数学32《复数的4则运算》素材(新人教A版选修2-2)

数学：3.2《复数的4则运算》素材(新人教A版选修2-2)数学：3.2《复数的4则运算》素材(新人教A版选修2-2)数学：3.2《复数的4则运算》素材(新人教A版选修2-2)复数中的几个结论及共应用数系由实数系扩大到复数系以后,实数系中哪些公式和法例仍旧建立,哪些不建立,又有哪些新的公式和法例,是同学们不易弄清的问题,以下给出几则在复数系中仍旧建立的公式和法例及几个新的公式和法例,并简单举例说明其应用.一、中点公式：A点对应的复数为a1b1i(a1R，b1R),B点对应的复数为a2b2i(a2即a1a22例113i，i，2

R，b2R),C点为A，B两点的中点,则C点对应的复数为a1b1ia2b2i,2b1b2i．2四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A，B，C三点对应的复数分别为i,求D点对应的复数．解：由已知应用中点公式可得A，C的中点对应的复数为3,因此D点对应的复数2i23[22(1)]i35i．为22二、根与系数的关系：若实系数方程ax2bxc0(a0)的两复根为a1b1i,a2b2i,则有a1bi1a2b2ib,(a1bi1)·(a2b2i)c．aa2bxc0(a0)有两虚数根,则这两个虚数根共轭．推论：若实系数方程ax例2方程x2axb0的一个根为1i,务实数a,b的值．解：已知实系数方程的一个根为1i,由推论知方程的另一根为1i,由根与系数的关系可知a(1i1i)2,b(1i)·(1i)2．三、相关运算性质：①z为实数zzz20z22,zz为纯虚数z20zz0(z0)；②对随意复数有zz；③zz2zz；④z·z2z·z2,特11211别地有z2(z)2；⑤z1z1；⑥2z·z．zz2z2例3设z1,且zi,求证z为实数．12z证明：由条件可知z0,则z·z21,z11zzzzz1z因此,zzz1z21z21z21(z)21(z1)2z2,1因此z为实数．12z四、两则几何意义：①zz0的几何意义为点z到点z0的距离；②zz0r(r0)中z所对应的点为以复数z0所对应的点为圆心,半径为r的圆上的点．例4若zC,且z22i1,则z22i的最小值为．解：z22i1即z(22i)1,z对应的点为到点(2，2)的距离为定值1的全部的点,即以(2，2)为圆心,1为半径的圆O上的点．z22i即z(22i),为圆O上的点与点(2，2)之间的距离减去圆O的半径,可得结果为3．复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特别的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及互相转变的门路．在求解复数问题时,要擅长观察条件中给定的或许是经过推理所得的复数形式的构造特点,常常能获取简捷明快、生动开朗的解决方法．下边略举几例,以供参照．一、复数式与长方形的转变例1复数z1,z2知足z1z20,z1z2z1z2,证明：z120．z22z1,z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,由z1z2z1z2uuuur分析：设复数知,以OZ1,uuuuruuuuruuuur,故可设z1OZ2为邻边的平行四边形为矩形,∴OZ1OZ2ki(kR，k0),因此z2z1222k20．z2k12例2已知复数z1,1271,且z1z2z1与z1z2的z2值．分析：设复数z1,z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,因为(71)2(71)242,故2z22z12z1z2,uuuuruuuuruuuuruuuur故以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形,进而OZ1OZ2,则z171i47i；z1z2z1z24．z2713二、复数式与正方形的转变例3已知复数z1，z2z1z21122122知足,且,求证：．证明：设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,由条件知z1z22z12z2,uuuuruuuur形为正方形,而z1z2在复平面上对应的向量为正以OZ1,OZ2为邻边的平行四边方形的一条对角线,因此z1z22．评论：复数与向量的对应关系给予了复数的几何意义,复数加法几何意义的运用是此题观察的要点．三、复数式与菱形的转变例4已知z1，z2C,z1z21,z1z23,求z1z2．分析：设复数z1，z2,z1z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，Z3,由z1z21知,以uuuuruuuura2,∴za,考虑到za时,OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形,∴z2z2a20；zai时,z2a2z2a2(a0)为纯虚数的充要条件是za,2222无心义,故使22zaz