故选C.

【点睛】本题考查祖晒原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.

二、填空题

2.（2021・上海中学高二期中）已知正四棱台的侧棱长为3,两底面边长分别为2和4,则该四棱台的体积为

【答案】生立

3

【分析】根据正四棱台的性质求出高，即可由体积公式求出.

【详解】如图，正四棱台ABCD-A与GA中，设下底面中心为。，上底面中心为。一

则即为四棱台的高，过用作4E1BD,则4E=oq,在放中，BB1=3,BE=2叵-叵=叵,则

8产=小32—（a）2=布,

又SWD=4~=16,SABGR=22=4,

所以该四棱台的体积为旷=；（16+>/^+4卜近=*夕.

故答案为：空位.

3

7F

3.（2021・上海交大附中局二期中）如图，ZA=ZB=-,AD=\,

2

BC=2,AB=3,那么直角梯形ABC。绕直线A3旋转一周形成的几何体的体积为.

【答案】7k

【分析】分析可知几何体为圆台，利用台体体积公式可求得结果.

【详解】直角梯形绕直线A8旋转一周形成的几何体为圆台,

且该圆台上底面圆的面积为岳="xF=万，下底面面积为邑=万、22=4万，圆台的

高为/?=3,

因此，该几何体的体积为V=g（S1+S2+^^）/?=gx7%x3=77.

故答案为：7万.

4.（2021.上海市行知中学高二期中）已知三棱台4BC-ABC的上底面的面积是8cm"下底面的面积是

18cm2,高是6cm,则三棱锥4-8|GC的体积是cm*.

【答案】24

【分析】连接A4、AC；、CB、,三棱台ABC-ABG可分割为三棱锥A-ABC，三棱锥g-ABC,三棱锥

A-BCC,求出棱台ABC-AB.C,的体积减去匕一八犯，再减去％.ABC即可求解.

22

【详解】如图三棱台48C-A8C中，S4ABC=8cm,S^C1=18cm,棱台的高/i=6cm,

连接AB|、AC-Cfi,,

则三棱台A8C-A£G可分割为三棱锥A-A4G，三棱锥旦-4BC,三棱锥A-4GC,

由棱台体积公式可得

=1(5A8C+5MC,+J5ASC■5)■/i=1(8+18+>/8^18)x6=76,

匕-W,=gxl8x6=36,Ve.Agc=^x8x6=16,

所以匕-“c=V一匕WG一^,-^=76-36-16=24,

故答案为：24.

三、解答题

A

5.（2021・上海•高二专题练习）如图，我们知道，圆锥是Rt/XAOP（及其内部）绕0P所在的直线旋转一周

形成的几何体.我们现将直角梯形（及其内部）绕。。1所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.

设。。的半径为，。。的半径为R,OOt=h.

IR3_3

（1）求证：圆台的体积R

3R-r

(2)若R=2,r=l>h=\/3,求圆台的表面积S.

【答案】（1）证明见解析；（2）11%.

rh

【分析】（1）根据三角形相似,得出P0\=~^~,利用两个圆锥体积之差可得圆台的体积;

R-r

（2）利用大圆锥的侧面积减去小圆锥的侧面积可得圆台的侧面积，再加上圆台的底面积即可.

【详解】（1）证明：•.•△PAG-△P4?，

.P°\_厂rh

解得pq=h

"PO]+h~~RK-

11

：.V=-7tR7-PO--jrr92-PO.

33

=-7rR2•士+h

3R-r3R-r3R-r

（2）在AB4O中，过点A作A8_LA。，B是垂足,

则在RfAABA,中，AB=R-r=\,=

...NAAB=60°,/.PA=4.PA=2,

所以该圆台的表面积

11

5=-x24/?•PA—x2^r-PA,+兀R9~+万产7=8万一27+4乃+乃=1hr.

