人教a版必修第二册6.4.3第3课时余弦定理正弦定理应用举例-距离问题学案

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题1.基线在测量过程中,根据测量的需要而确定的线段叫做基线,一般来说,基线,测量的精确度越高.

2.测量时是否一定要选取基线?3.方向角以观测者为中心,与目标方向线所成的小于90°的水平角.

一、单选题1.海上A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,A,C两岛相距20海里,则B岛与C岛间的距离是 ()3海里 7海里海里 D.700海里2.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为 ()A.230mB.240mC.50mD.60m3.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=519m,起吊的货物与岸的距离AD为 ()A.30m B.153C.153m D.45m4.(教材改编题)如图,地面有四个5G中基站A,B,C,D,已知CD=(6+2)km,∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,则A,B两个中基站的距离是()A.43km B.210kmC.10km D.62km二、多选题5.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了下列测量方案(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),则一定能确定A,B间距离的方案为 ()A.测量A,B,b B.测量a,b,CC.测量A,B,a D.测量A,B,C6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=π3,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=3,则下列说法正确的是 (A.ac的最小值是4B.ac的最大值是4C.a+3c的最小值是3+23D.a+3c的最小值是4+23三、填空题7.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,∠A=30°,则其跨度AB的长为.

8.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长千米.

四、解答题9.如图,A,B两点之间隔着一座小山,现要测量A,B两点间的距离,选择在同一水平面上且均能直线到达的C点,经测量AC=50m,BC=40m,B在C北偏东45°方向上,A在C北偏西75°方向上,求AB的长.10.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为126海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为83海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.一、选择题1.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD,已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 ()A.502米 B.503米C.505米 D.507米2.(教材改编题)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5小时 B.1小时C.1.5小时 D.2小时二、填空题3.某船开始看见一座灯塔在南偏东30°方向,该船沿南偏东60°方向航行45km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是km.

4.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为3003m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为m.

三、解答题5.一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以自己速度的两倍向点A做匀速直线滚动,如图所示,已知AB=42dm,AD=17dm,∠BAD=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?6.如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1.(1)求△CDE的面积;(2)求A,B之间的距离.第3课时余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题必备知识·落实1.越长2.测量时必须选取基线,因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时,至少应已知一边的长度.3.指北或指南的方向线知能素养·进阶【基础巩固组】1.A如图,由已知得,在△ABC中,AB=10海里,AC=20海里,∠BAC=60°,由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos60°=102+202-2×10×20×12=300故BC=103海里.2.D在△ABC中∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.所以AC=AB=120m.如图,作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.在Rt△ACD中,由正弦定理,得ACsin∠ADC=所以120sin90°=CD所以CD=60m,所以河的宽度为60m.3.B在△ABC中,cos∠ABC=102+(519)2-1所以sin∠ABC=1-7219所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=519×33219=4.C由题意可得∠DAC=75°,∠DBC=45°,在△ADC中,由正弦定理得AC=CD·sin∠ADCsin∠DAC=在△BDC中,由正弦定理得BC=CD·sin∠BDCsin∠DBC=(6+2)×1222=3+1,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC·cos∠ACB=(23)2+(3+1)2-2×25.ABC对于A,利用内角和定理先求出C=π-A-B,再利用正弦定理bsinB=csin对于B,直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC即可解出c;对于C,先利用内角和定理求出C=π-A-B,再利用正弦定理asinA=csin对于D,解不出c.6.AD由题意知S△ABC=S△ABD+S△BDC,由角平分线的性质以及面积公式可得12ac·sin60°=123a·sin30°+123c·sin30°,化简得ac=a+c,所以ac=a+c≥2ac,当且仅当a=c时成立,解得ac≥4,故A正确,B错误;因为ac=a+c,所以1=1a+1c,所以a+3c=(a+3c)1a+1c=4+ac+3ca≥4+2ac·3ca=4+237.【解析】方法一:由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,ABsinC=即AB=AC·sinCsinB=4·sin120°答案:43m方法二:过点C作CD⊥AB,由等腰三角形性质可知D为AB的中点,AD=AC·cosA=4×32=23所以AB=2AD=43m.答案:43m8.【解析】如图,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1千米,所以∠ABC=∠BAO-∠C=75°-30°=45°.在△ABC中,ABsinC=ACsin∠ABC,所以AC=AB·sin∠ABCsinC答案:29.【解析】依题意知∠ACB=120°,AC=50m,BC=40m,应用余弦定理得AB=A=5=1061(m),故AB的长为1061m.10.【解析】由题意,画出示意图.(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,B=45°,AB=126海里.由正弦定理得AD=ABsin60°·sin45°=24(海里)(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(83)2-2×24×83×32=(83)2所以CD=83(海里).【素养提升组】1.D设该扇形的半径为r米,连接CO,如图所示.由题意得OD=100米,DC=150米,因为DC∥OA,∠AOB=120°,所以∠ODC=60°,在△CDO中,由余弦定理得:CD2+OD2-2CD·OD·cos60°=OC2,即1502+1002-2×150×100×12=r2解得:r=507,所以该扇形的半径为507米.2.B设t小时后,B城市恰好处于危险区内,则由余弦定理得:(20t)2+402-2×20t×40cos45°=302.化简得:4t2-82t+7=0,所以t1+t2=22,t1t2=74从而|t1-t2|=(t13.【解析】设灯塔位于A处,船开始的位置为B,航行45km后到C处,如图所示,延长CA,与BD交于点D.∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45km,所以∠ABC=60°-30°=30°,∠BAC=180°-60°=120°.△ABC中,由正弦定理ACsin∠ABC=可得AC=BC·sin∠ABCsin∠BAC=45×即此时船与灯塔的距离是153km.答案:1534.【解析】因为∠PAB=90°,∠PAQ=60°,所以∠BAQ=30°,在△ABQ中,因为∠PBA=∠PBQ=60°,所以∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,所以∠AQB=180°-120°-30°=30°,由正弦定理,得ABsin∠AQB=AQsin∠ABQ在Rt△ABP中,解得AP=900m.因为AQ=AP=900m,又∠PAQ=60°,所以△APQ是等边三角形,所以PQ=900m,所以P,Q两点间的距离为900m.答案:9005.【解析】设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,连接BC,如图所示,设BC=xdm,由题意知CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即x2=(42)2+(17-2x)2-82(17-2x)cos45°,解得x1=5,x2=373所以AC=17-2x=7(dm)或AC=-233(dm)(舍去)所以该机器人最快可在线段AD上离A点7dm的点C处截住足球.6.【解析】(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,所以S△CDE=12×|CD|×