22

【点睛】本题主要考查圆台的体积公式证明及表面积的求解，明确圆台与圆锥间的关系是解题的关键，侧

重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

Q巩固提升

一、单选题

1.（2021・上海•格致中学高二期中）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小

雨(<10mm),中雨(10mm-25mm),大雨(25mm-50mm),暴雨（50mm-100mm）,小明用一个圆锥形容器

接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（)

200mm

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

300mm

150mm

【答案】B

【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】由题意，一个半价为等=100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半价为等*芸=50（mm）,高

22300

为150（mm）的圆锥，

所以积水厚％。…）

属于中雨.故选：B.

2.（2021•上海市松江二中高二期中）己知直三棱柱ABC-ABC的各棱长均相等，体积为2百，M为A啰中

点，则点M到平面AB。的距离为（)

D.半

A.叵B.撞rV7

757

【答案】A

【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设M到平面A4C的距离为d,利用%以及棱锥的体积

公式即可求解.

【详解】直三棱柱ABC-ABC的各棱长均相等，设棱长为。，因为体积为26,

所以V=S«ABC■Ad=,a=26，解得；a—2,

设点M到平面A,BC的距离为d,

因为AA=2,CM=C4,=2&，

所以AA/C中，A4边上的高为“2&）2-仔=外,

则2c4四=；'2'五=五,

取A3的中点H,连接CH,则

因为面ABC,C〃u面ABC,所以AA^C”，

因为AAnAB=A,所以C〃_L面ABB|A，在AMC中，CH=M，

V

由1c=C-A,B,M,即g4S.CA4=；,CH•SAA81M»

=-x>^xlx2xl,

332

解得：d=—,

7

二、填空题

3.（2021.上海市延安中学高二期中）已知长方体ABCO-AgCQ,体积为48,在棱84BC、口片分别取

中点E、F、G,则三棱锥8-EFG的体积为.

【答案】1

【分析】根据题意，结合长方体和三棱锥的体积公式，即可求解.

【详解】根据题意，设他=x,BC=y,BB尸z,因为长方体ABC。一486口体积为48,所以孙z=48,

xy

因此三棱锥B—EFG的体积［/_v_1<Rr_l222_乎

VB-EFG-VG-EBF-T•3国尸'5G——•--•--———1

j3ZZ4o

故答案为：1.

4.（2021•上海市行知中学高二期中）若圆锥的底面周长为2兀，侧面积也为2兀，则该圆锥的体积为

【答案】多.

【分析】根据底面圆周长求出底面圆半径，根据侧面积求得圆锥的母线/,由勾股定理可得圆锥的高，再

由圆锥的体积公式即可求解.

【详解】设圆锥底面圆半径，母线长为/,

因为圆锥的底面周长为2兀，侧面积也为2兀，

所以2口=2兀，；・2兀・/=2兀，解得：r=l,1=2,

所以圆锥的高五=〃—7=5

所以圆锥的体积为！XTtXI2XA/3=Q

33

故答案为：—7t.

3

5.（2021•上海市金山中学高二期末）若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积是

（只需写出一个可能的值）

【答案】且或反或①：（写出其中个即可）

61212

【分析】考虑一条边为1，两条边为1,三条边为1三种情况，如图所示，分别利用体积公式，和利用长方

体体积减去四个三棱锥的体积，计算得到答案.

【详解】一条边为1,其余边为2时，如图1,

不妨设AD=1,8c中点为E,连接AE,DE,作。，，他于”，

易知BC_L£）E,BCLAE,AEC\DE=E,故BC_L平面£>E4,平面£>E4,

故£>H_L8C,又BC^AE=E,故平面ABC,

3+3-15

易知£>£=AE=6,cosZDEA=

2昌66

故£>”=J5xsinNDE4=6x

,,1„11./r733vn

V=-X5AABCXDH=-X-X2XV3X—=—.

当有两条边为1时，只能时对边为1,如图2,不妨设AO=3C=1

夜

一

2

m

设对应长方体的氏